Ecuación diferencial ordinaria

En matemática e en particular na análise, unha ecuación diferencial ordinaria (ou EDO) é unha ecuación que envolve as derivadas dunha función descoñecida dunha variable. Un exemplo simple dunha ecuación diferencial ordinaria é

$f'=f,\,$

onde f é unha función descoñecida, e f' a súa derivada.

Definición

Sexa y unha función de x e que

$y',y'',\ \dots ,\ y^{(n)}$

denote as súas derivadas

${\frac {dy}{dx}},\ {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},\ \dots ,\ {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}$.

Unha ecuación diferencial ordinaria (EDO) é unha ecuación que envolve

$x,\ y,\ y',\ y'',\ \dots$.

A orde dunha ecuación${\displaystyle }$ diferencial é a orde $n$ da maior derivada na ecuación.

Unha solución dunha EDO é unha función y(x) cuxas derivadas satisfán a ecuación. Non está garantido que tal función exista, e no caso de que exista, normalmente non é única.

Sobre a linearidade dunha ecuación diferencial ordinaria de orde n pode ser vista como unha función

$F(x,y',y'',\ \dots ,\ y^{(n)})=0$, e dise que a ecuación diferencial é linear se $F$ for linear en $y,y'(x),\ \dots ,\ y^{(n)}(x)$.

No que se refire aos coeficientes, unha ecuación diferencial pode ter coeficientes constantes ou funcións da variable independente.

Cando unha ecuación diferencial de orde n ten a forma

$F(x,y',y'',\ \dots ,\ y^{(n)})=0$

denomínase ecuación diferencial implícita, mentres que a forma

$F(x,y',y'',\ \dots ,\ y^{(n-1)})=y^{(n)}$

denomínase ecuación diferencial explícita.

Unha ecuación diferencial é autónoma se non depende explicitamente de x, e homoxénea se todos os termos da ecuación diferencial dependen exclusivamente de x.

Exemplos prácticos

As ecuacións diferenciais empréganse frecuentemente para describir procesos nos que a mudanza dunha medida ou dimensión é causada polo propio proceso.

Historicamente, as primeiras ecuacións diferenciais foron as relativas á aceleración igual ou desigual, que Galileo Galilei puido medir, aínda que con métodos xeométricos.

Isaac Newton e Gottfried Leibniz introduciron o cálculo diferencial e, este último, as ecuacións diferenciais como as coñecemos hoxe.

Por exemplo na Física, a lei da vida media prevé que o número de átomos que se decompón por unidade de tempo nunha masa de átomos inestables dependen do total N dos átomos existentes (aquí é necesario considerar que, por ser N un número moi grande, pode tomarse a súa variación continua e determinista; no caso de N ser un número pequeno débese considerar a súa variación discreta e estocástica, e o método máis adecuado é outro).

Deste xeito, a diminución do número de átomos é proporcional ao total de átomos:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}N(t)=c\;N(t).$

Polo cálculo da función $N(t)\!$ nesta ecuación diferencial, tórnase posible determinar o número total de átomos a cada momento no tempo.

Un outro exemplo simple é o oscilador inalterado harmónico coa ecuación diferencial

$m\;a=m\;{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}x(t)=-k\;x(t).$

A función procurada aquí é a función $x(t)$, cuxa segunda derivada en relación ao tempo procede das leis do movemento.

Ecuacións diferenciais específicas

Ecuacións diferenciais lineares

Unha EDO é linear cando os termos que envolven a función que se precisa determinar aparecen só de forma linear, ou sexa, pódese escribir a EDO como

$f_{n}(x)y^{(n)}(x)+f_{n-1}(x)y^{(n-1)}(x)+\ldots +f_{1}(x)y'(x)+f_{0}(x)y(x)=q(x)\,$

Esta ecuación é de grao n cando a función f_n(x) non é identicamente nula.

Solución dunha ecuación diferencial ordinaria

Unha solución para unha ecuación diferencial é unha función que satisfai a identidade da ecuación. A solución máis xeral posible que admite unha ecuación diferencial denomínase solución xeral mentres que outra solución chámase solución particular.

Exemplo: $y'+y=0$

Solución particular: $y(x)=e^{-x}$

Solución xeral: $y(x)=Ce^{-x}$ (C constante)

As solucións clasifícanse en:

• Solución xeral - presenta n constantes independentes entre si (n=orde da EDO). Esas constantes, segundo a conveniencia, podem ser escritas $C,2C,C^{2},\ln {C},...$
• Solución particular - obtida da xeral, mediante condicións dadas (chamadas condicións iniciais ou condicións de contorno).

Métodos para resolución de EDO

A habilidade en encontrar solucións exactas en xeral depende da habilidade en recoñecer certos tipos de ecuacións diferenciais e da aplicación dun método específico. Noutras palabras, o que funciona para un tipo de ecuacións diferenciais non necesariamente se aplica a outro tipo.

Véxase tamén

Outros artigos

• Ecuación diferencial
• Sistemas dinámicos

Ligazóns externas

• CEFET/RJ materia de E.D.O.^{[Ligazón morta]}
• EDO