Saltar ao contido

Ínfimo e supremo

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
Un conxunto de números reais (círculos ocos e cheos), un subconxunto de (círculos cheos), e o ínfimo de Teña en conta que para conxuntos finitos totalmente ordenados, o ínfimo e o mínimo son iguais.
Un conxunto de números reais (círculos azuis), un conxunto de límites superiores de (rombo vermello e círculos), e o máis pequeno de eses límites superiores, é dicir, o supremo de (diamante vermello).

En matemáticas, o ínfimo (abreviado inf) dun subconxunto dun conxunto parcialmente ordenado é o maior elemento en que é menor ou igual a cada elemento de se tal elemento existe. [1] Se o ínfimo de existe, é único, e se b é un límite inferior de , entón b é menor ou igual ao ínfimo de . En consecuencia, o termo límite inferior máximo (abreviado como GLB en inglés) tamén se usa habitualmente. [1] O supremo (abreviado sup) dun subconxunto dun conxunto parcialmente ordenado é o menor elemento que é maior ou igual a cada elemento de se tal elemento existe. [1] Se o supremo de existe, é único, e se b é un límite superior de , entón o supremo de é menor ou igual a b. O supremo tamén se refire como o límite superior mínimo (ou LUB en inglés). [1]

Os conceptos de ínfimo e supremo están relacionados con mínimo e máximo, mais son máis útiles na análise porque caracterizan mellor os conxuntos especiais que poden non ter mínimo ou máximo. Por exemplo, o conxunto de números reais positivos (sen incluír ) non ten un mínimo, porque calquera elemento dado de podería simplemente dividirse á metade, resultando un número menor que aínda está en Non obstante, hai exactamente un ínfimo dos números reais positivos relativos aos números reais: que é menor que todos os números reais positivos e maior que calquera outro número real que se poida usar como cota inferior.

Definición formal

[editar | editar a fonte]

Un límite inferior de chámase ínfimo (ou límite inferior máximo) de se

  • para todo
  • para todos os límites inferiores de en , ( é maior que calquera outro límite inferior).

Do mesmo xeito, un límite superior dun subconxunto dun conxunto parcialmente ordenado é un elemento de tal que

  • para todo
  • para todos os límites superiores de en , ( é menor que calquera outro límite superior).

Existencia e unicidade

[editar | editar a fonte]

Ínfimo e supremo non necesariamente existen. A existencia dun ínfimo dun subconxunto de pode fallar se non ten límite inferior, ou se o conxunto de límites inferiores non contén un elemento maior. (Un exemplo diso é o subconxunto de , que ten límites superiores, como 1.5, mais non ten límites superiores en .)

Se o supremo dun subconxunto existe, é único. Así mesmo, se o infimum existe, é único.

Relación cos elementos máximos e mínimos

[editar | editar a fonte]

O ínfimo dun subconxunto dun conxunto parcialmente ordenado supoñendo que exista, non necesariamente pertence a Se o fai, é un elemento mínimo ou mínimo de Do mesmo xeito, se o supremo de pertence a é un elemento máximo de

Por exemplo, considere o conxunto de números reais negativos (excluíndo o cero). Este conxunto non ten elemento maior, xa que para cada elemento do conxunto, hai outro elemento máis grande. Por exemplo, para calquera número real negativo hai outro número real negativo que é maior. Por outra banda, todo número real maior ou igual a cero é certamente un límite superior neste conxunto. Polo tanto, é o límite superior mínimo dos reais negativos, polo que o supremo é 0. Este conxunto ten un supremo pero non un maior elemento.

No entanto, a definición de elementos máximais e mínimais é máis xeral. En particular, un conxunto pode ter moitos elementos máximais e mínimais, mentres que ínfimo e supremo son únicos.

Mentres que os máximos e mínimos deben ser membros do subconxunto que se está a considerar, o ínfimo e o supremo dun subconxunto non teñen por que ser membros dese subconxunto.que (por exemplo) garante [note 1] que é un punto adherente do conxunto Se ademais do asumido, a función continua é tamén unha función crecente ou non decrecente, entón incluso é posible concluír que Isto pódese aplicar, por exemplo, para concluír que sempre que é unha función de valor real (ou complexa ) con dominio cuxa norma sup é finita, entón para cada número real non negativo

O produto dun número real e un conxunto dos números reais é o conxunto

Ínfimo e supremo dos números reais

[editar | editar a fonte]

Que o conxunto dos números reais sexa completo iimplica (e é equivalente a) que calquera subconxunto non baleiro limitado dos números reais ten un ínfimo e un supremo. Se non está limitado por baixo, adoita escribirse formalmente Se está baleiro, escríbese

Propiedades

[editar | editar a fonte]

Se é calquera conxunto de números reais entón se e só se e doutro xeito [2]

Se son conxuntos de números reais entón (a non ser que ) e

Identificando o ínfimo e o supremo

Se o ínfimo de existe (é dicir, é un número real) e se é calquera número real entón se e só se é un límite inferior e para cada hai un con Do mesmo xeito, se é un número real e se é calquera número real entón se e só se é un límite superior e se para cada hai un con

Relación cos límites de secuencias

Se é calquera conxunto non baleiro de números reais, entón sempre existe unha secuencia non decrecente en tal que Do mesmo xeito, existirá unha secuencia non crecente (posiblemente diferente). en tal que

Expresar o ínfimo e o supremo como límite dunha secuencia deste tipo permite aplicar teoremas de varias ramas das matemáticas. Considere por exemplo o feito ben coñecido en topoloxía que se é unha función continua e é unha secuencia de puntos do seu dominio que converxe a un punto entón converxe necesariamente a Implica que se é un número real (onde todos están en ) e se é unha función continua cuxo dominio contén e entónposto que o mapa definido por é unha función continua non decrecente cuxo dominio sempre contén e Aínda que esta discusión centrouse en pódese chegar a conclusións semellantes con cos cambios adecuados (como esixir que ser non crecente en lugar de non diminuír). Outras normas definidas en termos de ou inclúen as normas de espazos febles (para ), a norma no espazo de Lebesgue e normas de operador. As secuencias monótonas en que converxen a (ou a ) tamén se pode usar para axudar a probar moitas das fórmulas que se indican a continuación, xa que a suma e a multiplicación de números reais son operacións continuas.

Operacións aritméticas sobre conxuntos

[editar | editar a fonte]

As seguintes fórmulas dependen dunha notación que xeneraliza convenientemente as operacións aritméticas sobre conxuntos. En todo o que segue, son conxuntos de números reais.

Suma de conxuntos

A suma de Minkowski de dous conxuntos e dos números reais é o conxuntocomposto por todas as posibles sumas aritméticas de pares de números, un de cada conxunto. O ínfimo e o supremo da suma de Minkowski satisfaiA multiplicación de dous conxuntos e dos números reais defínese de forma similar á súa suma de Minkowski:Produto de conxuntosSe e son conxuntos non baleiros de números reais positivos daquela e do mesmo xeito para o supremo [3]

Produto escalar dun conxuntoSe daquelamentres que se entónInverso multiplicativo dun conxunto

Para calquera conxunto que non contén sexaSe non está baleiro entónonde esta ecuación tamén vale cando se usamos a definición . [note 2] Esta igualdade pódese escribir alternativamente como Alén diso, se e só se onde se [note 2] entón

Dualidade

[editar | editar a fonte]

Se se denota por o conxunto parcialmente ordenado coa relación de orde oposta; é dicir, para todo declaramos:entón o ínfimo dun subconxunto en é igual ao supremo de en e viceversa.

Para os subconxuntos dos números reais, cúmprese outro tipo de dualidade: onde

  • O ínfimo do conxunto dos números é O número é un límite inferior, mais non o límite inferior maior e, polo tanto, non é o ínfimo. Para conxuntos finitos totalmente ordenados, o ínfimo e o mínimo son iguais.
  • Máis xeralmente, se un conxunto ten un elemento máis pequeno, entón o elemento máis pequeno é o ínfimo para o conxunto. Neste caso, tamén se denomina mínimo do conxunto.
  • Se é unha secuencia decrecente con límite entón
  • O supremo do conxunto de números é O número é un límite superior, mais non é o límite superior mínimo e, polo tanto, non é o supremo. Para conxuntos finitos totalmente ordenados, o supremo e o máximo son iguais.

No último exemplo, o supremo dun conxunto de racionais é irracional, o que significa que os racionais son incompletos.

Unha propiedade básica do supremo é para calquera funcionais e

O supremo dun subconxunto de onde denota " divide", é o mínimo común múltiplo dos elementos de

  1. Dado que é unha secuencia en que converxe a isto garante que pertence ao pechamento de
  2. 2,0 2,1 A definición úsase normalmente nos números reais estendidos; de feito, con esta definición a igualdade tamén se cumpre para calquera subconxunto non baleiro Porén, a notación fica sen definir, e por tanto a igualdade só se dá para cando

Véxase tamén

[editar | editar a fonte]

Outros artigos

[editar | editar a fonte]

Ligazóns externas

[editar | editar a fonte]