Ínfimo e supremo

Un conxunto $P$ de números reais (círculos ocos e cheos), un subconxunto $S$ de $P$ (círculos cheos), e o ínfimo de $S.$ Teña en conta que para conxuntos finitos totalmente ordenados, o ínfimo e o mínimo son iguais.

Un conxunto $A$ de números reais (círculos azuis), un conxunto de límites superiores de $A$ (rombo vermello e círculos), e o máis pequeno de eses límites superiores, é dicir, o supremo de $A$ (diamante vermello).

En matemáticas, o ínfimo (abreviado inf) dun subconxunto $S$ dun conxunto parcialmente ordenado $P$ é o maior elemento en $P$ que é menor ou igual a cada elemento de $S,$ se tal elemento existe. Se o ínfimo de $S$ existe, é único, e se b é un límite inferior de $S$, entón b é menor ou igual ao ínfimo de $S$. En consecuencia, o termo límite inferior máximo (abreviado como GLB en inglés) tamén se usa habitualmente. O supremo (abreviado sup) dun subconxunto $S$ dun conxunto parcialmente ordenado $P$ é o menor elemento $P$ que é maior ou igual a cada elemento de $S,$ se tal elemento existe. Se o supremo de $S$ existe, é único, e se b é un límite superior de $S$, entón o supremo de $S$ é menor ou igual a b. O supremo tamén se refire como o límite superior mínimo (ou LUB en inglés).

Os conceptos de ínfimo e supremo están relacionados con mínimo e máximo, mais son máis útiles na análise porque caracterizan mellor os conxuntos especiais que poden non ter mínimo ou máximo. Por exemplo, o conxunto de números reais positivos $\mathbb {R} ^{+}$ (sen incluír $0$) non ten un mínimo, porque calquera elemento dado de $\mathbb {R} ^{+}$ podería simplemente dividirse á metade, resultando un número menor que aínda está en $\mathbb {R} ^{+}.$ Non obstante, hai exactamente un ínfimo dos números reais positivos relativos aos números reais: $0,$ que é menor que todos os números reais positivos e maior que calquera outro número real que se poida usar como cota inferior.

Definición formal

Un límite inferior $a$ de $S$ chámase ínfimo (ou límite inferior máximo) de $S$ se

• $a\leq x$ para todo $x\in S.$

• para todos os límites inferiores $y$ de $S$ en $P$, $y\leq a$ ($a$ é maior que calquera outro límite inferior).

Do mesmo xeito, un límite superior dun subconxunto $S$ dun conxunto parcialmente ordenado $(P,\leq )$ é un elemento $b$ de $P$ tal que

• $b\geq x$ para todo $x\in S.$

• para todos os límites superiores $z$ de $S$ en $P$, $z\geq b$ ($b$ é menor que calquera outro límite superior).

Existencia e unicidade

Ínfimo e supremo non necesariamente existen. A existencia dun ínfimo dun subconxunto $S$ de $P$ pode fallar se $S$ non ten límite inferior, ou se o conxunto de límites inferiores non contén un elemento maior. (Un exemplo diso é o subconxunto $\{x\in \mathbb {Q} :x^{2}<2\}$ de $\mathbb {Q}$, que ten límites superiores, como 1.5, mais non ten límites superiores en $\mathbb {Q}$.)

Se o supremo dun subconxunto $S$ existe, é único. Así mesmo, se o infimum existe, é único.

Relación cos elementos máximos e mínimos

O ínfimo dun subconxunto $S$ dun conxunto parcialmente ordenado $P,$ supoñendo que exista, non necesariamente pertence a $S.$ Se o fai, é un elemento mínimo ou mínimo de $S.$ Do mesmo xeito, se o supremo de $S$ pertence a $S,$ é un elemento máximo de $S.$

Por exemplo, considere o conxunto de números reais negativos (excluíndo o cero). Este conxunto non ten elemento maior, xa que para cada elemento do conxunto, hai outro elemento máis grande. Por exemplo, para calquera número real negativo $x,$ hai outro número real negativo ${\tfrac {x}{2}},$ que é maior. Por outra banda, todo número real maior ou igual a cero é certamente un límite superior neste conxunto. Polo tanto, $0$ é o límite superior mínimo dos reais negativos, polo que o supremo é 0. Este conxunto ten un supremo pero non un maior elemento.

No entanto, a definición de elementos máximais e mínimais é máis xeral. En particular, un conxunto pode ter moitos elementos máximais e mínimais, mentres que ínfimo e supremo son únicos.

Mentres que os máximos e mínimos deben ser membros do subconxunto que se está a considerar, o ínfimo e o supremo dun subconxunto non teñen por que ser membros dese subconxunto.

$$f(\sup S)=f\left(\lim _{n\to \infty }s_{n}\right)=\lim _{n\to \infty }f\left(s_{n}\right),$$

que (por exemplo) garante que $f(\sup S)$ é un punto adherente do conxunto $f(S)\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,\{f(s):s\in S\}.$ Se ademais do asumido, a función continua $f$ é tamén unha función crecente ou non decrecente, entón incluso é posible concluír que $\sup f(S)=f(\sup S).$ Isto pódese aplicar, por exemplo, para concluír que sempre que $g$ é unha función de valor real (ou complexa ) con dominio $\Omega \neq \varnothing$ cuxa norma sup $\|g\|_{\infty }\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,\sup _{x\in \Omega }|g(x)|$ é finita, entón para cada número real non negativo $q,$

O produto dun número real $r$ e un conxunto $B$ dos números reais é o conxunto

Ínfimo e supremo dos números reais

Que o conxunto dos números reais sexa completo iimplica (e é equivalente a) que calquera subconxunto non baleiro limitado $S$ dos números reais ten un ínfimo e un supremo. Se $S$ non está limitado por baixo, adoita escribirse formalmente $\inf _{}S=-\infty .$ Se $S$ está baleiro, escríbese $\inf _{}S=+\infty .$

Propiedades

Se $A$ é calquera conxunto de números reais entón $A\neq \varnothing$ se e só se $\sup A\geq \inf A,$ e doutro xeito $-\infty =\sup \varnothing <\inf \varnothing =\infty .$

Se $A\subseteq B$ son conxuntos de números reais entón $\inf A\geq \inf B$ (a non ser que $A=\varnothing \neq B$ ) e $\sup A\leq \sup B.$

Identificando o ínfimo e o supremo

Se o ínfimo de $A$ existe (é dicir, $\inf A$ é un número real) e se $p$ é calquera número real entón $p=\inf A$ se e só se $p$ é un límite inferior e para cada $\epsilon >0$ hai un $a_{\epsilon }\in A$ con $a_{\epsilon }<p+\epsilon .$ Do mesmo xeito, se $\sup A$ é un número real e se $p$ é calquera número real entón $p=\sup A$ se e só se $p$ é un límite superior e se para cada $\epsilon >0$ hai un $a_{\epsilon }\in A$ con $a_{\epsilon }>p-\epsilon .$

Relación cos límites de secuencias

Se $S\neq \varnothing$ é calquera conxunto non baleiro de números reais, entón sempre existe unha secuencia non decrecente $s_{1}\leq s_{2}\leq \cdots$ en $S$ tal que $\lim _{n\to \infty }s_{n}=\sup S.$ Do mesmo xeito, existirá unha secuencia non crecente (posiblemente diferente). $s_{1}\geq s_{2}\geq \cdots$ en $S$ tal que $\lim _{n\to \infty }s_{n}=\inf S.$

Expresar o ínfimo e o supremo como límite dunha secuencia deste tipo permite aplicar teoremas de varias ramas das matemáticas. Considere por exemplo o feito ben coñecido en topoloxía que se $f$ é unha función continua e $s_{1},s_{2},\ldots$ é unha secuencia de puntos do seu dominio que converxe a un punto $p,$ entón $f\left(s_{1}\right),f\left(s_{2}\right),\ldots$ converxe necesariamente a $f(p).$ Implica que se $\lim _{n\to \infty }s_{n}=\sup S$ é un número real (onde todos $s_{1},s_{2},\ldots$ están en $S$ ) e se $f$ é unha función continua cuxo dominio contén $S$ e $\sup S,$ entón

$$\|g\|_{\infty }^{q}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(\sup _{x\in \Omega }|g(x)|\right)^{q}=\sup _{x\in \Omega }\left(|g(x)|^{q}\right)$$

posto que o mapa $f:[0,\infty )\to \mathbb {R}$ definido por $f(x)=x^{q}$ é unha función continua non decrecente cuxo dominio $[0,\infty )$ sempre contén $S:=\{|g(x)|:x\in \Omega \}$ e $\sup S\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,\|g\|_{\infty }.$

$$A+B~:=~\{a+b:a\in A,b\in B\}$$

Aínda que esta discusión centrouse en $\sup ,$ pódese chegar a conclusións semellantes con $\inf$ cos cambios adecuados (como esixir que $f$ ser non crecente en lugar de non diminuír). Outras normas definidas en termos de $\sup$ ou $\inf$ inclúen as normas de espazos febles $L^{p,w}$(para $1\leq p<\infty$ ), a norma no espazo de Lebesgue $L^{\infty }(\Omega ,\mu ),$ e normas de operador. As secuencias monótonas en $S$ que converxen a $\sup S$ (ou a $\inf S$) tamén se pode usar para axudar a probar moitas das fórmulas que se indican a continuación, xa que a suma e a multiplicación de números reais son operacións continuas.

Operacións aritméticas sobre conxuntos

As seguintes fórmulas dependen dunha notación que xeneraliza convenientemente as operacións aritméticas sobre conxuntos. En todo o que segue, $A,B\subseteq \mathbb {R}$ son conxuntos de números reais.

Suma de conxuntos

A suma de Minkowski de dous conxuntos $A$ e $B$ dos números reais é o conxunto

$$\inf(A+B)=(\inf A)+(\inf B)$$

composto por todas as posibles sumas aritméticas de pares de números, un de cada conxunto. O ínfimo e o supremo da suma de Minkowski satisfai

$$\sup(A+B)=(\sup A)+(\sup B).$$

A multiplicación de dous conxuntos $A$ e $B$ dos números reais defínese de forma similar á súa suma de Minkowski:

$$A\cdot B~:=~\{a\cdot b:a\in A,b\in B\}.$$

Produto de conxuntos

$$rB~:=~\{r\cdot b:b\in B\}.$$

Se $A$ e $B$ son conxuntos non baleiros de números reais positivos daquela $\inf(A\cdot B)=(\inf A)\cdot (\inf B)$ e do mesmo xeito para o supremo $\sup(A\cdot B)=(\sup A)\cdot (\sup B).$

Produto escalar dun conxunto

$$\inf(r\cdot A)=r(\inf A)\quad {\text{ and }}\quad \sup(r\cdot A)=r(\sup A),$$

Se $r\geq 0$ daquela

$$\inf(r\cdot A)=r(\sup A)\quad {\text{ and }}\quad \sup(r\cdot A)=r(\inf A).$$

mentres que se $r\leq 0$ entón

$$\inf(-A)=-\sup A\quad {\text{ and }}\quad \sup(-A)=-\inf A.$$

$${\frac {1}{S}}~:=\;\left\{{\tfrac {1}{s}}:s\in S\right\}.$$

Inverso multiplicativo dun conxunto

Para calquera conxunto $S$ que non contén $0,$ sexa

$${\frac {1}{\sup _{}S}}~=~\inf _{}{\frac {1}{S}}$$

Se $S\subseteq (0,\infty )$ non está baleiro entón

$$x\leq y{\text{ en }}P^{\operatorname {op} }\quad {\text{ se e só se }}\quad x\geq y{\text{ en }}P,$$

onde esta ecuación tamén vale cando $\sup _{}S=\infty$ se usamos a definición ${\frac {1}{\infty }}:=0$. Esta igualdade pódese escribir alternativamente como ${\frac {1}{\displaystyle \sup _{s\in S}s}}=\inf _{s\in S}{\tfrac {1}{s}}.$ Alén diso, $\inf _{}S=0$ se e só se $\sup _{}{\tfrac {1}{S}}=\infty ,$ onde se $\inf _{}S>0,$ entón ${\tfrac {1}{\inf _{}S}}=\sup _{}{\tfrac {1}{S}}.$

Dualidade

Se se denota por $P^{\operatorname {op} }$ o conxunto parcialmente ordenado $P$ coa relación de orde oposta; é dicir, para todo $x{\text{ e }}y,$ declaramos:

$$\sup\{f(t)+g(t):t\in A\}~\leq ~\sup\{f(t):t\in A\}+\sup\{g(t):t\in A\}$$

entón o ínfimo dun subconxunto $S$ en $P$ é igual ao supremo de $S$ en $P^{\operatorname {op} }$ e viceversa.

Para os subconxuntos dos números reais, cúmprese outro tipo de dualidade: $\inf S=-\sup(-S),$ onde $-S:=\{-s~:~s\in S\}.$

Exemplos

Ínfimo

• O ínfimo do conxunto dos números $\{2,3,4\}$ é $2.$ O número $1$ é un límite inferior, mais non o límite inferior maior e, polo tanto, non é o ínfimo. Para conxuntos finitos totalmente ordenados, o ínfimo e o mínimo son iguais.
• Máis xeralmente, se un conxunto ten un elemento máis pequeno, entón o elemento máis pequeno é o ínfimo para o conxunto. Neste caso, tamén se denomina mínimo do conxunto.
• $\inf\{x\in \mathbb {R} :0<x<1\}=0.$
• $\inf \left\{x\in \mathbb {Q} :x^{3}>2\right\}={\sqrt[{3}]{2}}.$
• $\inf \left\{(-1)^{n}+{\tfrac {1}{n}}:n=1,2,3,\ldots \right\}=-1.$
• Se $\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }$ é unha secuencia decrecente con límite $x,$ entón $\inf x_{n}=x.$

Supremo

• O supremo do conxunto de números $\{1,2,3\}$ é $3.$ O número $4$ é un límite superior, mais non é o límite superior mínimo e, polo tanto, non é o supremo. Para conxuntos finitos totalmente ordenados, o supremo e o máximo son iguais.
• $\sup\{x\in \mathbb {R} :0<x<1\}=\sup\{x\in \mathbb {R} :0\leq x\leq 1\}=1.$
• $\sup \left\{(-1)^{n}-{\tfrac {1}{n}}:n=1,2,3,\ldots \right\}=1.$
• $\sup\{a+b:a\in A,b\in B\}=\sup A+\sup B.$
• $\sup \left\{x\in \mathbb {Q} :x^{2}<2\right\}={\sqrt {2}}.$

No último exemplo, o supremo dun conxunto de racionais é irracional, o que significa que os racionais son incompletos.

Unha propiedade básica do supremo é

$$\sup\{f(t)+g(t):t\in A\}~\leq ~\sup\{f(t):t\in A\}+\sup\{g(t):t\in A\}$$

para calquera funcionais $f$ e $g.$

O supremo dun subconxunto $S$ de $(\mathbb {N} ,\mid \,)$ onde $\,\mid \,$ denota " divide", é o mínimo común múltiplo dos elementos de $S.$

Véxase tamén

Outros artigos

• Elemento maximal e minimal
• Límite superior e límite inferior
• Elemento maiorante e minorante

Ligazóns externas

• https://encyclopediaofmath.org/wiki/Upper_and_lower_bounds, Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Breitenbach, Jerome R.; Weisstein, Eric W. "Ínfimo e supremo". MathWorld.