Transformada de Laplace

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.

En Matemática, e en particular na Análise funcional, a transformada de Laplace dunha función f(t) definida para todo número real t ≥ 0 é a función F(s), definida por:

As propiedades desta transformada tórnanna útil para a análise de sistemas dinámicos lineares. A vantaxe máis interesante desta transformada é que a integración e a derivación tórnanse multiplicacións e divisións, da mesma maneira que o logaritmo transforma a multiplicación en adición. Ela permite levar a resolución de ecuacións diferenciais á resolución de ecuacións polinomiais, que son moito máis simples de resolver.

A transformada de Laplace ten o seu nome en homenaxe ao matemático francés Pierre Simon Laplace.

Notación en Enxeñaría/Física[editar | editar a fonte]

Un abuso ás veces conveniente de notación, que acontece principalmente entre enxeñeiros e físicos, exprime iso da forma seguinte:

Cando se fala de transformada de Laplace, reférese xeralmente á versión unilateral. Existe tamén a transformada de Laplace bilateral, que se define como segue:

A transformada de Laplace F(s) existe tipicamente para todos os números reais s > a, onde a é unha constante que depende do comportamento de crecemento de f(t).

A transformada de Laplace tamén pode utilizarse na resolución de ecuacións diferenciais, e é extensamente utilizada en Enxeñaría eléctrica.

Un aspecto interesante da transformada de Laplace é que os matemáticos, ata hoxe, non coñecen o seu dominio. En outras palabras, non existe ningún conxunto de regras co cal se pode verificar se a transformada de Laplace pode ou non se aplicar a unha función.

Propiedades[editar | editar a fonte]

Linearidade[editar | editar a fonte]

Derivada[editar | editar a fonte]

Integral[editar | editar a fonte]

Composición[editar | editar a fonte]

Amortización
Atraso

Nota: é a función de etapa de Heaviside.

Valor Final[editar | editar a fonte]

Convolución[editar | editar a fonte]

Transformada de Laplace dunha función de período p[editar | editar a fonte]

Algunhas transformadas usuais[editar | editar a fonte]

Potencia n[editar | editar a fonte]

Exponencial[editar | editar a fonte]

Seno[editar | editar a fonte]

Coseno[editar | editar a fonte]

Seno hiperbólico[editar | editar a fonte]

Coseno hiperbólico[editar | editar a fonte]

Demostracción

Logaritmo natural[editar | editar a fonte]

Raíz n[editar | editar a fonte]

Función de Besel do primeiro tipo[editar | editar a fonte]

Función de Besel modificada do primeiro tipo[editar | editar a fonte]

Función erro[editar | editar a fonte]

Outras transformadas comúns[editar | editar a fonte]

Transformada de Laplace Función no dominio Tempo , impulso unitario
, paso unitario