Translación (xeometría)

Unha translación move todos os puntos dunha figura ou dun espazo na mesma cantidade nunha dirección determinada.

Na xeometría euclidiana, unha translación é unha transformación xeométrica que move cada punto dunha figura, forma ou espazo na mesma distancia nunha dirección determinada. Unha translación tamén se pode interpretar como a adición dun vector constante a cada punto, ou como un desprazamento da orixe do sistema de coordenadas. Nun espazo euclidiano, calquera tradución é unha isometría.

Como función

Se $\mathbf {v}$ é un vector fixo, coñecido como vector de translación, e $\mathbf {p}$ é a posición inicial dalgún obxecto, a función de translación $T_{\mathbf {v} }$ será $T_{\mathbf {v} }(\mathbf {p} )=\mathbf {p} +\mathbf {v}$.

Aplicación na física clásica

Na física clásica, o movemento de translación é un movemento que muda a posición dun obxecto con desprazamento linear, e se complementa coa rotación que dá un desprazamento angular.

Para trasladar un obxecto séguese a fórmula

$(x,y,z)\to (x+\Delta x,y+\Delta y,z+\Delta z)$

onde $(\Delta x,\ \Delta y,\ \Delta z)$ é o mesmo vector para cada punto do obxecto.

Como grupo

O conxunto de todas as translacións forma o grupo de translación $\mathbb {T}$, que é isomorfo ao propio espazo, e un subgrupo normal do grupo euclidiano $E(n)$. O grupo cociente de $E(n)$ por $\mathbb {T}$ é isomorfo ao grupo de movementos ríxidos que fixan un punto de orixe particular, o grupo ortogonal $O(n)$:

$E(n)/\mathbb {T} \cong O(n)$

Como a translación é conmutativa, o grupo de translación é abeliano. Hai un número infinito de translacións posibles, polo que o grupo de translación é un grupo infinito.

Na teoría da relatividade, debido ao tratamento do espazo e do tempo como un espazo-tempo único, as translacións tamén poden afectar a coordenada do tempo. Por exemplo, o grupo galileano e o grupo de Poincaré inclúen translacións en relación ao tempo.

Grupos de retículas

Artigo principal: Retícula (grupo).

Un tipo de subgrupo do grupo de translación tridimensional son os retículas, que son grupos infinitos, pero a diferenza dos grupos de translación , xéranse de forma finita. É dicir, un conxunto xerador finito xera todo o grupo.

Representación matricial

Unha translación é unha transformación afín sen puntos fixos. As multiplicacións matriciais teñen sempre a orixe como punto fixo. Podemos usar coordenadas homoxéneas para representar a translación dun espazo vectorial coa multiplicación matricial: escríbese o vector tridimensional $\mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z})$ utilizando 4 coordenadas homoxéneas como $\mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z},1)$.

Para mover un obxecto por un vector $\mathbf {v}$, cada vector homoxéneo $\mathbf {p}$ pódese multiplicar por esta matriz de translación:

$T_{\mathbf {v} }={\begin{bmatrix}1&0&0&v_{x}\\0&1&0&v_{y}\\0&0&1&v_{z}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}$

E a multiplicación dará o resultado esperado:

$T_{\mathbf {v} }\mathbf {p} ={\begin{bmatrix}1&0&0&v_{x}\\0&1&0&v_{y}\\0&0&1&v_{z}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}p_{x}+v_{x}\\p_{y}+v_{y}\\p_{z}+v_{z}\\1\end{bmatrix}}=\mathbf {p} +\mathbf {v}$

A inversa dunha matriz de translación pódese obter invertendo a dirección do vector:

$T_{\mathbf {v} }^{-1}=T_{-\mathbf {v} }.\!$

Do mesmo xeito, o produto das matrices de translación dáse sumando os vectores:

$T_{\mathbf {v} }T_{\mathbf {w} }=T_{\mathbf {v} +\mathbf {w} }.\!$

Como a suma de vectores é conmutativa, a multiplicación de matrices de translación tamén é conmutativa (a diferenza da multiplicación de matrices arbitrarias).

Translación de eixes

Artigo principal: Translación de eixes.

Aínda que a translación xeométrica adoita ser vista como un proceso activo que muda a posición dun obxecto xeométrico, pódese conseguir un resultado similar mediante unha transformación pasiva que move o propio sistema de coordenadas pero deixa o obxecto fixo. A versión pasiva dunha tradución xeométrica activa coñécese como translación de eixes.

Simetría de translación

Artigo principal: Simetría de translación.

Dise que un obxecto que ten o mesmo aspecto antes e despois da translación ten simetría de translación. Un exemplo común é unha función periódica, que é unha función propia dun operador de translación.

Translacións dunha gráfica

En comparación coa gráfica y = f(x), a gráfica y = f(x − a) trasladouse horizontalmente por a, mentres que a gráfica y = f(x) + b trasladouse verticalmente por b.

Partindo da gráfica de f, unha translación horizontal significa compoñer f cunha función $x\mapsto x\pm a$, para algún número constante a, o que resulta nunha gráfica formada por puntos $(x,f(x\pm a))$. Cada $(x,y)$ da gráfica orixinal corresponde ao punto $(x\mp a,y)$ no novo gráfico, o que representa gráficamente un desprazamento horizontal.

Igualmente temos unha translación vertical para a variábel y, coa función $y\mapsto y\pm b$.

Por exemplo, tomando a función cadrática $y=x^{2}$, cuxa gráfica é unha parábola cun vértice en $(0,0)$, unha translación horizontal de 5 unidades á dereita sería a nova función $y=(x-5)^{2}=x^{2}-10x+25$ cuxo vértice está en $(5,0)$. Unha translación vertical de 3 unidades cara arriba sería a nova función $y=x^{2}+3$ con vértice en $(0,3)$.

Véxase tamén

Bibliografía

• Zazkis, R., Liljedahl, P., & Gadowsky, K. Conceptions of function translation: obstacles, intuitions, and rerouting. Journal of Mathematical Behavior, 22, 437-450.
• Transformations of Graphs: Horizontal Translations. (2006, xaneiro 1). BioMath: Transformation of Graphs.

Outros artigos

• Gráficos de ordenador 2D
• Matriz de rotación
• Matriz de transformación

Ligazóns externas

• Translation Transform en cut-the-knot
• Geometric Translation (Interactive Animation) en Math Is Fun
• Understanding 2D Translation e máis Understanding 3D Translation by Roger Germundsson, The Wolfram Demonstrations Project.