Ecuación diferencial ordinaria

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.

En matemática e en particular na análise, unha ecuación diferencial ordinaria (ou EDO) é unha ecuación que envolve as derivadas dunha función descoñecida dunha variable. Un exemplo simple dunha ecuación diferencial ordinaria é

onde f é unha función descoñecida, e f' a súa derivada.

Definición[editar | editar a fonte]

Sexa y unha función de x e que

denote as súas derivadas

.

Unha ecuación diferencial ordinaria (EDO) é unha ecuación que envolve

.

A orde dunha ecuación diferencial é a orde da maior derivada na ecuación.

Unha solución dunha EDO é unha función y(x) cuxas derivadas satisfán a ecuación. Non está garantido que tal función exista, e no caso de que exista, normalmente non é única.

Sobre a linearidade dunha ecuación diferencial ordinaria de orde n pode ser vista como unha función

, e dise que a ecuación diferencial é linear se for linear en .[1]

No que se refire aos coeficientes, unha ecuación diferencial pode ter coeficientes constantes ou funcións da variable independente.

Cando unha ecuación diferencial de orde n ten a forma

denomínase ecuación diferencial implícita, mentres que a forma

denomínase ecuación diferencial explícita.

Unha ecuación diferencial é autónoma se non depende explicitamente de x, e homoxénea se todos os termos da ecuación diferencial dependen exclusivamente de x.

Exemplos prácticos[editar | editar a fonte]

As ecuacións diferenciais empréganse frecuentemente para describir procesos nos que a mudanza dunha medida ou dimensión é causada polo propio proceso.

Historicamente, as primeiras ecuacións diferenciais foron as relativas á aceleración igual ou desigual, que Galileo Galilei puido medir, aínda que con métodos xeométricos.

Isaac Newton e Gottfried Leibniz introduciron o cálculo diferencial e, este último, as ecuacións diferenciais como as coñecemos hoxe.

Por exemplo na Física, a lei da vida media prevé que o número de átomos que se decompón por unidade de tempo nunha masa de átomos inestables dependen do total N dos átomos existentes (aquí é necesario considerar que, por ser N un número moi grande, pode tomarse a súa variación continua e determinista; no caso de N ser un número pequeno débese considerar a súa variación discreta e estocástica, e o método máis adecuado é outro).

Deste xeito, a diminución do número de átomos é proporcional ao total de átomos:

Polo cálculo da función nesta ecuación diferencial, tórnase posible determinar o número total de átomos a cada momento no tempo.

Un outro exemplo simple é o oscilador inalterado harmónico coa ecuación diferencial

A función procurada aquí é a función , cuxa segunda derivada en relación ao tempo procede das leis do movemento.

Ecuacións diferenciais específicas[editar | editar a fonte]

Ecuacións diferenciais lineares[editar | editar a fonte]

Unha EDO é linear cando os termos que envolven a función que se precisa determinar aparecen só de forma linear, ou sexa, pódese escribir a EDO como

Esta ecuación é de grao n cando a función fn(x) non é identicamente nula.

Solución dunha ecuación diferencial ordinaria[editar | editar a fonte]

Unha solución para unha ecuación diferencial é unha función que satisfai a identidade da ecuación. A solución máis xeral posible que admite unha ecuación diferencial denomínase solución xeral mentres que outra solución chámase solución particular.[2]

Exemplo:

Solución particular:

Solución xeral: (C constante)

As solucións clasifícanse en:

  • Solución xeral - presenta n constantes independentes entre si (n=orde da EDO). Esas constantes, segundo a conveniencia, podem ser escritas
  • Solución particular - obtida da xeral, mediante condicións dadas (chamadas condicións iniciais ou condicións de contorno).[3]

Métodos para resolución de EDO[editar | editar a fonte]

A habilidade en encontrar solucións exactas en xeral depende da habilidade en recoñecer certos tipos de ecuacións diferenciais e da aplicación dun método específico. Noutras palabras, o que funciona para un tipo de ecuacións diferenciais non necesariamente se aplica a outro tipo.[4]

Notas[editar | editar a fonte]

  1. Ecuacións Diferenciais Elementais e Problemas de Valores de Contorno oitava ed.
  2. «Ecuacións Diferenciais Ordinarias»
  3. «Ecuacións Diferenciais».
  4. «Ecuacións Diferenciais de Variabades Separabades».

Véxase tamén[editar | editar a fonte]

Outros artigos[editar | editar a fonte]

Ligazóns externas[editar | editar a fonte]