Norma (matemáticas)

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
Saltar para a navegação Saltar para a pesquisa
Unha bóla centrada na orixe de relativa a tres normas distintas.

Nas Matemáticas, unha norma consiste nunha función que a cada elemento dun espazo vectorial lle asocia un número real non-negativo. O concepto de norma está relacionado intuitivamente coa noción xeométrica de lonxitude.

Definición[editar | editar a fonte]

Dado un espazo vectorial sobre o corpo dos números reais ou complexos, unha función é chamada de norma se, para calquera e todo :[1]

  • . Se esta condición non for atendida, a función será como máximo unha seminorma.
  • (desigualdade triangular)

Se o espazo vectorial ten unha norma, pasa a coñecerse como espazo normado, e denótase por .

Métrica e topoloxía inducida[editar | editar a fonte]

Toda norma induce de forma natural unha métrica en que ten valores dados por:[2]

Tamén induce unha topoloxía localmente convexa que é xerada por todas as bólas:

Normas equivalentes[editar | editar a fonte]

Dúas normas e sobre o mesmo espazo vectorial chámanse equivalentes se existiren constantes reais positivas e tales que:

Cando dúas normas son equivalentes, inducen a mesma topoloxía.

Normas en espazos de dimensión finita[editar | editar a fonte]

Sexa a representación dun vector en ou .

As normas canónicas definidas nestes espazos son as chamadas normas :

O caso particular no que corresponde á norma euclidiana:

Pódense definir tamén outras normas, mais pódese demostrar que serán equivalentes.

Norma matricial[editar | editar a fonte]

Se o espazo vectorial considerado é o formado polas matrices reais ou complexas de orde , denotado por , unha norma sobre ese espazo é chamada de norma matricial.

Un exemplo de norma matricial é a norma 1, denotada definida como o máximo da suma módulo dos elementos de cada liña, ou sexa se entón a norma do máximo da matriz é o número non negativo dado por

A norma do máximo da matriz , por exemplo, é[3]

Normas en espazos de dimensión infinita[editar | editar a fonte]

Espazos LP[editar | editar a fonte]

Artigo principal: Espazo Lp.

As normas teñen análogos nalgúns espazos de dimensión infinita.

Notas[editar | editar a fonte]

  1. SANTOS (2010), p.3, ex. 54.
  2. SANTOS (2010), p.60.
  3. Boldrini et. al, p. 342.

Véxase tamén[editar | editar a fonte]

Bibliografía[editar | editar a fonte]

  • Santos, José Carlos (xuño de 2010). Introduçión à Topologia (PDF). Porto: Departamento de Matemática - Faculdade de Ciencias da Universidade do Porto. p. 171. 
  • Boldrini, José Luiz et. al. Álgebra Linear (3ª ed.). Harbra. p. 342. 

Outros artigos[editar | editar a fonte]