Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
Para outras páxinas con títulos homónimos véxase:
Norma .
Unha bóla centrada na orixe de
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
relativa a tres normas distintas.
Nas Matemáticas , unha norma consiste nunha función que a cada elemento dun espazo vectorial lle asocia un número real non-negativo. O concepto de norma está relacionado intuitivamente coa noción xeométrica de lonxitude.
Dado un espazo vectorial
X
{\displaystyle X}
sobre o corpo
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
dos números reais ou complexos , unha función
‖
⋅
‖
:
X
→
R
+
{\displaystyle \|\cdot \|:X\to \mathbb {R} ^{+}}
é chamada de norma se, para calquera
x
→
,
y
→
∈
X
{\displaystyle {\vec {x}},{\vec {y}}\in X}
e todo
α
∈
K
{\displaystyle \alpha \in \mathbb {K} }
:[ 1]
‖
x
→
‖
=
0
⇒
x
→
=
0
→
{\displaystyle \|{\vec {x}}\|=0\Rightarrow {\vec {x}}={\vec {0}}}
. Se esta condición non for atendida, a función será como máximo unha seminorma .
‖
α
x
→
‖
=
|
α
|
‖
x
→
‖
{\displaystyle \|\alpha {\vec {x}}\|=|\alpha |\|{\vec {x}}\|}
‖
x
→
+
y
→
‖
≤
‖
x
→
‖
+
‖
y
→
‖
{\displaystyle \|{\vec {x}}+{\vec {y}}\|\leq \|{\vec {x}}\|+\|{\vec {y}}\|}
(desigualdade triangular )
Se o espazo vectorial
X
{\displaystyle X}
ten unha norma, pasa a coñecerse como espazo normado , e denótase por
(
X
,
‖
⋅
‖
)
{\displaystyle \left(X,\|\cdot \|\right)}
.
Toda norma induce de forma natural unha métrica
d
{\displaystyle d}
en
X
{\displaystyle X}
que ten valores dados por:[ 2]
d
(
x
→
,
y
→
)
=
‖
x
→
−
y
→
‖
.
{\displaystyle d({\vec {x}},{\vec {y}})=\|{\vec {x}}-{\vec {y}}\|\,.}
Tamén induce unha topoloxía localmente convexa que é xerada por todas as bólas :
B
(
x
→
0
,
r
)
=
{
x
→
∈
X
:
‖
x
→
−
x
→
0
‖
<
r
}
,
∀
x
→
∈
X
,
∀
r
∈
R
+
{\displaystyle B({\vec {x}}_{0},r)=\{{\vec {x}}\in X:\|{\vec {x}}-{\vec {x}}_{0}\|<r\},~~\forall {\vec {x}}\in X,\forall r\in \mathbb {R_{+}} }
Dúas normas
‖
.
‖
1
{\displaystyle \|.\|_{1}}
e
‖
.
‖
2
{\displaystyle \|.\|_{2}}
sobre o mesmo espazo vectorial
X
{\displaystyle X}
chámanse equivalentes se existiren constantes reais positivas
C
1
{\displaystyle C_{1}}
e
C
2
(
C
1
≤
C
2
)
{\displaystyle C_{2}\,(C_{1}\leq C_{2})}
tales que:
C
1
‖
x
→
‖
1
≤
‖
x
→
‖
2
≤
C
2
‖
x
→
‖
1
∀
x
→
∈
X
{\displaystyle C_{1}\|{\vec {x}}\|_{1}\leq \|{\vec {x}}\|_{2}\leq C_{2}\|{\vec {x}}\|_{1}~~\forall {\vec {x}}\in X}
Cando dúas normas son equivalentes, inducen a mesma topoloxía.
Normas en espazos de dimensión finita [ editar | editar a fonte ]
Sexa
x
→
=
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
=
∑
i
=
1
n
x
i
e
→
i
{\displaystyle {\vec {x}}=\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)=\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\vec {e}}_{i}}
a representación dun vector en
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
ou
C
n
{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}
.
As normas canónicas definidas nestes espazos son as chamadas normas
ℓ
p
{\displaystyle \ell ^{p}}
:
‖
x
→
‖
p
=
(
∑
i
=
1
n
|
x
i
|
p
)
1
/
p
,
1
≤
p
<
∞
{\displaystyle \|{\vec {x}}\|_{p}=\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{1/p}~~,1\leq p<\infty }
‖
x
→
‖
∞
=
max
i
=
1
n
(
|
x
i
|
)
{\displaystyle \|{\vec {x}}\|_{\infty }=\max _{i=1}^{n}(|x_{i}|)}
O caso particular no que
p
=
2
{\displaystyle p=2}
corresponde á norma euclidiana :
‖
x
→
‖
2
=
(
∑
i
=
1
n
|
x
i
|
2
)
1
/
2
{\displaystyle \|{\vec {x}}\|_{2}=\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}\right)^{1/2}}
Pódense definir tamén outras normas, mais pódese demostrar que serán equivalentes.
Se o espazo vectorial considerado é o formado polas matrices reais ou complexas de orde
n
×
m
{\displaystyle n\times m}
, denotado por
M
n
×
m
{\displaystyle M^{n\times m}}
, unha norma sobre ese espazo é chamada de norma matricial.
Un exemplo de norma matricial é a norma 1 , denotada
‖
.
‖
1
{\displaystyle \|.\|_{1}}
definida como o máximo da suma módulo dos elementos de cada liña, ou sexa se
A
=
[
a
i
j
]
r
×
s
{\displaystyle A=\left[a_{ij}\right]_{r\times s}}
entón a norma do máximo da matriz
A
{\displaystyle A}
é o número non negativo dado por
‖
A
‖
1
=
max
1
≤
i
≤
r
∑
j
=
1
s
|
a
i
j
|
.
{\displaystyle \|A\|_{1}=\max _{1\leq i\leq r}\sum _{j=1}^{s}|a_{ij}|.}
A norma do máximo da matriz
A
=
|
1
3
2
−
1
|
{\displaystyle A={\begin{vmatrix}1&3\\2&-1\end{vmatrix}}}
, por exemplo, é[ 3]
‖
A
‖
1
=
max
{
|
1
|
+
|
3
|
,
|
2
|
+
|
−
1
|
}
=
max
{
4
,
3
}
=
4.
{\displaystyle \|A\|_{1}=\max \left\{|1|+|3|,|2|+|-1|\right\}=\max \left\{4,3\right\}=4.}
Normas en espazos de dimensión infinita [ editar | editar a fonte ]
As normas
ℓ
p
{\displaystyle \ell ^{p}}
teñen análogos nalgúns espazos de dimensión infinita.
↑ SANTOS (2010), p.3, ex. 54.
↑ SANTOS (2010), p.60.
↑ Boldrini et. al , p. 342.
Santos, José Carlos (xuño de 2010). Introduçión à Topologia (PDF) . Porto: Departamento de Matemática - Faculdade de Ciencias da Universidade do Porto. p. 171.
Boldrini, José Luiz et. al . Álgebra Linear (3ª ed.). Harbra. p. 342.