Esfera de Riemann

	fig.1: Proxección estereográfica do plano complexo estendido sobre a "esfera de Riemann".

	fig.2: A "esfera de Riemann" pode visualizarse como o plano complexo envolto arredor dunha esfera.

En matemáticas, a esfera de Riemann (ou plano complexo estendido), chamada así en honor ao matemático do século XIX Bernhard Riemann, é unha esfera obtida do plano complexo mediante a adición dun punto do infinito. A esfera é a representación xeométrica dos números complexos estendidos, denotado como ${\hat {\mathbb {C} }}$ ou $\mathbb {C} \cup \{\infty \}$ ,^[1] (véxase fig.1 e fig.2), que consiste nos números complexos ordinarios xunto co símbolo $\infty \!$ para representar o infinito.

Os números complexos estendidos son comúns na análise complexa porque permiten a división por cero nalgunha circunstancias, no sentido de facer expresións ben definidas como:

1/0=\infty

Por exemplo, calquera función racional sobre o plano complexo pode estenderse como unha función continua sobre a esfera de Riemann, cos polos da función racional mapeados ao infinito. Máis xeralmente, calquera función meromorfa pode pensarse como unha función continua con contradominio a esfera de Riemann.

En xeometría, a esfera de Riemann é o exemplo típico dunha superficie de Riemann e unha das variedades complexas máis simples. En xeometría proxectiva, a esfera pode pensarse como a recta proxectiva complexa $\mathbb {CP} ^{1}$ , o espazo proxectivo de todas as rectas complexas en $\mathbb {C} ^{2}$ . Como con calquera superficie de Riemann compacta, a esfera tamén pode verse como unha curva alxébrica proxectiva, sendo un exemplo fundamental da xeometría alxébrica. Tamén ten utilidade noutras disciplinas que dependen da análise e da xeometría, como pode ser a mecánica cuántica e outras ramas da física.

Notas[editar | editar a fonte]

↑ Na esfera de Riemann o punto do infinito representa o horizonte infinito do plano complexo, é un infinito positivo $+\infty \!$ tal que permite que a proxección do plano complexo se peche sobre esa esfera.

Véxase tamén[editar | editar a fonte]

Outros artigos[editar | editar a fonte]

Bibliografía[editar | editar a fonte]

Brown, James; Churchill, Ruel (1989). Complex Variables and Applications (en inglés). Nova York: McGraw-Hill. ISBN 0070109052.
Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1978). Principles of Algebraic Geometry (en inglés). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-32792-1.
Penrose, Roger (2005). The Road to Reality (en inglés). Nova York: Knopf. ISBN 0-679-45443-8.
Rudin, Walter (1987). Real and Complex Analysis (en inglés). Nova York: McGraw-Hill. ISBN 0071002766.
Riemann Sphere

[1] Na esfera de Riemann o punto do infinito representa o horizonte infinito do plano complexo, é un infinito positivo $+\infty \!$ tal que permite que a proxección do plano complexo se peche sobre esa esfera.

[1]