Raíz (matemáticas)

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.

En Matemáticas, a raíz enésima dun número x é un número r que elevado á enésima potencia é igual a x

r^n  =  x,

onde n é o índice da raíz. Unha raíz de índice 2 chámase raíz cadrada e a de índice 3, raíz cúbica. As raíces de índice superior chámanse empregando o ordinal, como raíz cuarta ou raíz quinta.

Por exemplo:

  • 2 é a raíz cadrada de 4, porque 22 = 4.
  • −2 tamén é raíz cadrada de 4, porque (−2)2 = 4.

Na análise matemática, as raíces son tratadas como un caso particular de potenciación, onde o exponente é unha fracción:

\sqrt[n]{x} \,=\, x^{1/n}

As raíces adoitan ser escritas empregando o símbolo \sqrt{\,\,}, con \sqrt{x}\!\, indicando unha raíz cadrada, \sqrt[3]{x}\!\, unha raíz cúbica, \sqrt[4]{x} unha raíz cuarta e así sucesivamente. Na expresión \sqrt[n]{x}, n é o índice e x é o radicando. Calquera expresión que conteña unha raíz é chamada expresión radical.

Historia[editar | editar a fonte]

A orixe do símbolo de raíz √ é dubidosa. Moitos expertos, incluíndo Leonhard Euler,[1] cren que procede da letra "r", inicial da palabra latina "radix", que significa "raíz". O símbolo aparece impreso por vez primeira, sen o trazo horizontal, en 1525 na obra Die Coss do matemático alemán Christoff Rudolff.

Propiedades[editar | editar a fonte]

As catro raíces cuartas de -1, ningunha delas real
As tres raíces cúbicas de −1,
unha delas real negativa

Todos os números reais positivos teñen raíz real enésima. Se o índice da raíz é impar esta raíz é un único número positivo. Se o índice é par a raíz é dobre (un número e o seu oposto).

Os números reais negativos non teñen raíz real se o índice da raíz é par e teñen como raíz un único número real negativo se o índice da raíz é impar.

A raíz dun número real que non sexa potencia perfecta é un número irracional.

Un número complexo distinto de 0 ten n raíces distintas de índice n.

Os números reais cumpren:

\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} \,,
\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \,.
\sqrt[n]{a^m} = \left(a^m\right)^{\frac{1}{n}} = a^{\frac{m}{n}}.

Porén, pode haber problemas no caso dos números complexos. Por exemplo:

\sqrt{-1}\times\sqrt{-1} = -1

pero

\sqrt{-1 \times -1} = 1

se tomamos un certo valor da raíz.

Simplificación de expresións radicais[editar | editar a fonte]

Unha expresión radical está simplificada se[2]

  • Ningún factor do radicando pode ser escrito como potencia de expoñente maior có índice da raíz.
  • Non hai fraccións baixo o símbolo de raíz.
  • Non hai expresións radicais no denominador.

Por exemplo, para simplificar a expresión \sqrt{\tfrac{32}{5}} podemos buscar un cadrado perfecto dentro da raíz e sacalo fóra:

\sqrt{\tfrac{32}{5}} = \sqrt{\tfrac{16 \cdot 2}{5}} = 4 \sqrt{\tfrac{2}{5}}

Logo, ao haber unha fracción no radical cambiamos como segue:

4 \sqrt{\tfrac{2}{5}} = \frac{4 \sqrt{2}}{\sqrt{5}}

Finalmente quitamos a raíz do denominador:

\frac{4 \sqrt{2}}{\sqrt{5}} = \frac{4 \sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{4 \sqrt{10}}{5}

Cando no denominador hai unha suma de raíces pódese atopar un factor polo que multiplicar numerador e denominador para simplificar a expresión, o que se denomina racionalizar:

\frac{1}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}} = \frac{\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}}{(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2})} = \frac{\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}}{a+b} \,.

Serie infinita[editar | editar a fonte]

A raíz pode ser representada coa serie:


(1+x)^{s/t} = \sum_{n=0}^\infty \frac{\prod_{k=0}^{n-1} (s-kt)}{n!t^n}x^n

con |x|<1.

Función raíz[editar | editar a fonte]

Sexa n un número natural non nulo. A aplicación x → xn define unha función, de \mathbb{R} en \mathbb{R} se n é impar, e de \mathbb{R}^+ = [0,\infty] se n é par. Chámase raíz enésima, ou raíz de índice[3] n á súa función recíproca, e indícase: y = \sqrt[n]{x} = x^{1/n}.

No gráfico seguinte, están debuxadas as gráficas das funcións definidas por algunhas raíces, así como das súas funcións recíprocas, no intervalo [0;1]. A recta de ecuación y = x é o eixe de simetría entre cada curva e a curva da súa recíproca.

Función raíz 1.png

Cambiando de escala:

Función raíz 2.png

Notas[editar | editar a fonte]

  1. Euler, Leonhard (1755). Institutiones calculi differentialis.
  2. McKeague, Charles P. (2011). Elementary algebra. p. 470. http://books.google.com/books?id=etTbP0rItQ4C&printsec=frontcover&dq=editions:q0hGn6PkOxsC&hl=sv&ei=52CsTqv9Go7sOZ_tldAP&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=2&ved=0CDEQ6AEwAQ#v=onepage&q&f=false.
  3. Masa Vázquez, Xosé M.; Fortes López, Belén (1995). Vocabulario de Matemáticas. Santiago de Compostela: Servicio de Normalización Lingüística da Universidade de Santiago de Compostela. ISBN 84-8121-369-1.

Véxase tamén[editar | editar a fonte]

Outros artigos[editar | editar a fonte]