Número pi

Para outras páxinas con títulos homónimos véxase: Pi.

Cando o diámetro dun círculo é 1, a lonxitude da circunferencia é pi.

Números – Números irracionais ζ(3) – √2 – √3 – √5 – φ – α – e – π – δ
Binario	11.00100100001111110110…
Decimal [1]	3.141592 6535897 9323846 264338 3279 5028 841971 6939937510 582097 494459 23078164 06286 20899 8628034 8253421 170679 821480 865132 8230 6647 093844 609550 582231 725359 408128
Hexadecimal	3.243F6A8885A308D31319…
Fracción continua	$3+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{15+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{292+\ddots }}}}}}}}$ Nótese que esta fracción continua non é periódica.

Pi ou π é unha constante matemática cuxo valor é a razón aritmética de calquera circunferencia dun círculo co seu diámetro; este é o mesmo valor ca o da razón da área dun círculo co cadrado do seu raio. É aproximadamente igual a 3,14159 na notación decimal habitual. π é unha das constantes matemáticas e físicas máis importantes: moitas fórmulas das matemáticas, ciencias e enxeñaría están moi relacionadas con π.

π é un número irracional, o que significa que o seu valor non pode ser expresado exactamente como fracción m/n, onde m e n son enteiros. Por conseguinte, a súa representación decimal nunca acaba ou se repite. É tamén un número transcendental, o que quere dicir que non existen secuencias finitas de operacións alxebraicas con números enteiros (multiplicacións, raíces, sumas, etc.) que poidan ser igual ao seu valor; demostrar isto foi un logro recente na historia das matemáticas e un resultado significativo das matemáticas alemás do século XIX. Ao longo da historia matemática, teñen habido moitos esforzos por determinar π máis exactamente e entender a súa natureza; a fascinación co número mesmo pasou a cultura non-matemática.

A letra grega π, frecuentemente enunciado pi, foi adoptada para o número a partir da palabra grego para perímetro "περίμετρος", por vez primeira por William Jones en 1707, e popularizada por Leonhard Euler en 1737. A constante tamén é ocasionalmente referida coma a "constante circular", a "constante de Arquimedes" (para non ser confundida co número de Arquimedes) ou "número de Ludolph" (a partir dun matemático alemán cuxos esforzos para calcular os máis dos seus díxitos o fixeron coñecido).

Definicións

• En xeometría plana, π pódese definir como a relación da circunferencia co seu diámetro.
• Tamén se define π analiticamente usando funcións trigonométricas, como exemplos:
  • como o menor positivo x para o cal sen(x) = 0,
  • como o duplo do menor positivo x para o cal cos(x) = 0.

Fórmulas que conteñen π

Probabilidade

• A probabilidade de que dous enteiros positivos escollidos ó chou sexan primos entre si é: 6/π²
• Se se elixen ó chou dous números positivos menores que 1, a probabilidade de que xunto co número 1 podan ser os lados dun triángulo obtusángulo é: (π-2)/4
• Agulla de Buffon: Se lanzamos, ó chou, unha agulla de lonxitude L sobre unha superficie na que hai debuxadas liñas paralelas separadas unha distancia D, a probabilidade de que a agulla corte unha liña é: Lπ/2D

Xeometría

• Ángulos: 180 graos son equivalentes a π radiáns

Forma xeométrica	Formula
Circunferencia do circo de raio r e diámetro d	$C=\pi d=2\pi r\,\!$
Área of circo de raio r	$A=\pi r^{2}\,\!$
Área da elipse con semi-eixos a e mais b	$A=\pi ab\,\!$
Volume da esfera de raio r	$V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}\,\!$
Superficie da esfera de raio r	$A=4\pi r^{2}\,\!$
Volume do cilindro de altura h e raio r	$V=\pi r^{2}h\,\!$
Superficie do cilindro de altura h e raio r	$A=2(\pi r^{2})+(2\pi r)h=2\pi r(r+h)\,\!$
Volume do cono de altura h e raio r	$V={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h\,\!$
Superficie do cono de altura h e raio r	$A=\pi r{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}+\pi r^{2}=\pi r(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}})\,\!$

Ademais, o ángulo 180° en graos equivale a π radians (unha volta enteira, 360 graos, son equivalentes a 2π radiáns).

Análise

Moitas fórmulas de análise matemática conteñen π, incluíndo series infinitas, integrais, e as chamadas funcións especiais.

• François Viète, 1593 (Proba de Viète):

${\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}{\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}{\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\ldots$

• formula de Leibniz:

${\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots ={\frac {\pi }{4}}$

Esta serie infinita, citada a miudo, escrébese como se indica arriba, pero exprésase mais tecnicamente como:

$\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\left({\frac {1}{2n+1}}\right)={\frac {\pi }{4}}$

• produto de Wallis (ver este artigo para a proba):

${\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots ={\frac {\pi }{2}}$

• Unha formula de calculo integral  :

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}$

• problema de Basel, resolta por Euler (ver tamén funcion zeta de Riemann ):

$\zeta (2)={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}$

$\zeta (4)={\frac {1}{1^{4}}}+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+{\frac {1}{4^{4}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{4}}{90}}$

e xeralmente, $\zeta (2n)$ é un multiplo de $\pi ^{2n}$ para o enteiro positivo n

• función Gamma evaluada en 1/2:

$\Gamma \left({1 \over 2}\right)={\sqrt {\pi }}$

• aproximación de Stirling:

$n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}$

• identidade de Euler (chamada por Richard Feynman "a formula mais salientada en matematicas"):

$e^{i\pi }+1=0\;$

• Area dun cuarto do circo unidade:

$\int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx={\pi \over 4}$

Véxase tamén

Ligazóns externas

• Páxina sobre π