Variedade topolóxica

En topoloxía, unha rama das matemáticas, unha variedade topolóxica é un espazo topolóxico que localmente se asemella ao espazo euclidiano real de n dimensións. As variedades topolóxicas son unha clase importante de espazos topolóxicos, con aplicacións en todas as matemáticas. Todas as variedades son variedades topolóxicas por definición. Outros tipos de variedades fórmanse engadindo estrutura a unha variedade topolóxica (por exemplo, as variedeades diferenciabeis son variedades topolóxicas equipadas cunha estrutura diferencial). Cada variedade ten unha variedade topolóxica "subxacente", obtida simplemente "esquecendo" a estrutura engadida.^[1] Porén, non todas as variedades topolóxicas poden estar dotadas dunha estrutura adicional particular. Por exemplo, a variedade E8 é unha variedade topolóxica que non se pode dotar dunha estrutura diferenciable.

Definición formal

Un espazo topolóxico X chámase localmente euclidiano se hai un número enteiro non negativo n tal que cada punto de X ten unha veciñanza que é homeomórfica ao n-espazo real Rⁿ .^[2]

Unha variedade topolóxica é un espazo de Hausdorff localmente euclidiano. É normal poñer requisitos adicionais en variedades topolóxicas. En particular, moitos autores as definen como paracompactas^[3] ou segundos numerábeis.^[2]

No resto deste artigo unha variedade significará unha variedade topolóxica. Unha n-variedade significará unha variedade topolóxica tal que cada punto teña unha veciñanza homeomórfica a Rⁿ.

Exemplos

n-variedades

O espazo de coordenadas real Rⁿ é unha n-variedade.
Calquera espazo discreto é unha variedade 0-dimensional.
Unha circunferencia é unha 1-variedade compacta.
Un toro e unha botella de Klein son superficies ou 2- variedades compactas.
A esfera n-dimensional Sⁿ é unha n-variedade compacta.
O toro n-dimensional Tⁿ (o produto de n cíircunferencias) é unha n-variedade compacta.

Variedades proxectivas

Os espazos proxectivos sobre os reais, oscomplexos ou tamén os cuaternións son variedades compactas.
- O espazo proxectivo real RPⁿ é unha variedade n-dimensional.
- O espazo proxectivo complexo CPⁿ é unha variedade de 2n dimensións.
- O espazo proxectivo cuaterniónico HPⁿ é unha variedade de 4n dimensións.
Variedades relacionadas co espazo proxectivo inclúen as variedades de Grassmann, as variedades de bandeiras e as variedades de Stiefel.

Outras variedades

As variedades diferenciabeis son unha clase de variedades topolóxicas equipadas cunha estrutura diferencial.
Os espazos de Lens son unha clase de variedades diferenciables que son cocientes de esferas de dimensións impares.
Os grupos de Lie son unha clase de variedades diferenciabeis equipadas cunha estrutura compatíbel a un grupo.
A variedade E8 é unha variedade topolóxica á que non se lle pode dar unha estrutura diferenciable.

Propiedades

A propiedade de ser localmente euclidiana é preservada polos homeomorfismos locais. É dicir, se X é localmente euclidiana de dimensión n e f : Y → X é un homeomorfismo local, entón Y é localmente euclidiana de dimensión n. En particular, ser localmente euclidiana é unha propiedade topolóxica.

As variedades herdan moitas das propiedades locais do espazo euclidiano. En particular, son localmente compactas, espazo localmente conexo, primeiro numerabeis, localmente contraibeis e localmente metrizables. Sendo espazos de Hausdorff localmente compactos, as variedades son necesariamente espazos de Tychonoff.

Unha variedade non necesita ser conexa, mais toda variedade M é unha unión disxunta de variedades conexas. Estas son só as compoñentes conexas de M, que son conxuntos abertos xa que as variedades son conexas localmente. Sendo conexas localmente por camiños, unha variedade é conexa por camiños se e só se é conexa. Polo tanto, as compoñentes por camiños son o mesmo que as compoñentes.

O axioma de Hausdorff

A propiedade de Hausdorff non é local; polo que aínda que o espazo euclidiano sexa Hausdorff, un espazo euclidiano localmente non ten por que selo. Porén, é certo que todo espazo localmente euclidiano é T<sub id="mwqA">1</sub> (dous puntos calquera poden ser separados por un aberto).

Un exemplo de espazo localmente euclidiano non Hausdorff é a liña con dúas orixes. Este espazo créase substituíndo a orixe da liña real por dous puntos, un contorno aberto de calquera dos cales inclúe todos os números distintos de cero nalgún intervalo aberto centrado en cero. Este espazo non é Hausdorff porque non se poden separar as dúas orixes.

Axiomas de compactidade e numerabilidade

Unha variedade é metrizable se e só se é paracompacto. A liña longa é un exemplo dunha variedade topolóxica unidimensional normal de Hausdorff que non é metrizable nin paracompacto. Dado que a metrizabilidade é unha propiedade moito desexable para un espazo topolóxico, é común engadir paracompactidade á definición dunha variedade. En calquera caso, as variedades non paracompactas considéranse xeralmente como patolóxicas. Un exemplo de variedade non paracompacta vén dado pola liña longa. As variedades paracompactas teñen todas as propiedades topolóxicas dos espazos métricos. En particular, son espazos de Hausdorff perfectamente normais.

Tamén se require habitualmente que as variedades sexan segundo numerabeis. Esta é precisamente a condición necesaria para asegurar que a variedade mergúllase nalgún espazo euclidiano de dimensións finitas. Para calquera variedade, as propiedades de ser segundo numeráble, Lindelöf e σ-compacto son todas equivalentes.

Toda variedade compacta é segundo numerábel e paracompacta.

Dimensionalidade

Por invariancia do dominio, unha variedade n non baleira non pode ser unha variedade m para n ≠ m.^[4] A dimensión dunha n-variedade non baleira é n. Ser unha n-variedade é unha propiedade topolóxica, o que significa que calquera espazo topolóxico homeomórfico a unha n-variedade tamén é unha n-variedade.^[5]

Construcións

Existen varios métodos para crear variedades a partir doutras variedades.

Produto de variedades

Se M é unha m-variedade e N é unha -variedade, o produto cartesiano M × N é unha (m + n)-variedade cando se dá a topoloxía do produto.^[6]

Unión disxunta

A unión disxunta dunha familia numerábel de n-variedades é unha n-variedade (as pezas deben ter todas a mesma dimensión).^[5]

Suma conexa

A suma conexa de dúas n-variedades defínese eliminando unha bola aberta de cada variedade e tomando o cociente da unión disxunta das variedades resultantes con límite, sendo este cociente respecto dun homeomorfismo entre as esferas límite das bólas eliminadas. Isto resulta noutra n-variedade. ^[5]

Subvariedade

Calquera subconxunto aberto dunha n-variedade é unha n-variedade coa topoloxía relativa ou inducida.^[6]

Notas

↑ Rajendra Bhatia (6 June 2011). Proceedings of the International Congress of Mathematicians: Hyderabad, August 19-27, 2010. World Scientific. pp. 477–. ISBN 978-981-4324-35-9.
↑ ^2,0 ^2,1 John M. Lee (6 April 2006). Introduction to Topological Manifolds. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-22727-6.
↑ Thierry Aubin (2001). A Course in Differential Geometry. American Mathematical Soc. pp. 25–. ISBN 978-0-8218-7214-7.
↑ Tammo tom Dieck (2008). Algebraic Topology. European Mathematical Society. pp. 249–. ISBN 978-3-03719-048-7.
↑ ^5,0 ^5,1 ^5,2 John Lee (25 December 2010). Introduction to Topological Manifolds. Springer Science & Business Media. pp. 64–. ISBN 978-1-4419-7940-7.
↑ ^6,0 ^6,1 Jeffrey Lee; Jeffrey Marc Lee (2009). Manifolds and Differential Geometry. American Mathematical Soc. pp. 7–. ISBN 978-0-8218-4815-9.

Véxase tamén

Bibliografía

Gauld, D. B. (1974). Topological Properties of Manifolds. The American Mathematical Monthly 81 (Mathematical Association of America). pp. 633–636. JSTOR 2319220. doi:10.2307/2319220.
Kirby, Robion C.; Siebenmann, Laurence C. (1977). Foundational Essays on Topological Manifolds. Smoothings, and Triangulations (PDF). Princeton: Princeton University Press. ISBN 0-691-08191-3.
Lee, John M. (2000). Introduction to Topological Manifolds. Graduate Texts in Mathematics 202. New York: Springer. ISBN 0-387-98759-2.

[Bhatia2011-1] Rajendra Bhatia (6 June 2011). Proceedings of the International Congress of Mathematicians: Hyderabad, August 19-27, 2010. World Scientific. pp. 477–. ISBN 978-981-4324-35-9.

[Lee2006-2] 2,0 ^2,1 John M. Lee (6 April 2006). Introduction to Topological Manifolds. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-22727-6.

[Aubin2001-3] Thierry Aubin (2001). A Course in Differential Geometry. American Mathematical Soc. pp. 25–. ISBN 978-0-8218-7214-7.

[Dieck2008-4] Tammo tom Dieck (2008). Algebraic Topology. European Mathematical Society. pp. 249–. ISBN 978-3-03719-048-7.

[Lee2010-5] 5,0 ^5,1 ^5,2 John Lee (25 December 2010). Introduction to Topological Manifolds. Springer Science & Business Media. pp. 64–. ISBN 978-1-4419-7940-7.

[LeeLee2009-6] 6,0 ^6,1 Jeffrey Lee; Jeffrey Marc Lee (2009). Manifolds and Differential Geometry. American Mathematical Soc. pp. 7–. ISBN 978-0-8218-4815-9.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]