Norma (matemáticas)

Para outras páxinas con títulos homónimos véxase: Norma.

Unha bóla centrada na orixe de $\mathbb {R} ^{2}$ relativa a tres normas distintas.

Nas Matemáticas, unha norma consiste nunha función que a cada elemento dun espazo vectorial lle asocia un número real non-negativo. O concepto de norma está relacionado intuitivamente coa noción xeométrica de lonxitude.

Definición

Dado un espazo vectorial $X$ sobre o corpo $\mathbb {K}$ dos números reais ou complexos, unha función $\|\cdot \|:X\to \mathbb {R} ^{+}$ é chamada de norma se, para calquera ${\vec {x}},{\vec {y}}\in X$ e todo $\alpha \in \mathbb {K}$:

• $\|{\vec {x}}\|=0\Rightarrow {\vec {x}}={\vec {0}}$. Se esta condición non for atendida, a función será como máximo unha seminorma.
• $\|\alpha {\vec {x}}\|=|\alpha |\|{\vec {x}}\|$
• $\|{\vec {x}}+{\vec {y}}\|\leq \|{\vec {x}}\|+\|{\vec {y}}\|$ (desigualdade triangular)

Se o espazo vectorial $X$ ten unha norma, pasa a coñecerse como espazo normado, e denótase por $\left(X,\|\cdot \|\right)$.

Métrica e topoloxía inducida

Toda norma induce de forma natural unha métrica $d$ en $X$ que ten valores dados por:

$d({\vec {x}},{\vec {y}})=\|{\vec {x}}-{\vec {y}}\|\,.$

Tamén induce unha topoloxía localmente convexa que é xerada por todas as bólas:

$B({\vec {x}}_{0},r)=\{{\vec {x}}\in X:\|{\vec {x}}-{\vec {x}}_{0}\|<r\},~~\forall {\vec {x}}\in X,\forall r\in \mathbb {R_{+}}$

Normas equivalentes

Dúas normas $\|.\|_{1}$ e $\|.\|_{2}$ sobre o mesmo espazo vectorial $X$ chámanse equivalentes se existiren constantes reais positivas $C_{1}$ e $C_{2}\,(C_{1}\leq C_{2})$ tales que:

$C_{1}\|{\vec {x}}\|_{1}\leq \|{\vec {x}}\|_{2}\leq C_{2}\|{\vec {x}}\|_{1}~~\forall {\vec {x}}\in X$

Cando dúas normas son equivalentes, inducen a mesma topoloxía.

Normas en espazos de dimensión finita

Sexa ${\vec {x}}=\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)=\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\vec {e}}_{i}$ a representación dun vector en $\mathbb {R} ^{n}$ ou $\mathbb {C} ^{n}$.

As normas canónicas definidas nestes espazos son as chamadas normas $\ell ^{p}$:

• $\|{\vec {x}}\|_{p}=\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{1/p}~~,1\leq p<\infty$
• $\|{\vec {x}}\|_{\infty }=\max _{i=1}^{n}(|x_{i}|)$

O caso particular no que $p=2$ corresponde á norma euclidiana:

$\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}\right)^{1/2}=\|{\vec {x}}\|_{2}={\sqrt {|x_{1}|^{2}+\ldots +|x_{n}|^{2}}}$

A norma euclidiana é a que mide a distancia entre dous puntos do plano usada habitualmente $\|{\vec {x}}\|={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}$.

Pódense definir tamén outras normas, mais pódese demostrar que serán equivalentes.

Norma matricial

Se o espazo vectorial considerado é o formado polas matrices reais ou complexas de orde $n\times m$, denotado por $M^{n\times m}$, unha norma sobre ese espazo é chamada de norma matricial.

Un exemplo de norma matricial é a norma 1, denotada $\|.\|_{1}$ definida como o máximo da suma módulo dos elementos de cada liña, ou sexa se $A=\left[a_{ij}\right]_{r\times s}$ entón a norma do máximo da matriz $A$ é o número non negativo dado por

$\|A\|_{1}=\max _{1\leq i\leq r}\sum _{j=1}^{s}|a_{ij}|.$

A norma do máximo da matriz $A={\begin{vmatrix}1&3\\2&-1\end{vmatrix}}$, por exemplo, é

$\|A\|_{1}=\max \left\{|1|+|3|,|2|+|-1|\right\}=\max \left\{4,3\right\}=4.$

Normas en espazos de dimensión infinita

Espazos L^P

Artigo principal: Espazo Lp.

As normas $\ell ^{p}$ teñen análogos nalgúns espazos de dimensión infinita.

Véxase tamén

Bibliografía

• Santos, José Carlos (xuño de 2010). Introduçión à Topologia (PDF). Porto: Departamento de Matemática - Faculdade de Ciencias da Universidade do Porto. p. 171. 
• Boldrini, José Luiz et. al. Álgebra Linear (3ª ed.). Harbra. p. 342. 

Outros artigos

• Produto interno
• Espazo de Banach
• Espazo euclidiano
• Espazo métrico
• Espazo topolóxico
• Seminorma