Coclase

En matemáticas, especificamente na teoría de grupos, pódese usar un subgrupo $H$ dun grupo $G$ para descompoñer o conxunto subxacente de $G$ en subconxuntos disxuntos e de igual tamaño chamados coclases (ou cosets en inglés). Hai coclases esquerdas e dereitas. As coclases (tanto á esquerda como á dereita) teñen o mesmo número de elementos (cardinalidade) que $H$ . A maiores, o propio $H$ é tanto un grupo esquerdo como un grupo dereito. O número de coclases esquerdas de $H$ en $G$ é igual ao número de coclases dereitas de $H$ en $G$ . Este valor común chámase índice de $H$ en $G$ e normalmente denótase por $[G : H]$ .

As coclases son unha ferramenta básica no estudo dos grupos; por exemplo, desempeñan un papel central no teorema de Lagrange que afirma que para calquera grupo finito $G$ , o número de elementos de cada subgrupo $H$ de $G$ divide o número de elementos de $G$ . As coclases do subgrupo normal pódense usar como elementos doutro grupo chamado grupo cociente. As coclases tamén aparecen noutras áreas das matemáticas como os espazos vectoriais e os códigos de corrección de erros .

Definición

Sexa $H$ un subgrupo do grupo $G$ cuxa operación se escribe multiplicativamente (a xustaposición denota a operación do grupo). Dado un elemento $g$ de $G$ , as coclases esquerdas de $H$ en $G$ son os conxuntos obtidos multiplicando cada elemento de $H$ por un elemento fixo $g$ de $G$ (onde $g$ é o factor esquerdo). En símbolos estas son, As coclases dereitas defínense de xeito similar, agás que o elemento $g$ agora é un factor pola dereita, é dicir, Dúas coclases esquerdas calquera (respectivamente dereitas) son disxuntas ou son idénticas como conxuntos.^[1]

Se a operación do grupo é aditiva, como adoita suceder cando o grupo é abeliano, a notación utilizada muda a $g + H$ ou $H + g$ , respectivamente.

O símbolo G/H ás veces úsase para o conxunto de coclases (esquerdas) { gH : g un elemento de G } (ver embaixo para unha extensión a coclases dereitas e duplas). No entanto, algúns autores (incluíndo Dummit & Foote e Rotman) reservan esta notación especificamente para representar o grupo cociente formado a partir das coclases secundarias no caso de que H sexa un subgrupo normal de G.

Primeiro exemplo

Sexa $G$ o grupo diédrico de orde seis. Os seus elementos pódense representar por ${I, a, a 2, b, ab, a 2 b}$ . Neste grupo, $a 3 = b 2 = I$ e $ba = a 2 b$ . Esta é información abonda para cubrir toda a táboa de Cayley:

∗	$I$	$a$	$a 2$	$b$	$ab$	$a 2 b$
$I$	$I$	$a$	$a 2$	$b$	$ab$	$a 2 b$
$a$	$a$	$a 2$	$I$	$ab$	$a 2 b$	$b$
$a 2$	$a 2$	$I$	$a$	$a 2 b$	$b$	$ab$
$b$	$b$	$a 2 b$	$ab$	$I$	$a 2$	$a$
$ab$	$ab$	$b$	$a 2 b$	$a$	$I$	$a 2$
$a 2 b$	$a 2 b$	$ab$	$b$	$a 2$	$a$	$I$

Sexa $T$ o subgrupo $I, b$ . As coclases secundarias (distintas) de $T$ son:

$IT = T = {I, b}$ .
$aT = {a, ab}$ .
$a 2 T = {a 2, a 2 b}$ .

Dado que agora todos os elementos de $G$ apareceron nunha destas coclases, xerar máis non pode dar novas coclases; calquera coclase nova tería que ter un elemento en común cunha destas e, polo tanto, sería idéntica a unha destas coclases. Por exemplo, $abT = ab, a = aT$ .

As clases dereitas de $T$ son:

$TI = T = {I, b}.$ ,
$Ta = {a, ba} = {a, a 2 b}$ .
$Ta 2 = {a 2, ba 2} = {a 2, ab}$ .

Neste exemplo, menos para $T$ , ningunha coclase esquerda é tamén unha coclase dereita.

Sexa $H$ o subgrupo ${I, a, a 2}$ . As coclases esquerdas de $H$ son $IH = H$ e $bH = {b, ba, ba 2}$ . As coclases dereitas $H$ son $HI = H$ e $Hb = {b, ab, a 2 b} = {b, ba 2, ba}$ . Neste caso, cada coclase esquerda de $H$ tamén é unha coclase dereita de $H$ .^[2]

$g 1 H = g 2 H$
$Hg 1 -1 = Hg 2 -1$
$g 1 H \subset g 2 H$
$g 2 \in g 1 H$
$g 1 -1 g 2 \in H$

Propiedades

Todo elemento de $G$ pertence exactamente a unha coclase esquerda do subgrupo $H$ ,^[1] e $H$ é en si mesmo unha coclase esquerda (e o que contén a identidade).^[2]

Dous elementos que están na mesma coclase esquerda tamén proporcionan unha relación de equivalencia natural. Defina dous elementos de $G$ , $x$ e $y$ , para que sexan equivalentes en relación ao subgrupo $H$ se $xH = yH$ (ou de forma equivalente se $x -1 y$ pertence a $H$ ). As clases de equivalencia desta relación son as coclases esquerdas de $H$ .^[3] Como con calquera conxunto de clases de equivalencia, forman unha partición do conxunto subxacente. Un representante de clase é un representante no sentido da clase de equivalencia. Un conxunto de representantes de todos os grupos de clase chámase transversal. Existen outros tipos de relacións de equivalencia nun grupo, como a conxugación, que forman diferentes clases que non teñen as propiedades aquí comentadas.

Declaracións semellantes aplícanse ás coclases dereitas.

Se $G$ é un grupo abeliano, entón $g + H = H + g$ para todo subgrupo $H$ de $G$ e cada elemento $g$ de $G$ . Para grupos en xeral, dado un elemento $g$ e un subgrupo $H$ dun grupo $G$ , a coclase dereita de $H$ con relación a $g$ é tamén a coclase esquerda do subgrupo conxugado $g -1 Hg$ con relación a $g$ , é dicir, $Hg = g (g -1 Hg)$ .

Subgrupos normais

Un subgrupo $N$ dun grupo $G$ é un subgrupo normal de $G$ se e só se para todos os elementos $g$ de $G$ as coclases dereitas e esquerdas correspondentes son iguais, é dicir, $gN = Ng$ . Este é o caso do subgrupo $H$ no primeiro exemplo anterior. A maiores, as clases de $N$ en $G$ forman un grupo chamado grupo cociente ou grupo de factores $G$ / $N$ .

Se $H$ non é normal en $G$ , entón as súas coclases esquerdas son diferentes das súas coclases dereitas. É dicir, hai un $a$ en $G$ tal que ningún elemento $b$ satisfai $aH = Hb$ . Isto significa que a partición de $G$ nas coclases esquerdas de $H$ é unha partición diferente que a partición de $G$ nas coclases dereitas de $H$ . Isto é ilustrado polo subgrupo $T$ no primeiro exemplo anterior. ( Algunhas clases poden coincidir. Por exemplo, se $a$ está no centro de $G$ , entón $aH = Ha$ ).

Por outra banda, se o subgrupo $N$ é normal o conxunto de todas as coclases forman un grupo chamado grupo cociente $G$ / $N$ coa operación $*$ definida por $(aN) * (bN) = abN$ . Dado que toda coclase dereita é unha coclase esquerda, non hai necesidade de distinguir as "coclases esquerdas" das "coclases dereitas".

Índice dun subgrupo

Cada clase esquerda ou dereita de $H$ ten o mesmo número de elementos (ou cardinalidade no caso dun $H$ infinito) que o propio $H$ . A maiores, o número de clases esquerdas é igual ao número de clases dereitas e coñécese como índice de $H$ en G, escrito como $[G : H]$ . O teorema de Lagrange permítenos calcular o índice no caso de que $G$ e $H$ sexan finitos: $|G|=[G:H]|H|.$ Esta ecuación tamén vale no caso de que os grupos sexan infinitos, aínda que o significado pode ser menos claro.

Máis exemplos

Números enteiros

Sexa $G$ o grupo aditivo dos enteiros, $Z = ({..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}, +)$ e $H$ o subgrupo $(3 Z, +) = ({..., -6, -3, 0, 3, 6, ...}, +)$ . Daquela as coclases de $H$ en $G$ son os tres conxuntos $3 Z$ , $3 Z + 1$ e $3 Z + 2$ , onde $3 Z + a = ..., -6 + a, -3 + a, a, 3 + a, 6 + a, ...$ . Estes tres conxuntos particionan o conxunto $Z$ , polo que non hai outras clases dereitas de $H$ . Debido á conmutividade da suma $H + 1 = 1 + H$ e $H + 2 = 2 + H$ . É dicir, cada coclase esquerda de $H$ tamén é unha coclase dereita, polo que $H$ é un subgrupo normal.^[4] (O mesmo argumento mostra que cada subgrupo dun grupo abeliano é normal^[5]).

Vectores

Outro exemplo de coclase provén da teoría dos espazos vectoriais. Os elementos (vectores) dun espazo vectorial forman un grupo abeliano baixo a suma de vectores. Os subespazos do espazo vectorial son subgrupos deste grupo. Para un espazo vectorial $V$ , un subespazo $W$ e un vector fixo $a$ en $V$ , os conxuntos $\{\mathbf {x} \in V\mid \mathbf {x} =\mathbf {a} +\mathbf {w} ,\mathbf {w} \in W\}$ chámanse subespazos afíns e son clases secundarias (tanto á esquerda como á dereita, xa que o grupo é abeliano). En termos de vectores xeométricos tridimensionais, estes subespazos afíns son todas as "liñas" ou "planos" paralelos ao subespazo, que é unha liña ou plano que pasa pola orixe. Por exemplo, considere o plano $R 2$ . Se $m$ é unha liña que pasa pola orixe $O$ , entón $m$ é un subgrupo do grupo abeliano $R 2$ . Se $P$ está en $R 2$ , entón o conxunto $P + m$ é unha recta $m'$ paralela a $m$ e que pasa por $P$ .^[6]

Matrices

Sexa $G$ o grupo multiplicativo de matrices, ^[7] $G=\left\{{\begin{bmatrix}a&0\\b&1\end{bmatrix}}\colon a,b\in \mathbb {R} ,a\neq 0\right\},$ e o subgrupo $H$ de $G$ , $H=\left\{{\begin{bmatrix}1&0\\c&1\end{bmatrix}}\colon c\in \mathbb {R} \right\}.$ Para un elemento fixo de $G$ considere a coclase esquerda ${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}a&0\\b&1\end{bmatrix}}H=&~\left\{{\begin{bmatrix}a&0\\b&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\c&1\end{bmatrix}}\colon c\in \mathbb {R} \right\}\\=&~\left\{{\begin{bmatrix}a&0\\b+c&1\end{bmatrix}}\colon c\in \mathbb {R} \right\}\\=&~\left\{{\begin{bmatrix}a&0\\d&1\end{bmatrix}}\colon d\in \mathbb {R} \right\}.\end{aligned}}$ É dicir, as coclases esquerdas consisten en todas as matrices de $G$ que teñen a mesma entrada superior esquerda. Este subgrupo $H$ é normal en $G$ , mais o subgrupo $T=\left\{{\begin{bmatrix}a&0\\0&1\end{bmatrix}}\colon a\in \mathbb {R} -\{0\}\right\}$ non é normal en $G$ .

Como órbitas dunha acción de grupo

Un subgrupo $H$ dun grupo $G$ pódese usar para definir unha acción de $H$ sobre $G$ de dúas formas naturais. Unha acción pola dereita, $G \times H \to G$ dada por $(g, h) \to gh$ ou unha acción pola esquerda, $H \times G \to G$ dada por $(h, g) \to hg$ . A órbita de $g$ baixo a acción pola dereita é a coclase esquerda $gH$ , mentres que a órbita baixo a acción pola esquerda é a coclase dereita $Hg$ .^[8]

Coclases duplas

Dados dous subgrupos, $H$ e $K$ (que non precisan ser distintos) dun grupo $G$ , as coclases duplas de $H$ e $K$ en $G$ son os conxuntos da forma $HgK = {hgk : h un elemento de H, k un elemento de K}$ . Estas son as coclases esquerdas de $K$ e as dereitas de $H$ cando $H = 1$ e $K = 1$ respectivamente.^[9]

Dúas cclases duplas $HxK$ e $HyK$ son disxuntas ou idénticas. ^[10] O conxunto de todas as clases duplas para $H$ e $K$ fixos forman unha partición de $G$ .

Unha coclase dupla $HxK$ contén as coclases dereitas completas de $H$ (en $G$ ) da forma $Hxk$ , con $k$ un elemento de $K$ e as coclases esquerdas completas de $K$ (en $G$ ) da forma $hxK$ , con $h$ en $H$ .^[10]

Véxase tamén

Bibliografía

Burton, David M. (1988). Abstract Algebra. Wm. C. Brown Publishers. ISBN 0-697-06761-0.
Dean, Richard A. (1990). Classical Abstract Algebra. Harper and Row. ISBN 0-06-041601-7.
Fraleigh, John B. (1994). A First Course in Abstract Algebra (5th ed.). Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-53467-2.
Hall, Jr., Marshall (1959). The Theory of Groups. The Macmillan Company.
Jacobson, Nathan (2009) [1985]. Basic Algebra I (2nd ed.). Dover. ISBN 978-0-486-47189-1.
Joshi, K. D. (1989). "§5.2 Cosets of Subgroups". Foundations of Discrete Mathematics. New Age International. pp. 322 ff. ISBN 81-224-0120-1.
Miller, G. A. (2012) [1916]. Theory and Applications of Finite Groups. Applewood Books. ISBN 9781458500700.
Rotman, Joseph J. (2006). A First Course in Abstract Algebra with Applications (3rd ed.). Prentice-Hall. ISBN 978-0-13-186267-8.
Scott, W.R. (1987). "§1.7 Cosets and index". Group Theory. Courier Dover Publications. pp. 19 ff. ISBN 0-486-65377-3.

Outros artigos

Ligazóns externas

Nicolas Bray. "Coset". MathWorld.
Weisstein, Eric W. "Left Coset". MathWorld.
Weisstein, Eric W. "Right Coset". MathWorld.
Ivanova, O.A. (2001) [1994]. "Coset in a group". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press.
Coset at PlanetMath.
Illustrated examples
"Coset". groupprops. The Group Properties Wiki.

[Rotman2006-1] 1,0 ^1,1 Rotman 2006

[Dean-2] 2,0 ^2,1 Dean 1990

[3] Rotman 2006

[4] Fraleigh 1994

[Fraleigh-5] Fraleigh 1994

[6] Rotman 2006

[7] Burton 1988

[Jacobson-8] Jacobson 2009

[9] Scott 1987

[Hall-10] 10,0 ^10,1 Hall 1959

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]