Coordenadas baricéntricas

En xeometría, as coordenadas baricéntricas son un sistema de coordenadas no que a localización dun punto especifícase por referencia a un simplex (un triángulo para puntos nun plano, un tetraedro para puntos no espazo tridimensional, etc.). As coordenadas baricéntricas dun punto pódense interpretar como masas situadas nos vértices do simplex, de xeito que o punto é o centro de masas (ou baricentro) destas masas. Estas masas poden ser nulas ou negativas; todas son positivas se e só se o punto está dentro do simplex.

Todo punto ten coordenadas baricéntricas, e a súa suma nunca é cero. Dúas tuplas de coordenadas baricéntricas especifican o mesmo punto se e só se son proporcionais.

As coordenadas baricéntricas foron introducidas por August Möbius en 1827. ^[1]^[2]^[3]

As coordenadas baricéntricas son particularmente útiles na xeometría do triángulo para estudar propiedades que non dependen dos ángulos do triángulo, como o teorema de Ceva, o teorema de Routh e o teorema de Menelao. No deseño asistido por ordenador, son útiles para definir algúns tipos de superficies de Bézier.^[4] ^[5]

Definición

Sexan $A_{0},\ldots ,A_{n}$ , $n + 1$ puntos nun espazo euclidiano, un espazo afín $\mathbf {A}$ de dimensión $n$ , que son puntos afinmente independentes; isto significa que non hai un subespazo afín de dimensión $n - 1$ que conteña tódolos puntos,^[6] ou equivalentemente, que os puntos definan un simplex. Dado calquera punto $P\in \mathbf {A} ,$ existen os escalares $a_{0},\ldots ,a_{n}$ , que non son todos cero, tal que $(a_{0}+\cdots +a_{n}){\overset {}{\overrightarrow {OP}}}=a_{0}{\overset {}{\overrightarrow {OA_{0}}}}+\cdots +a_{n}{\overset {}{\overrightarrow {OA_{n}}}},$ para calquera punto $O$ (Como é habitual, a notación ${\overset {}{\overrightarrow {AB}}}$ representa o vector de translación ou vector libre que mapea o punto $A$ no punto $B$ ).

Os elementos dunha tupla $(a_{0}:\dotsc :a_{n})$ con $(n + 1)$ elementos que satisfagan esta ecuación denomínanse coordenadas baricéntricas de $P$ en relación a $A_{0},\ldots ,A_{n}.$ O uso dos dous puntos na notación da tupla significa que as coordenadas baricéntricas son unha especie de coordenadas homoxéneas, é dicir, o punto non muda se todas as coordenadas se multiplican pola mesma constante distinta de cero. A maiores, as coordenadas baricéntricas tampouco non se modifican se muda o punto auxiliar $O$ , a orixe.

Como xa se comentou dúas tuplas de coordenadas baricéntricas especifican o mesmo punto se e só se son proporcionais. É dicir, dúas tuplas $(a_{0}:\dotsc :a_{n})$ e $(b_{0}:\dotsc :b_{n})$ son coordenadas baricéntricas do mesmo punto se e só se hai un escalar distinto de cero $\lambda$ tal que $b_{i}=\lambda a_{i}$ por cada $i$ . Por tanto pódense restrinxir os valores ao intervalo [0,1] dividindo cada $a_{i}$ pola suma de todos os $a_{i}.$ Deste modo nos referimos a coordenadas baricéntricas normalizadas ou absolutas.

Coordenadas baricéntricas en triángulos

No contexto dun triángulo, as coordenadas baricéntricas tamén se coñecen como coordenadas de área, porque as coordenadas de P en relación ao triángulo ABC son equivalentes ás razóns (con signos) das áreas de PBC, PCA e PAB á área do triángulo de referencia ABC. As coordenadas de área e as coordenadas trilineares utilízanse con fins similares en xeometría.

Considere un triángulo $ABC$ con vértices $A=(a_{1},a_{2})$ , $B=(b_{1},b_{2})$ , $C=(c_{1},c_{2})$ no plano $\mathbb {R} ^{2}$ . Cada triángulo $ABC$ ten unha área con signo que imos denominar sarea:

\operatorname {sarea} (ABC)=\pm \operatorname {area} (ABC).

O signo é positivo se o camiño de $A$ - $B$ - $C$ - $A$ vai no sentido contrario ás agullas do reloxo e negativo se o camiño vai no sentido das agullas do reloxo.

Sexa $P$ un punto no plano e $(\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3})$ as súas coordenadas baricéntricas normalizadas en relación ao triángulo $ABC$ , así temos

P=\lambda _{1}A+\lambda _{2}B+\lambda _{3}C

.

Onde

1=\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}.

{\begin{aligned}\lambda _{1}&=\operatorname {sarea} (PBC)/\operatorname {sarea} (ABC).\\\lambda _{2}&=\operatorname {sarea} (APC)/\operatorname {sarea} (ABC).\\\lambda _{3}&=\operatorname {sarea} (ABP)/\operatorname {sarea} (ABC).\end{aligned}}

Proba

Sexa $D=-A+B+C,$

daquela $ABCD$ é un paralelogramo porque os seus pares de lados opostos, representados polos pares de vectores de desprazamento $D-C=B-A$ , e $D-B=C-A$ , son paralelos e congruentes.

O triángulo $ABC$ é a metade do paralelogramo $ABDC$ , polo que o douplo da súa área con signo é igual á área con signo do paralelogramo, que vén dada polo determinante $2\times 2$ , $\det(B-A,C-A)$ cuxas columnas son os vectores de desprazamento $B-A$ e $C-A$

\operatorname {sarea} (ABCD)=\det {\begin{pmatrix}b_{1}-a_{1}&c_{1}-a_{1}\\b_{2}-a_{2}&c_{2}-a_{2}\end{pmatrix}}

que podemos escribir como

{\begin{aligned}\det(B-A,C-A)&=\det(B,C)-\det(A,C)-\det(B,A)+\det(A,A)\\&=\det(A,B)+\det(B,C)+\det(C,A)\end{aligned}}

así

2\operatorname {sarea} (ABC)=\det(A,B)+\det(B,C)+\det(C,A),

e tamén temos que

2\operatorname {sarea} (PBC)=\det(P,B)+\det(B,C)+\det(C,P)

.

Para obter a ratio destas áreas con signo, expresamos $P$ na segunda fórmula en función das súas coordenadas baricéntricas:

{\begin{aligned}2\operatorname {sarea} (PBC)&=\det(\lambda _{1}A+\lambda _{2}B+\lambda _{3}C,B)+\det(B,C)+\det(C,\lambda _{1}A+\lambda _{2}B+\lambda _{3}C)\\&=\lambda _{1}\det(A,B)+\lambda _{3}\det(C,B)+\det(B,C)+\lambda _{1}\det(C,A)+\lambda _{2}\det(C,B)\\&=\lambda _{1}\det(A,B)+\lambda _{1}\det(C,A)+(1-\lambda _{2}-\lambda _{3})\det(B,C)\end{aligned}}.

Metendo este resultado na primeira fórmula obtemos

{\begin{aligned}2\operatorname {sarea} (PBC)&=\lambda _{1}(\det(A,B)+\det(B,C)+\det(C,A))\\&=(\lambda _{1})(2\operatorname {sarea} (ABC))\end{aligned}}

.

Polo tanto

\lambda _{1}=\operatorname {sarea} (PBC)/\operatorname {sarea} (ABC)

.

De forma similar teríamos

\lambda _{2}=\operatorname {sarea} (APC)/\operatorname {sarea} (ABC)

\lambda _{3}=\operatorname {sarea} (ABP)/\operatorname {sarea} (ABC)

.

Exemplos

Aquí móstranse as coordenadas baricéntricas dalgúns puntos notables do triángulo:

$A(1,0,0)$
$B(0,1,0)$
$C(0,0,1)$
punto medio de $[BC]\,(0,1,1)$
punto medio de $[CA]\,(1,0,1)$
punto medio de $[AB]\,(1,1,0)$
centro de gravidade $G(1,1,1)$
centro do circunferencia inscrita $I(a,b,c)$ ou $(\sin {\widehat {A}},\sin {\widehat {B}},\sin {\widehat {C}}).$
centro do circunferencia circunscrita $O(a\cos {\widehat {A}},b\cos {\widehat {B}},c\cos {\widehat {C}})$ ou $(\sin 2{\hat {A}},\sin 2{\hat {B}},\sin 2{\hat {C}})$ ou $\left(a^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2}),b^{2}(c^{2}+a^{2}-b^{2}),c^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})\right)$ .
ortocentro $H(a/\cos {\widehat {A}},b/\cos {\widehat {B}},c/\cos {\widehat {C}})$ ou $(\tan {\widehat {A}},\tan {\widehat {B}},\tan {\widehat {C}})$
centro do circunferencia dos nove puntos (circunferencia de Euler) $\Omega (a\cos({\widehat {B}}-{\widehat {C}}),b\cos({\widehat {C}}-{\widehat {A}}),c\cos({\widehat {A}}-{\widehat {B}}))$
punto simediano $(a^{2},b^{2},c^{2})$

As coordenadas baricéntricas de miles de puntos notables do triángulo pódense atopar na encyclopedia of triangle centers (ETC).

Relación con outras coordenadas

Relación coas coordenadas trilineares

As coordenadas trilineares $(\gamma _{1},\gamma _{2},\gamma _{3})$ de $P$ son distancias de $P$ ás liñas BC, AC e AB con signo, respectivamente. O signo de $\gamma _{1}$ é positivo se $P$ e $A$ se atopan no mesmo lado de BC, negativo en caso contrario. Similarmente para $\gamma _{2}$ e $\gamma _{3}$ .

Sexa

a=\operatorname {length} (BC)

,

b=\operatorname {length} (CA)

,

c=\operatorname {length} (AB)

.

Daquela

{\begin{aligned}\gamma _{1}a&=\pm 2\operatorname {sarea} (PBC)\\\gamma _{2}b&=\pm 2\operatorname {sarea} (APC)\\\gamma _{3}c&=\pm 2\operatorname {sarea} (ABP)\end{aligned}}

.

Os tres signos son positivos se o triángulo ABC está orientado positivamente e negativos no caso contrario. As relacións entre coordenadas trilineares e baricéntricas obtéñense substituíndo estas fórmulas nas fórmulas anteriores que expresan coordenadas baricéntricas como ratios entre áreas.

Un punto con coordenadas trilineares x : y : z ten coordenadas baricéntricas ax : by : cz onde a, b, c son as lonxitudes dos lados do triángulo. Pola contra, un punto con baricéntricas $\lambda _{1}:\lambda _{2}:\lambda _{3}$ ten trilineares $\lambda _{1}/a:\lambda _{2}/b:\lambda _{3}/c.$

Conversión entre coordenadas baricéntricas e cartesianas

Podemos escribir as coordenadas cartesianas do punto $\mathbf {r}$ como ás compoñentes cartesianas dos vértices do triángulo $\mathbf {r} _{1}$ , $\mathbf {r} _{2}$ , $\mathbf {r} _{3}$ onde $\mathbf {r} _{i}=(x_{i},y_{i})$ e así temos ás coordenadas baricéntricas de $\mathbf {r}$ como

{\begin{aligned}x&=\lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2}+\lambda _{3}x_{3}\\[2pt]y&=\lambda _{1}y_{1}+\lambda _{2}y_{2}+\lambda _{3}y_{3}\end{aligned}}

É dicir, as coordenadas cartesianas de calquera punto son unha media ponderada das coordenadas cartesianas dos vértices do triángulo, sendo os pesos as coordenadas baricéntricas normalizadas do punto.

Para atopar a transformación inversa, de coordenadas cartesianas a coordenadas baricéntricas, primeiro substituímos $\lambda _{3}=1-\lambda _{1}-\lambda _{2}$ no anterior para obter

{\begin{aligned}x&=\lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2}+(1-\lambda _{1}-\lambda _{2})x_{3}.\\[2pt]y&=\lambda _{1}y_{1}+\lambda _{2}y_{2}+(1-\lambda _{1}-\lambda _{2})y_{3}.\end{aligned}}

Reorganizando, isto é

{\begin{aligned}\lambda _{1}(x_{1}-x_{3})+\lambda _{2}(x_{2}-x_{3})+x_{3}-x&=0.\\\lambda _{1}(y_{1}-y_{3})+\lambda _{2}(y_{2}-\,y_{3})+y_{3}-\,y&=0.\end{aligned}}

Esta transformación linear pódese escribir de forma máis sucinta como

\mathbf {T} \cdot \lambda =\mathbf {r} -\mathbf {r} _{3}

onde $\lambda$ é o vector das dúas primeiras coordenadas baricéntricas, $\mathbf {r}$ é o vector de coordenadas cartesianas, e $\mathbf {T}$ é unha matriz dada por

\mathbf {T} =\left({\begin{matrix}x_{1}-x_{3}&x_{2}-x_{3}\\y_{1}-y_{3}&y_{2}-y_{3}\end{matrix}}\right)

Agora a matriz $\mathbf {T}$ é invertíbel, xa que $\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{3}$ e $\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{3}$ son linearmente independentes (se non fose o caso, entón $\mathbf {r} _{1}$ , $\mathbf {r} _{2}$ , e $\mathbf {r} _{3}$ serían colineares e non formarían un triángulo). Así, podemos reorganizar a ecuación anterior para obter

\left({\begin{matrix}\lambda _{1}\\\lambda _{2}\end{matrix}}\right)=\mathbf {T} ^{-1}(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{3})

Achar as coordenadas baricéntricas reduciuse así a atopar a matriz inversa de $\mathbf {T}$ .

Explicitamente, as fórmulas para as coordenadas baricéntricas do punto $\mathbf {r}$ en función das súas coordenadas cartesianas (x, y) e en función das coordenadas cartesianas dos vértices do triángulo son: ${\begin{aligned}\lambda _{1}=&\ {\frac {(y_{2}-y_{3})(x-x_{3})+(x_{3}-x_{2})(y-y_{3})}{\det(\mathbf {T} )}}\\[4pt]&={\frac {(y_{2}-y_{3})(x-x_{3})+(x_{3}-x_{2})(y-y_{3})}{(y_{2}-y_{3})(x_{1}-x_{3})+(x_{3}-x_{2})(y_{1}-y_{3})}}\\[4pt]&={\frac {(\mathbf {r} -\mathbf {r_{3}} )\times (\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{3}} )}{(\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{3}} )\times (\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{3}} )}}\\[12pt]\lambda _{2}=&\ {\frac {(y_{3}-y_{1})(x-x_{3})+(x_{1}-x_{3})(y-y_{3})}{\det(\mathbf {T} )}}\\[4pt]&={\frac {(y_{3}-y_{1})(x-x_{3})+(x_{1}-x_{3})(y-y_{3})}{(y_{2}-y_{3})(x_{1}-x_{3})+(x_{3}-x_{2})(y_{1}-y_{3})}}\\[4pt]&={\frac {(\mathbf {r} -\mathbf {r_{3}} )\times (\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{1}} )}{(\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{3}} )\times (\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{3}} )}}\\[12pt]\lambda _{3}=&\ 1-\lambda _{1}-\lambda _{2}\\[4pt]&=1-{\frac {(\mathbf {r} -\mathbf {r_{3}} )\times (\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{1}} )}{(\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{3}} )\times (\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{3}} )}}\\[4pt]&={\frac {(\mathbf {r} -\mathbf {r_{1}} )\times (\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{2}} )}{(\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{3}} )\times (\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{3}} )}}\end{aligned}}$

Ecuacións en coordenadas baricéntricas

Os tres lados a, b, c teñen, respectivamente, ecuacións^[7]

\lambda _{1}=0,\quad \lambda _{2}=0,\quad \lambda _{3}=0.

A ecuación da recta de Euler dun triángulo é ^[7]

{\begin{vmatrix}\lambda _{1}&\lambda _{2}&\lambda _{3}\\1&1&1\\\tan A&\tan B&\tan C\end{vmatrix}}=0.

Distancia entre puntos

O vector de desprazamento de dous puntos $P=(p_{1},p_{2},p_{3})$ e $Q=(q_{1},q_{2},q_{3})$ é^[8]

{\overset {}{\overrightarrow {PQ}}}=(p_{1}-q_{1},p_{2}-q_{2},p_{3}-q_{3}).

A distancia $d$ entre $P$ e $Q$ , é ^[7] ^[8]

{\begin{aligned}d^{2}&=|PQ|^{2}\\[2pt]&=-a^{2}yz-b^{2}zx-c^{2}xy\\[4pt]&={\frac {1}{2}}\left[x^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})+y^{2}(c^{2}+a^{2}-b^{2})+z^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})\right].\end{aligned}}

onde a, b, c son as lonxitudes dos lados do triángulo. A equivalencia das dúas últimas expresións segue de

x+y+z=0,

que se cumpre porque

{\begin{aligned}x+y+z&=(p_{1}-q_{1})+(p_{2}-q_{2})+(p_{3}-q_{3})\\[2pt]&=(p_{1}+p_{2}+p_{3})-(q_{1}+q_{2}+q_{3})\\[2pt]&=1-1=0.\end{aligned}}

As coordenadas baricéntricas dun punto pódense calcular en función das distancias d_i aos tres vértices do triángulo resolvendo a ecuación

\left({\begin{matrix}-c^{2}&c^{2}&b^{2}-a^{2}\\-b^{2}&c^{2}-a^{2}&b^{2}\\1&1&1\end{matrix}}\right){\boldsymbol {\lambda }}=\left({\begin{matrix}d_{A}^{2}-d_{B}^{2}\\d_{A}^{2}-d_{C}^{2}\\1\end{matrix}}\right).

Notas

↑ Möbius, August Ferdinand (1827). Der barycentrische Calcul. Leipzig: J.A. Barth.
Reprinted in Baltzer, Richard, ed. (1885). "Der barycentrische Calcul". August Ferdinand Möbius Gesammelte Werke 1. Leipzig: S. Hirzel. pp. 1–388.
↑ Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-49328-0, S. 76.
↑ Hille, Einar. "Analytic Function Theory, Volume I", Second edition, fifth printing. Chelsea Publishing Company, New York, 1982, ISBN 0-8284-0269-8, page 33, footnote 1
↑ Josef Hoschek, Dieter Lasser: Grundlagen der geometrischen Datenverarbeitung. Teubner-Verlag, 1989, ISBN 3-519-02962-6, S. 243.
↑ Gerald Farin: Curves and Surfaces for Computer Aided Geometric Design. Academic Press, 1990, ISBN 9780122490514, S. 20.
↑ Reventós Tarrida, Agustí. "Affine Maps, Euclidean Motions and Quadrics". Springer, 2011, ISBN 978-0-85729-709-9, page 11
↑ ^7,0 ^7,1 ^7,2 Scott, J. A. "Some examples of the use of areal coordinates in triangle geometry", Mathematical Gazette 83, novembro de 1999, 472–477.
↑ ^8,0 ^8,1 "baricéntricas, notas" (PDF).

Véxase tamén

Bibliografía

Scott, J. A. Some examples of the use of areal coordinates in triangle geometry, Mathematical Gazette 83, novembro 1999, 472–477.
Schindler, Max; Chen, Evan (xullo 13, 2012). Barycentric Coordinates in Olympiad Geometry (PDF). accedido 14 xaneiro 2016.
Clark Kimberling's Encyclopedia of Triangles Encyclopedia of Triangle Centers. Archived from the original on 2012-04-19.
Bradley, Christopher J. (2007). The Algebra of Geometry: Cartesian, Areal and Projective Co-ordinates. Bath: Highperception. ISBN 978-1-906338-00-8.
Coxeter, H.S.M. (1969). Introduction to geometry (2nd ed.). John Wiley and Sons. pp. 216–221. ISBN 978-0-471-50458-0. Zbl 0181.48101.
Barycentric Calculus In Euclidean And Hyperbolic Geometry: A Comparative Introduction, Abraham Ungar, World Scientific, 2010
Hyperbolic Barycentric Coordinates, Abraham A. Ungar, The Australian Journal of Mathematical Analysis and Applications, Vol.6, No.1, Article 18, pp. 1–35, 2009
Weisstein, Eric W. "Areal Coordinates". MathWorld.
Weisstein, Eric W. "Barycentric Coordinates". MathWorld.
Barycentric coordinates computation in homogeneous coordinates, Vaclav Skala, Computers and Graphics, Vol.32, No.1, pp. 120–127, 2008

Outros artigos

Coordenadas homoxéneas.

Ligazóns externas

Law of the lever
The uses of homogeneous barycentric coordinates in plane euclidean geometry^{[Ligazón morta]}
Barycentric Coordinates – unha colección de documentos científicos about sobre coordenadas baricéntricas
Barycentric coordinates: A Curious Application (solución ao problema dos "tres vasos ") en cut-the-knot
Accurate point in triangle test
Barycentric Coordinates in Olympiad Geometry Arquivado 18 de agosto de 2014 en Wayback Machine. by Evan Chen e Max Schindler
Barycenter command e TriangleCurve command en Geogebra

[1] Möbius, August Ferdinand (1827). Der barycentrische Calcul. Leipzig: J.A. Barth.
Reprinted in Baltzer, Richard, ed. (1885). "Der barycentrische Calcul". August Ferdinand Möbius Gesammelte Werke 1. Leipzig: S. Hirzel. pp. 1–388.

[2] Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-49328-0, S. 76.

[Hille-3] Hille, Einar. "Analytic Function Theory, Volume I", Second edition, fifth printing. Chelsea Publishing Company, New York, 1982, ISBN 0-8284-0269-8, page 33, footnote 1

[4] Josef Hoschek, Dieter Lasser: Grundlagen der geometrischen Datenverarbeitung. Teubner-Verlag, 1989, ISBN 3-519-02962-6, S. 243.

[5] Gerald Farin: Curves and Surfaces for Computer Aided Geometric Design. Academic Press, 1990, ISBN 9780122490514, S. 20.

[Reventós_Tarrida-6] Reventós Tarrida, Agustí. "Affine Maps, Euclidean Motions and Quadrics". Springer, 2011, ISBN 978-0-85729-709-9, page 11

[Scott-7] 7,0 ^7,1 ^7,2 Scott, J. A. "Some examples of the use of areal coordinates in triangle geometry", Mathematical Gazette 83, novembro de 1999, 472–477.

[Olympiad-8] 8,0 ^8,1 "baricéntricas, notas" (PDF).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]