Saltar ao contido

Coordenadas baricéntricas

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
Coordenadas baricéntricas nun triángulo equilátero e nun triángulo rectángulo.
Un 3-simplex, con subdivisións baricéntricas de 1-caras (arestas), 2-caras (triángulos) e 3-caras (corpo).

En xeometría, as coordenadas baricéntricas son un sistema de coordenadas no que a localización dun punto especifícase por referencia a un simplex (un triángulo para puntos nun plano, un tetraedro para puntos no espazo tridimensional, etc.). As coordenadas baricéntricas dun punto pódense interpretar como masas situadas nos vértices do simplex, de xeito que o punto é o centro de masas (ou baricentro) destas masas. Estas masas poden ser nulas ou negativas; todas son positivas se e só se o punto está dentro do simplex.

Todo punto ten coordenadas baricéntricas, e a súa suma nunca é cero. Dúas tuplas de coordenadas baricéntricas especifican o mesmo punto se e só se son proporcionais.

As coordenadas baricéntricas foron introducidas por August Möbius en 1827. [1][2][3]

As coordenadas baricéntricas son particularmente útiles na xeometría do triángulo para estudar propiedades que non dependen dos ángulos do triángulo, como o teorema de Ceva, o teorema de Routh e o teorema de Menelao. No deseño asistido por ordenador, son útiles para definir algúns tipos de superficies de Bézier.[4] [5]

Definición

[editar | editar a fonte]

Sexan , n + 1 puntos nun espazo euclidiano, un espazo afín de dimensión n, que son puntos afinmente independentes; isto significa que non hai un subespazo afín de dimensión n − 1 que conteña tódolos puntos,[6] ou equivalentemente, que os puntos definan un simplex. Dado calquera punto existen os escalares , que non son todos cero, tal quepara calquera punto O (Como é habitual, a notación representa o vector de translación ou vector libre que mapea o punto A no punto B).

Os elementos dunha tupla con (n + 1) elementos que satisfagan esta ecuación denomínanse coordenadas baricéntricas de P en relación a O uso dos dous puntos na notación da tupla significa que as coordenadas baricéntricas son unha especie de coordenadas homoxéneas, é dicir, o punto non muda se todas as coordenadas se multiplican pola mesma constante distinta de cero. A maiores, as coordenadas baricéntricas tampouco non se modifican se muda o punto auxiliar O, a orixe.

Como xa se comentou dúas tuplas de coordenadas baricéntricas especifican o mesmo punto se e só se son proporcionais. É dicir, dúas tuplas e son coordenadas baricéntricas do mesmo punto se e só se hai un escalar distinto de cero tal que por cada i. Por tanto pódense restrinxir os valores ao intervalo [0,1] dividindo cada pola suma de todos os Deste modo nos referimos a coordenadas baricéntricas normalizadas ou absolutas.

Coordenadas baricéntricas en triángulos

[editar | editar a fonte]

No contexto dun triángulo, as coordenadas baricéntricas tamén se coñecen como coordenadas de área, porque as coordenadas de P en relación ao triángulo ABC son equivalentes ás razóns (con signos) das áreas de PBC, PCA e PAB á área do triángulo de referencia ABC. As coordenadas de área e as coordenadas trilineares utilízanse con fins similares en xeometría.

Considere un triángulo con vértices , , no plano . Cada triángulo ten unha área con signo que imos denominar sarea:

O signo é positivo se o camiño de --- vai no sentido contrario ás agullas do reloxo e negativo se o camiño vai no sentido das agullas do reloxo.

Sexa un punto no plano e as súas coordenadas baricéntricas normalizadas en relación ao triángulo , así temos

.

Onde

Sexa

daquela é un paralelogramo porque os seus pares de lados opostos, representados polos pares de vectores de desprazamento , e , son paralelos e congruentes.

O triángulo é a metade do paralelogramo , polo que o douplo da súa área con signo é igual á área con signo do paralelogramo, que vén dada polo determinante , cuxas columnas son os vectores de desprazamento e

que podemos escribir como

así

e tamén temos que

.

Para obter a ratio destas áreas con signo, expresamos na segunda fórmula en función das súas coordenadas baricéntricas:

Metendo este resultado na primeira fórmula obtemos

.

Polo tanto

.

De forma similar teríamos

.

Aquí móstranse as coordenadas baricéntricas dalgúns puntos notables do triángulo:

  • punto medio de
  • punto medio de
  • punto medio de
  • centro de gravidade
  • centro do circunferencia inscrita ou
  • centro do circunferencia circunscrita ou ou .
  • ortocentro ou
  • centro do circunferencia dos nove puntos (circunferencia de Euler)
  • punto simediano

As coordenadas baricéntricas de miles de puntos notables do triángulo pódense atopar na encyclopedia of triangle centers (ETC).

Relación con outras coordenadas

[editar | editar a fonte]

Relación coas coordenadas trilineares

[editar | editar a fonte]

As coordenadas trilineares de son distancias de ás liñas BC, AC e AB con signo, respectivamente. O signo de é positivo se e se atopan no mesmo lado de BC, negativo en caso contrario. Similarmente para e .

Sexa

, , .

Daquela

.

Os tres signos son positivos se o triángulo ABC está orientado positivamente e negativos no caso contrario. As relacións entre coordenadas trilineares e baricéntricas obtéñense substituíndo estas fórmulas nas fórmulas anteriores que expresan coordenadas baricéntricas como ratios entre áreas.

Un punto con coordenadas trilineares x : y : z ten coordenadas baricéntricas ax : by : cz onde a, b, c son as lonxitudes dos lados do triángulo. Pola contra, un punto con baricéntricas ten trilineares

Conversión entre coordenadas baricéntricas e cartesianas

[editar | editar a fonte]

Podemos escribir as coordenadas cartesianas do punto como ás compoñentes cartesianas dos vértices do triángulo , , onde e así temos ás coordenadas baricéntricas de como

É dicir, as coordenadas cartesianas de calquera punto son unha media ponderada das coordenadas cartesianas dos vértices do triángulo, sendo os pesos as coordenadas baricéntricas normalizadas do punto.

Para atopar a transformación inversa, de coordenadas cartesianas a coordenadas baricéntricas, primeiro substituímos no anterior para obter

Reorganizando, isto é

Esta transformación linear pódese escribir de forma máis sucinta como

onde é o vector das dúas primeiras coordenadas baricéntricas, é o vector de coordenadas cartesianas, e é unha matriz dada por

Agora a matriz é invertíbel, xa que e son linearmente independentes (se non fose o caso, entón , , e serían colineares e non formarían un triángulo). Así, podemos reorganizar a ecuación anterior para obter

Achar as coordenadas baricéntricas reduciuse así a atopar a matriz inversa de .

Explicitamente, as fórmulas para as coordenadas baricéntricas do punto en función das súas coordenadas cartesianas (x, y) e en función das coordenadas cartesianas dos vértices do triángulo son:

Ecuacións en coordenadas baricéntricas

[editar | editar a fonte]

Os tres lados a, b, c teñen, respectivamente, ecuacións[7]

A ecuación da recta de Euler dun triángulo é [7]

Distancia entre puntos

[editar | editar a fonte]

O vector de desprazamento de dous puntos e é[8]

A distancia d entre P e Q, é [7] [8]

onde a, b, c son as lonxitudes dos lados do triángulo. A equivalencia das dúas últimas expresións segue de que se cumpre porque

As coordenadas baricéntricas dun punto pódense calcular en función das distancias di aos tres vértices do triángulo resolvendo a ecuación

  1. Möbius, August Ferdinand (1827). Der barycentrische Calcul. Leipzig: J.A. Barth. 
    Reprinted in Baltzer, Richard, ed. (1885). "Der barycentrische Calcul". August Ferdinand Möbius Gesammelte Werke 1. Leipzig: S. Hirzel. pp. 1–388. 
  2. Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-49328-0, S. 76.
  3. Hille, Einar. "Analytic Function Theory, Volume I", Second edition, fifth printing. Chelsea Publishing Company, New York, 1982, ISBN 0-8284-0269-8, page 33, footnote 1
  4. Josef Hoschek, Dieter Lasser: Grundlagen der geometrischen Datenverarbeitung. Teubner-Verlag, 1989, ISBN 3-519-02962-6, S. 243.
  5. Gerald Farin: Curves and Surfaces for Computer Aided Geometric Design. Academic Press, 1990, ISBN 9780122490514, S. 20.
  6. Reventós Tarrida, Agustí. "Affine Maps, Euclidean Motions and Quadrics". Springer, 2011, ISBN 978-0-85729-709-9, page 11
  7. 7,0 7,1 7,2 Scott, J. A. "Some examples of the use of areal coordinates in triangle geometry", Mathematical Gazette 83, novembro de 1999, 472–477.
  8. 8,0 8,1 "baricéntricas, notas" (PDF). 

Véxase tamén

[editar | editar a fonte]

Bibliografía

[editar | editar a fonte]

Outros artigos

[editar | editar a fonte]

Ligazóns externas

[editar | editar a fonte]