Operación binaria

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.

Unha operación binaria defínese como aquela operación matemática que precisa dun operador e de dous operandos (argumentos) para que se poida calcular un valor.

Dados tres conxuntos A, B e C, unha operación binaria é unha aplicación que asigna a cada par de valores a de A e b de B un só valor c de C, que podemos representar:


   f: \; A \times B \to C

Representando a operación polo signo  \circledcirc podemos expresar a operación:


   a \circledcirc b = c
   \; , \quad
   \circledcirc (a, b) = c
   \; , \quad
   (a, b) \xrightarrow{\circledcirc} c

Por exemplo, o operador de suma «+» de números naturais é un operador binario, porque require dous argumentos:


   \begin{array}{rcl}
      + : \; N \times N & \to & N       \\
      (a,b)             & \to & c = a + b
   \end{array}

e temos que:


   2 + 3 = 5
   \; , \quad
   +(2,3) = 5
   \; , \quad
   (2, 3) \xrightarrow{+} 5

O número de argumentos dunha función denomínase aridade.

Clase de operación binaria[editar | editar a fonte]

Segundo os conxuntos A, B e C podemos diferenciar dous tipos de operacións, as internas nas que A = B = C, e as externas que son tódalas demais.

Operación interna[editar | editar a fonte]

Se a cada par de valores (a, b) de  A^2 a operación lle corresponde un valor c de A:


   f : \; A \times A \to A

dise que esta operación é interna, e así, por exemplo, dado o conxunto de vectores de tres dimensións V^3, e a suma de vectores, temos:


   + : \; V^3 \times V^3  \to V^3

que a suma de dous vectores de V^3 é outro vector de V^3. Por exemplo, dados os vectores:


   \mathbf{a} =
   a_x \mathbf{i} + a_y \mathbf{j} + a_z \mathbf{k}

   \mathbf{b} =
   b_x \mathbf{i} + b_y \mathbf{j} + b_z \mathbf{k}

a súa suma é:


   \mathbf{c} =  \mathbf{a} +  \mathbf{b}
   \; , \quad
   \mathbf{c} =
   (a_x \mathbf{i} + a_y \mathbf{j} + a_z \mathbf{k}) +
   (b_x \mathbf{i} + b_y \mathbf{j} + b_z \mathbf{k})
   \; , \quad
   \mathbf{c} =
   (a_x+b_x )\mathbf{i} + (a_y+b_y )\mathbf{j} + (a_z+b_z )\mathbf{k}

Operación externa[editar | editar a fonte]

Se a operación non é interna, entón é externa, podéndose presentar os seguintes casos:

  • Se a cada par de valores a de A e b de B, asígnaselle un valor c de A,

   f : \; A \times B \to A

a esta operación tamén se lle denomina lei de composición externa. Un exemplo sinxelo desta operación é o produto dun vector por un escalar:


   \cdot : \; V^3 \times R \to V^3

así, dado o vector:


   \mathbf{a} =
   a_x \mathbf{i} + a_y \mathbf{j} + a_z \mathbf{k}

o resultado de multiplicalo por un escalar b, será:


   \mathbf{c} = \mathbf{a} \cdot b
   \; , \quad
   \mathbf{c} = (a_x \mathbf{i} + a_y \mathbf{j} + a_z \mathbf{k}) \cdot b
   \; , \quad
   \mathbf{c} = (a_x \cdot b) \mathbf{i} + (a_y \cdot b) \mathbf{j} + (a_z \cdot b) \mathbf{k}
  • Se a operación é da forma:

   f : \; A \times A \to B

na que a cada par de valores a, b de A se lle asigna un c de B, esta operación non se denomina lei de composición. Como exemplo podemos poñer o produto escalar de dous vectores, que da como resultado un número real:


   \circ  : \; V^3 \times V^3 \to R

así pois, dados os vectores:


   \mathbf{a} =
   a_x \mathbf{i} + a_y \mathbf{j} + a_z \mathbf{k}

   \mathbf{b} =
   b_x \mathbf{i} + b_y \mathbf{j} + b_z \mathbf{k}

o seu produto escalar será:


   \mathbf{c} = \mathbf{a} \circ \mathbf{b}
   \; , \quad
\mathbf{c} = (a_x \mathbf{i} + a_y \mathbf{j} + a_z \mathbf{k}) \circ (b_x \mathbf{i} + b_y \mathbf{j} + b_z \mathbf{k})
   \; , \quad
   \mathbf{c} = a_x \cdot b_x +a_y \cdot b_y + a_z \cdot b_z
  • Se a operación lle asigna a cada par de valores a de A e b de B un c de C, sendo A, B e C conxuntos distintos:

   f : \; A \times B \to C

é o caso máis xeral, e tampouco se denomina lei de composición. Podemos ver o exemplo da división dun número enteiro entre un número natural para dar como resultado un número racional


   \begin{array}{rcl}
      / : \; Z \times N & \to & Q         \\
      (a,b)             & \to & c = a / b
   \end{array}

Véxase tamén[editar | editar a fonte]

Outros artigos[editar | editar a fonte]