Regra de Cramer

En álxebra lineal, a regra de Cramer é unha fórmula explícita para a solución dun sistema de ecuacións lineais con tantas ecuacións como incógnitas, válido cando o sistema ten unha solución única. Expresa a solución en termos dos determinantes da matriz (cadrada) de coeficientes e das matrices que se obtiveron de ela substituíndo unha columna polo vector columna do lado dereito do sistema de ecuacións. É nomeado após Gabriel Cramer (1704–1752), quen publicou a regra para un número arbitrario de incógnitas en 1750{Sfn|Kosinski||||2001|p=310-312}}, a pesar de que Colin Maclaurin tamén publicou casos especiais da regra en 1748 (e posibelmente soubo de ela xa en 1729).

A regra de Cramer implementada nun xeito inxenuo é computationalmente ineficiente para sistemas de máis que dúas ou tres ecuacións. No caso de n ecuacións con n incógnitas, require a computación de n+1 determinantes, mentres que a eliminación de Gauss produce o resultado coa mesma complexidade computacional que a da computación dun só determinante. A regra de Cramer tamén pode ser numericalmente inestábel incluso para sistemas 2×2. Con todo, recentemente atopouse que a regra de Cramer pode ser aplicada en tempo O(n³) o cal é comparábel a métodos máis comúns de solucionar sistemas de ecuacións lineais, como eliminación de Gauss, e exhibindo unha estabilidade numérica comparábel na maioría de casos.

Caso xeral

Sexa un sistema lineal de n ecuacións con n incógnitas representado en forma de produto de matrices como o seguinte:

$Ax=b$

onde a matriz A n×n ten determinante non nulo e o vector $x=(x_{1},\ldots ,x_{n})^{\mathrm {T} }$ é o vector columna das variábeis. Entón o teorema di que neste caso o sistema ten unha única solución cuxos valores individuais para as incógnitas veñen dados por:

$x_{i}={\frac {\det(A_{i})}{\det(A)}}\qquad i=1,\ldots ,n$

Onde $A_{i}$ é a matriz formada por substituír a i-ésima columna de A polo vector columna b.

Unha versión máis xeral da regra de Cramer considera a ecuación matricial

$AX=B$

onde a matriz A nxn ten determinante non nulo, e X, B son matrices n×m. Dadas as secuencias $1\leq i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}\leq n$e $1\leq j_{1}<j_{2}<\ldots <j_{k}\leq m$, sexan $X_{I,J}$ submatrices k×k de X con filas en $I:=(i_{1},\ldots ,i_{k})$ e columnas en $J:=(j_{1},\ldots ,j_{k})$. Entón

$\det X_{I,J}={\frac {\det(A_{B}(I,J))}{\det(A)}}.$

No caso $k=1$, redúcese á regra normal de Cramer.

A regra serve para sistemas de ecuacións con coeficientes e incógnitas que pertenzan a calquera corpo, non só nos números reais.

Proba

A proba da regra de Cramer usa só dúas propiedades dos determinantes: linealidade con respecto a calquera columna dada (tomando para aquela columna unha combinación lineal de vectores columna produce como determinante a combinación lineal correspondente dos seu determinantes), e o feito de que o determinante é cero cando dúas columnas son iguais (o cal vén implicado pola propiedade básica de que o signo do determinante cambia ao cambiar dúas columnas).

Fixamos o índice j dunha columna. A linealidade implica que se soamente consideramos a columna j como variábel (fixando o resto de xeito arbitrario), temos unha función Rⁿ → R (supoñendo que os elementos da matriz tamén están en R) que vén dada por unha matriz, unha fila e n columnas, que actúa na columna j. De feito, isto é precisamente o que fai a expansión de Laplace, escribindo det(A) = C₁a_1,j + ... + C_na_n,j para certos coeficientes C₁, ..., C_n que dependen nas columnas de A que non son a columna j (a expresión exacta destes cofactores non importa agora). Este valor det(A) é o resultado de aplicar a matriz fila L_(j) = (C₁ C₂ ... C_n) á columna j de A. Se L_(j) se aplica a calquera outra columna k de A, o resultado é o determinante da matriz que se obtén ao substituír a columna j pola columna k, polo que o determinante é 0 (ao ter dúas columnas iguais).

Agora consideramos un sistema lineal de n ecuacións con n incógnitas $x_{1},\ldots ,x_{n}$ cuxa matriz de coeficientes é A, cun determinante non nulo:

${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&b_{2}\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\cdots +a_{nn}x_{n}&=&b_{n}.\end{matrix}}$

Ao combinar estas ecuación, tomando C_i a ecuación i-ésima, entón o coeficiente de x_j convértese en C₁a_{1, j} + ... + C_na_n,j = det(A), mentres os outros coeficientes de todas as outras incógnitas tornan 0: o lado esquerdo simplemente é det(A)x_j. O lado dereito é C₁b₁ + ... + C_nb_n, onde L_(j) é aplicado ao vector columna b do lado dereito b_i. En efecto o que temos feito é o produto pola esquerda da ecuación matricial Ax = b por L_(j). Dividindo por det(A) (que é diferente de 0), achamos a seguinte ecuación, que é necesaria para satisfacer o sistema:

$x_{j}={\frac {L_{(j)}\cdot \mathbf {b} }{\det(A)}}$

Mais por construción, o numerador é o determinante da matriz obtida de A ao substituír a columna j por b, polo que a expresión da regra de Cramer é condición necesaria para unha solución. O mesmo procedemento pódese repetir para todos os valores de j para achar os valores do resto de incógnitas. Deste xeito, o único punto que queda por probar é que estes valores posíbeis forman xuntos unha solución. Observamos que se a matriz A é invertíbel con inversa A⁻¹, temos que x = A⁻¹b é solución e, polo tanto, temos a existencia de solución. Para ver que é invertíbel cando det(A) é non nulo, consideramos a matriz M de n×n obtida apiñando as matrices fila L_(j) unhas enriba doutras para j = 1, ..., n (isto dános a matriz adxunta de A). Xa mostramos que L_(j)A = (0 ... 0 det(A) 0 ... 0) onde det(A) aparece na posición j; de aquí séguese que MA = det(A)I_n. Logo,

${\frac {1}{\det(A)}}M=A^{-1}$

rematando así proba.

Para outras probas, ler abaixo.

Atopando matriz inversa

Sexa A unha matriz n × n. Entón

$A\,\operatorname {adj} A=(\operatorname {adj} A)\,A=\operatorname {det} (A)I$

onde adj(A) denota á matriz adxunta de A, det(A) é o determinante e I é a matriz identidade. Se det(A) é invertíbel en R, entón a matriz inversa de A é:

$A^{-1}={\frac {1}{\operatorname {det} (A)}}\operatorname {adj} (A).$

Se R é un corpo (como o corpo dos números reais), entón isto dá unha fórmula para a inversa de A, dado que det(A) ≠ 0. De feito, esta fórmula funciona cando R é un anel conmutativo, pola condición de que det(A) é unha unidade. Se det(A) non é unha unidade, entón A non é invertíbel.

Interpretación xeométrica

Interpretación xeométrica da regra de Cramer. As áreas do segundo e terceiro paralelogramos sombreados son iguais e a segunda é $x_{1}$ veces a primeira. A partir desta igualidade deducimos a regra de Cramer.

A regra de Cramer ten unha interpretación xeométrica que pode considerarse incluso unha proba ou que simplemente dá unha visión sobre a súa natureza xeométrica. Estes argumentos xeométricos funcionan en xeral e non só no caso de dúas ecuacións con dúas incógnitas, como veremos aquí.

Dado o sistema de ecuacións

${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}&=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}&=b_{2}\end{matrix}}$

pode considerarse como unha ecuación entre vectores

$x_{1}{\binom {a_{11}}{a_{21}}}+x_{2}{\binom {a_{12}}{a_{22}}}={\binom {b_{1}}{b_{2}}}.$

A área do paralelogramo determinada por ${\binom {a_{11}}{a_{21}}}$e ${\binom {a_{12}}{a_{22}}}$ vén dada polo determinante do sistema de ecuación:

${\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}$

En xeral, cando hai máis variábeis e ecuacións, o determinante de n vectores de lonxitude n dará o volume do paralelepípedo determinado por devanditos vectores no espazo euclidiano n dimensional.

Polo tanto, a área do paralelogramo determinada por $x_{1}{\binom {a_{11}}{a_{21}}}$ e ${\binom {a_{12}}{a_{22}}}$ ten que ser $x_{1}$ veces a área do primeiro xa que un dos costados foi multiplicado por devandito factor. Agora, este último paralelogramo, polo principio de Cavalieri, ten a mesma área que o paralelogramo determinado por ${\binom {b_{1}}{b_{2}}}}=x_{1}{\binom {a_{11}}{a_{21}}}+x_{2}{\binom {a_{12}}{a_{22}}$ e ${\binom {a_{12}}{a_{22}}}$.

Ao igualar as áreas deste último e do segundo paralelogramo dá a ecuación

${\begin{vmatrix}b_{1}&a_{12}\\b_{2}&a_{22}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a_{11}x_{1}&a_{12}\\a_{21}x_{1}&a_{22}\end{vmatrix}}=x_{1}{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}$

de onde deducimos a regra de Cramer.

Aplicacións

Fórmulas explícitas para sistemas pequenos

Considerando o sistema lineal

$\left\{{\begin{matrix}a_{1}x+b_{1}y&={\color {red}c_{1}}\\a_{2}x+b_{2}y&={\color {red}c_{2}}\end{matrix}}\right.$

que en forma matricial é:

${\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color {red}c_{1}}\\{\color {red}c_{2}}\end{bmatrix}}.$

Supoñemos que a₁b₂ − b₁a₂ é non nulo. Entón, usando os determinantes, podemos achar x e y coa regra de Cramer

${\begin{aligned}x&={\frac {\begin{vmatrix}{\color {red}{c_{1}}}&b_{1}\\{\color {red}{c_{2}}}&b_{2}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\end{vmatrix}}}={{\color {red}c_{1}}b_{2}-b_{1}{\color {red}c_{2}} \over a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2}},\quad y={\frac {\begin{vmatrix}a_{1}&{\color {red}{c_{1}}}\\a_{2}&{\color {red}{c_{2}}}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\end{vmatrix}}}={a_{1}{\color {red}c_{2}}-{\color {red}c_{1}}a_{2} \over a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2}}\end{aligned}}.$

A regra para matrices 3 × 3 é similar. Considerando

$\left\{{\begin{matrix}a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z&={\color {red}d_{1}}\\a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z&={\color {red}d_{2}}\\a_{3}x+b_{3}y+c_{3}z&={\color {red}d_{3}}\end{matrix}}\right.$

que en forma matricial é:

${\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color {red}d_{1}}\\{\color {red}d_{2}}\\{\color {red}d_{3}}\end{bmatrix}}.$

Entón, usando os determinantes, podemos achar x e y coa regra de Cramer

$x={\frac {\begin{vmatrix}{\color {red}d_{1}}&b_{1}&c_{1}\\{\color {red}d_{2}}&b_{2}&c_{2}\\{\color {red}d_{3}}&b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}}},\quad y={\frac {\begin{vmatrix}a_{1}&{\color {red}d_{1}}&c_{1}\\a_{2}&{\color {red}d_{2}}&c_{2}\\a_{3}&{\color {red}d_{3}}&c_{3}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}}},{\text{ and }}z={\frac {\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&{\color {red}d_{1}}\\a_{2}&b_{2}&{\color {red}d_{2}}\\a_{3}&b_{3}&{\color {red}d_{3}}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}}}.$

Programación enteira

A regra de Cramer pode usarse para demostrar que un problema de programación enteira cuxa matriz de restrición é totalmente unimodular (o determinante é 1 ou -1) e cuxo lado dereito é enteiro, ten solucións básicas enteiras. Isto fai que o programación enteira resulte máis fácil de resolver.

Ecuacións diferenciais ordinarias

A regra de Cramer úsase para achar solución xeral a unha ecuación diferencial lineal non homoxénea polo método de variación de parámetros.

Outras probas

Proba por álxebra abstracta lineal

Esta é unha reformulación da proba anterior en linguaxe abstracta.

Consideramos a aplicación ${\vec {x}}=(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto {\frac {1}{\det A}}(\det(A_{1}),\ldots ,\det(A_{n})),$ onde $A_{i}$ é a matriz $A$ con ${\vec {x}}$ substituíndo a $i$-ésima columna, como na regra de Cramer. Debido á linearidade do determinante en cada columna, esta aplicación é lineal e observamos que envía $i$-ésima columna de $A$ ao $i$-ésimo vector canónico ${\vec {e}}_{i}=(0,\ldots ,1,\ldots ,0)$ (con 1 na posición $i$ do vector), porque o determinante dunha matriz cunha columna repetida é 0. Polo tanto, temos unha aplicación lineal que coincide coa inversa de $A$ no espazo das columnas; de aí acepta $A^{-1}$ na extensión do espazo da columnas. Xa que $A$ é invertible, a extensión do espazo dos vectores columna é todo $\mathbb {R} ^{n}$, entón a nosa aplicación é en de verdade a inversa de $A$.

Proba curta

Unha proba curta da regra de Cramer provén da observación de que $x_{1}$ é o determinante da matriz

$X_{1}={\begin{bmatrix}x_{1}&0&0&\dots &0\\x_{2}&1&0&\dots &0\\x_{3}&0&1&\dots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x_{n}&0&0&\dots &1\end{bmatrix}}$

Por outra parte, supoñendo que a matriz orixinal $A$é invertible, esta matriz $X_{1}$ ten como columnas $A^{-1}b,A^{-1}v_{2},\ldots ,A^{-1}v_{n}$, onde $v_{n}$ é a n-ésima columna da matriz $A$. Lembrando que a matriz $A_{1}$ ten as columnas $b,v_{2},\ldots ,v_{n}$, temos que

$x_{1}=\det(X_{1})=\det(A^{-1})\det(A_{1})={\frac {\det(A_{1})}{\det(A)}}.$

A proba para as outras $x_{j}$ é análoga.

Proba usando álxebra de Clifford

Considérese o sistema de tres ecuacións escalares en tres escalares descoñecidos $x_{1},x_{2},x_{3}$

${\begin{aligned}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}&=c_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}&=c_{2}\\a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2}+a_{33}x_{3}&=c_{3}\end{aligned}}$

e asignámoslle unha base de vectores ortonormais $\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}$ para ${\mathcal {G}}_{3}$ como

${\begin{aligned}a_{11}\mathbf {e} _{1}x_{1}+a_{12}\mathbf {e} _{1}x_{2}+a_{13}\mathbf {e} _{1}x_{3}&=c_{1}\mathbf {e} _{1}\\a_{21}\mathbf {e} _{2}x_{1}+a_{22}\mathbf {e} _{2}x_{2}+a_{23}\mathbf {e} _{2}x_{3}&=c_{2}\mathbf {e} _{2}\\a_{31}\mathbf {e} _{3}x_{1}+a_{32}\mathbf {e} _{3}x_{2}+a_{33}\mathbf {e} _{3}x_{3}&=c_{3}\mathbf {e} _{3}\end{aligned}}$

Sexan os vectores

${\begin{aligned}\mathbf {a} _{1}&=a_{11}\mathbf {e} _{1}+a_{21}\mathbf {e} _{2}+a_{31}\mathbf {e} _{3}\\\mathbf {a} _{2}&=a_{12}\mathbf {e} _{1}+a_{22}\mathbf {e} _{2}+a_{32}\mathbf {e} _{3}\\\mathbf {a} _{3}&=a_{13}\mathbf {e} _{1}+a_{23}\mathbf {e} _{2}+a_{33}\mathbf {e} _{3}\end{aligned}}$

Engadindo o sistema de ecuacións, vese que

${\begin{aligned}\mathbf {c} &=c_{1}\mathbf {e} _{1}+c_{2}\mathbf {e} _{2}+c_{3}\mathbf {e} _{3}\\&=x_{1}\mathbf {a} _{1}+x_{2}\mathbf {a} _{2}+x_{3}\mathbf {a} _{3}\end{aligned}}$

Usando o produto exterior, cada escalar descoñecido $x_{k}$ pode ser resolto como

${\begin{aligned}\mathbf {c} \wedge \mathbf {a} _{2}\wedge \mathbf {a} _{3}&=x_{1}\mathbf {a} _{1}\wedge \mathbf {a} _{2}\wedge \mathbf {a} _{3}\\\mathbf {c} \wedge \mathbf {a} _{1}\wedge \mathbf {a} _{3}&=x_{2}\mathbf {a} _{2}\wedge \mathbf {a} _{1}\wedge \mathbf {a} _{3}\\\mathbf {c} \wedge \mathbf {a} _{1}\wedge \mathbf {a} _{2}&=x_{3}\mathbf {a} _{3}\wedge \mathbf {a} _{1}\wedge \mathbf {a} _{2}\\x_{1}&={\frac {\mathbf {c} \wedge \mathbf {a} _{2}\wedge \mathbf {a} _{3}}{\mathbf {a} _{1}\wedge \mathbf {a} _{2}\wedge \mathbf {a} _{3}}}\\x_{2}&={\frac {\mathbf {c} \wedge \mathbf {a} _{1}\wedge \mathbf {a} _{3}}{\mathbf {a} _{2}\wedge \mathbf {a} _{1}\wedge \mathbf {a} _{3}}}={\frac {\mathbf {a} _{1}\wedge \mathbf {c} \wedge \mathbf {a} _{3}}{\mathbf {a} _{1}\wedge \mathbf {a} _{2}\wedge \mathbf {a} _{3}}}\\x_{3}&={\frac {\mathbf {c} \wedge \mathbf {a} _{1}\wedge \mathbf {a} _{2}}{\mathbf {a} _{3}\wedge \mathbf {a} _{1}\wedge \mathbf {a} _{2}}}={\frac {\mathbf {a} _{1}\wedge \mathbf {a} _{2}\wedge \mathbf {c} }{\mathbf {a} _{1}\wedge \mathbf {a} _{2}\wedge \mathbf {a} _{3}}}\end{aligned}}$

Para n ecuacións con n variábeis descoñecidas a solución para a k-ésima variábel descoñecida $x_{k}$ xeneralízase a

${\begin{aligned}x_{k}&={\frac {\mathbf {a} _{1}\wedge \cdots \wedge (\mathbf {c} )_{k}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{n}}{\mathbf {a} _{1}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{k}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{n}}}\\&=(\mathbf {a} _{1}\wedge \cdots \wedge (\mathbf {c} )_{k}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{n})(\mathbf {a} _{1}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{k}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{n})^{-1}\\&={\frac {(\mathbf {a} _{1}\wedge \cdots \wedge (\mathbf {c} )_{k}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{n})(\mathbf {a} _{1}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{k}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{n})}{(\mathbf {a} _{1}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{k}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{n})(\mathbf {a} _{1}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{k}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{n})}}\\&={\frac {(\mathbf {a} _{1}\wedge \cdots \wedge (\mathbf {c} )_{k}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{n})\cdot (\mathbf {a} _{1}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{k}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{n})}{(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}(\mathbf {a} _{n}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{k}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{1})\cdot (\mathbf {a} _{1}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{k}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{n})}}\\&={\frac {(\mathbf {a} _{n}\wedge \cdots \wedge (\mathbf {c} )_{k}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{1})\cdot (\mathbf {a} _{1}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{k}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{n})}{(\mathbf {a} _{n}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{k}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{1})\cdot (\mathbf {a} _{1}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{k}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{n})}}\end{aligned}}$

Se a_k son linealmente independentes, entón $x_{k}$ pode expresarse en termos de determinantes identicamente á regra de Cramer

${\begin{aligned}x_{k}&={\frac {(\mathbf {a} _{n}\wedge \cdots \wedge (\mathbf {c} )_{k}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{1})\cdot (\mathbf {a} _{1}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{k}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{n})}{(\mathbf {a} _{n}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{k}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{1})\cdot (\mathbf {a} _{1}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{k}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{n})}}\\[8pt]&={\begin{vmatrix}\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {a} _{1}&\cdots &\mathbf {a} _{1}\cdot (\mathbf {c} )_{k}&\cdots &\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {a} _{n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\\mathbf {a} _{k}\cdot \mathbf {a} _{1}&\cdots &\mathbf {a} _{k}\cdot (\mathbf {c} )_{k}&\cdots &\mathbf {a} _{k}\cdot \mathbf {a} _{n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\\mathbf {a} _{n}\cdot \mathbf {a} _{1}&\cdots &\mathbf {a} _{n}\cdot (\mathbf {c} )_{k}&\cdots &\mathbf {a} _{n}\cdot \mathbf {a} _{n}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {a} _{1}&\cdots &\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {a} _{k}&\cdots &\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {a} _{n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\\mathbf {a} _{k}\cdot \mathbf {a} _{1}&\cdots &\mathbf {a} _{k}\cdot \mathbf {a} _{k}&\cdots &\mathbf {a} _{k}\cdot \mathbf {a} _{n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\\mathbf {a} _{n}\cdot \mathbf {a} _{1}&\cdots &\mathbf {a} _{n}\cdot \mathbf {a} _{k}&\cdots &\mathbf {a} _{n}\cdot \mathbf {a} _{n}\end{vmatrix}}^{-1}\\[8pt]&={\begin{vmatrix}\mathbf {a} _{1}\\\vdots \\\mathbf {a} _{k}\\\vdots \\\mathbf {a} _{n}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\mathbf {a} _{1}&\cdots &(\mathbf {c} )_{k}&\cdots &\mathbf {a} _{n}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\mathbf {a} _{1}\\\vdots \\\mathbf {a} _{k}\\\vdots \\\mathbf {a} _{n}\end{vmatrix}}^{-1}{\begin{vmatrix}\mathbf {a} _{1}&\cdots &\mathbf {a} _{k}&\cdots &\mathbf {a} _{n}\end{vmatrix}}^{-1}\\[8pt]&={\begin{vmatrix}\mathbf {a} _{1}&\cdots &(\mathbf {c} )_{k}&\cdots &\mathbf {a} _{n}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\mathbf {a} _{1}&\cdots &\mathbf {a} _{k}&\cdots &\mathbf {a} _{n}\end{vmatrix}}^{-1}\\[8pt]&={\begin{vmatrix}a_{11}&\ldots &c_{1}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{k1}&\cdots &c_{k}&\cdots &a_{kn}\\\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &c_{n}&\cdots &a_{nn}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{11}&\ldots &a_{1k}&\cdots &a_{1n}\\\vdots \end{vmatrix}}^{-1}\end{aligned}}$

onde (c)_k denota a substitución do vector a_k co vector c na posición k-ésima do numerador.

Casos incompatíbeis e indeterminados

Un sistema de ecuacións dise incompatíbel cando non ten solución e é chamado indeterminado cando ten máis dunha solución. Para ecuacións lineais, un sistema indeterminado ten infinitas solucións (se estamos sobre un corpo infinito, como no caso dos reais), xa que as solucións poden ser expresadas en termos dun ou máis parámetros que poden tomar valores arbitrarios.

A regra de Cramer aplícase no caso onde o determinante da matriz de coeficientes é non nulo. No caso 2×2, se o determinante é cero, entón o sistema é incompatíbel se o determinante do numerador é non nulo, ou indeterminado se o determinante do numerador é cero.

Para sistemas 3×3 ou maiores, o único que se pode concluír cando o determinante da matriz de coeficientes é nulo, é que se algún dos determinantes dos numeradores é non nulo, entón o sistema ten que ser incompatíbel. Con todo, tendo todos os determinantes nulos non implica que o sistema é indeterminado. Un exemplo sinxelo onde todos os determinantes son iguais a cero mais o sistema é aínda incompatíbel é o 3×3 sistema x+y+z=1, x+y+z=2, x+y+z=3.

Véxase tamén

Bibliografía

• Boyer, Carl B. (1968). Wiley, ed. A History of Mathematics (2nd ed.). 
• Cramer, Gabriel (1750). Europeana, ed. "Introduction à l'Analyse des lignes Courbes algébriques" (en francés). Geneva. Consultado o 2012-05-18. 
• Habgood, Ken; Arel, Itamar (2012). "A condensation-based application of Cramerʼs rule for solving large-scale linear systems" (PDF). Journal of Discrete Algorithms 10 (10). doi:10.1016/j.jda.2011.06.007. Arquivado dende o orixinal (PDF) o 13 de xullo de 2018. Consultado o 20 de marzo de 2019. 
• Higham, Nicholas J. (2002). Accuracy and Stability of Numerical Algorithms (2ª ed.). SIAM. ISBN 978-0-89871-521-7. 
• Hedman, Bruce A. (1999). "An Earlier Date for "Cramer's Rule"" (PDF). Historia Mathematica 26 (4). doi:10.1006/hmat.1999.2247. 
• Hoffman, Joe D.; Frankel, Steven (2001). Numerical Methods for Engineers and Scientists (2ª ed.). CRC Press. ISBN 978-0-8247-0443-8. 
• Katz, Victor (2004). Pearson Education, ed. A History of Mathematics (Brief ed.). 
• Kosinski, A. A. (2001). "Cramer's Rule is due to Cramer". Mathematics Magazine 74. doi:10.2307/2691101. 
• Poole, David (2014). Linear Algebra: A Modern Introduction. Cengage Learning. ISBN 978-1-285-98283-0. 
• Robinson, Stephen M. (1970). "A Short Proof of Cramer's Rule". Mathematics Magazine 43. 
• Shores, Thomas S. (2007). Applied Linear Algebra and Matrix Analysis. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-48947-6. 
• Gong, Zhiming; Aldeen, M.; Elsner, L. (2002). "A note on a generalized Cramer's rule". Linear Algebra and its Applications 340. doi:10.1016/S0024-3795(01)00469-4.