Rotación (xeometría)

A rotación en matemáticas é un concepto orixinado na xeometría. Calquera rotación é un movemento dun determinado espazo que conserva polo menos un punto. Pode describir, por exemplo, o movemento dun corpo ríxido arredor dun punto fixo. A rotación pode ter un signo (como o signo dun ángulo): unha rotación no sentido horario é unha magnitude negativa polo que un xiro no sentido antihorario ten unha magnitude positiva. Unha rotación é diferente doutros tipos de movementos: translacións, que non teñen puntos fixos, e (hiperplano) reflexións, con $(n-1)$ dimensións de puntos fixos nun espazo de $n$ dimensións.

Matematicamente, unha rotación é un mapa. Todas as rotacións arredor dun punto fixo forman un grupo baixo composición chamado grupo de rotación (dun espazo particular). Mais en mecánica e, máis xeralmente, en física, este concepto é frecuentemente entendido como unha transformación de coordenadas (importante, unha transformación dunha base ortonormal), porque para calquera movemento dun corpo hai unha transformación inversa que se se aplica ao marco de referencia dá como resultado que o corpo estea nas mesmas coordenadas. Por exemplo, en dúas dimensións xirar un corpo no sentido horario arredor dun punto mantendo os eixos fixos equivale a xirar os eixos no sentido antihorario sobre o mesmo punto mentres o corpo se mantén fixo. Estes dous tipos de rotación chámanse transformación activa e pasiva.^[1]^[2]

Sexa E un espazo vectorial euclidiano. Unha rotación de E é un elemento do grupo especial ortogonal SO(E). Se escollemos unha base ortonormal de E, a súa matriz nesta base é ortogonal directa.

Rotación vectorial plana

Escritura matricial

No plano vectorial euclidiano orientado, unha rotación vectorial defínese simplemente polo seu ángulo $\varphi \,$ . A súa matriz nunha base ortonormal directa é :

{\begin{pmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \end{pmatrix}}

^[3].

Noutras palabras, un vector ${\vec {U}}$ de compoñentes $(x,y)$ ten a imaxe do vector ${\vec {V}}$ de compoñentes $(x',y')$ que se pode calcular coa ecuación de matrices :

{\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}

,

Escritura complexa

Isto pódese comparar coa seguinte fórmula, escrita con números complexos :

x'+i\ y'=(x+i\ y)(\cos \varphi +i\sin \varphi )

ou mesmo :

z'=x'+i\ y'=(x+i\ y)\cdot e^{\ i\varphi }=z\cdot e^{\ i\varphi }\,

.

Sentido da rotación

Cando $\varphi$ está entre $0$ e $\pi$ e se o plano está orientado do xeito habitual, a rotación faise no “sentido antihorario“ dise que a rotación é á esquerda. Se $\varphi$ está entre $-\pi$ e $0$ , a rotación faise no sentido horario e chámase rotación cara á dereita.

Composición

O composto de dúas rotacións vectoriais é unha rotación vectorial cuxo ángulo é a suma dos ángulos das dúas rotacións, que se traduce dicindo que o grupo de rotacións vectoriais é isomorfo ao grupo $(\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} ,+)$ .

Rotacións e ángulos

Na construción axiomática da xeometría baseada na álxebra linealr, é a definición de rotacións planas a que permite definir a noción de ángulo ^[3] (ver tamén o artigo Ángulo).

Rotación vectorial no espazo tridimensional

Escritura matricial

No espazo euclidiano orientado de dimensión 3, unha rotación vectorial defínese por :

un vector unitario ${\vec {N}}$ , que determina o seu eixo: a liña de vectores invariante por esta rotación vectorial é xerada e orientada por este vector;
o seu ángulo $\varphi \,$ , a da rotación vectorial plana asociada, que é a restrición desta rotación ao plano $\mathbf {\Pi } \,$ ortogonal ao eixo.

A orientación deste plano vén determinada pola elección da orientación do eixo. As parellas $({\vec {N}},\varphi )$ e $(-{\vec {N}},-\varphi )$ representan polo tanto a mesma rotación no espazo.

Denotamos como $\left(n_{x},n_{y},n_{z}\right)$ as coordenadas do vector unitario ${\vec {N}}$ nunha base ortonormal directa $({\vec {i}},{\vec {j}},{\vec {k}})\,$ :

n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2}=\|{\vec {N}}\|^{2}=1

.

Sexa ${\vec {U}}$ calquera vector. Imos denotar como ${\vec {V}}$ a súa imaxe pola rotación $({\vec {N}},\varphi )$ .

Caso particular sinxelo

Comecemos co estudo do caso particular ${\vec {N}}={\vec {k}}$ .

O plano $\mathbf {\Pi } \,$ é entón o plano xerado polos vectores ${\vec {i}}$ E ${\vec {j}}$ . O vector ${\vec {U}}$ descomponse nun vector $z{\vec {k}}$ colinear a ${\vec {N}}$ que é invariante pola rotación e un vector $x{\vec {i}}+y{\vec {j}}$ que sofre unha rotación angular $\varphi$ no plano $\mathbf {\Pi }$ , e podemos aplicar a $x{\vec {i}}+y{\vec {j}}$ as fórmulas estabelecidas no caso de rotacións de vectores planos. Por iso podemos escribir :

z'=z\,

e

{\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}

como enrriba,

que se pode escribir en forma sintética :

${\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi &0\\\sin \varphi &\cos \varphi &0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}$

Caso xeral

Se o vector unitario ${\vec {N}}$ é arbitrario en relación á base ortonormal directa $({\vec {i}},{\vec {j}},{\vec {k}})\,$ que se usa para expresar os compoñentes, o razoamento é máis delicado.

O vector ${\vec {U}}$ divídese na suma de $({\vec {U}}\cdot {\vec {N}}){\vec {N}}$ , colinear con ${\vec {N}}$ e invariante baixo rotación, e ${\vec {W}}={\vec {U}}-({\vec {U}}\cdot {\vec {N}}){\vec {N}}$ , elemento de $\mathbf {\Pi } \,$ e que sufrirá unha rotación neste plano. O vector directamente ortogonal a ${\vec {W}}$ no plano e da mesmo norma é ${\vec {N}}\wedge {\vec {W}}$ , deste modo a imaxe de ${\vec {W}}$ coa rotación angular $\varphi$ é $(\cos \varphi ){\vec {W}}+(\sin \varphi ){\vec {N}}\wedge {\vec {W}}.$

Finalmente, a imaxe de ${\vec {U}}$ pola rotación resulta:

{\vec {V}}=({\vec {U}}\cdot {\vec {N}}){\vec {N}}+(\cos \varphi ){\vec {W}}+(\sin \varphi ){\vec {N}}\wedge {\vec {W}}

e se substituímos ${\vec {W}}$ polo seu valor ${\vec {U}}-({\vec {U}}\cdot {\vec {N}}){\vec {N}}$ , conseguimos :

{\vec {V}}=({\vec {U}}\cdot {\vec {N}}){\vec {N}}+(\cos \varphi )({\vec {U}}-({\vec {U}}\cdot {\vec {N}}){\vec {N}})+(\sin \varphi ){\vec {N}}\wedge {\vec {U}}

de aí finalmente a fórmula de rotación de Rodrigues ^[4]:

${\vec {V}}=(\cos \varphi )\ {\vec {U}}+(1-\cos \varphi )({\vec {U}}\cdot {\vec {N}})\ {\vec {N}}+(\sin \varphi )\,\,\left({\vec {N}}\wedge {\vec {U}}\right)$

.

A fórmula enmarcada arriba dá a expresión vectorial da imaxe ${\vec {V}}$ dun vector ${\vec {U}}$ calquera, por rotación $({\vec {N}},\varphi )$ .

Podemos presentar o mesmo resultado na seguinte forma matricial equivalente :

{\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}}=M{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}

con:

$M=(\cos \varphi ){\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}+(1-\cos \varphi ){\begin{pmatrix}n_{x}^{2}&n_{x}n_{y}&n_{x}n_{z}\\n_{x}n_{y}&n_{y}^{2}&n_{y}n_{z}\\n_{x}n_{z}&n_{y}n_{z}&n_{z}^{2}\end{pmatrix}}+\ (\sin \varphi ){\begin{pmatrix}0&-n_{z}&n_{y}\\n_{z}&0&-n_{x}\\-n_{y}&n_{x}&0\end{pmatrix}}$

.

Observacións

A matriz M chámase matriz de rotación. É unha matriz ortogonal directa, o que significa que as súas columnas forman unha base ortonormal directa, ou que a súa matriz transposta é igual á súa matriz inversa e que o seu determinante é 1.

Pola contra, dada calquera matriz de rotación, atopamos facilmente o coseno do ángulo de rotación. De feito, a traza da matriz (é dicir, a suma dos seus elementos diagonais) é igual a $1+2\cos \varphi \,$ . A maiores, notamos que:

M-{}^{t}M=2(\sin \varphi ){\begin{pmatrix}0&-n_{z}&n_{y}\\n_{z}&0&-n_{x}\\-n_{y}&n_{x}&0\end{pmatrix}}

que permite atopar rapidamente o eixo e o seno asociados á rotación. Xeométricamente, $M{\vec {U}}$ e ${}^{t}M{\vec {U}}$ forman os dous lados dun rombo cuxo vector $(M-{}^{t}M){\vec {U}}=2(\sin \varphi ){\vec {N}}\wedge {\vec {U}}$ é a diagonal, ortogonal ao eixo de rotación. Este é o rombo de Olinde Rodrigues.

Usando cuaternións

Tamén podemos utilizar a noción de cuaternións. De feito, podemos calcular a imaxe ${\vec {V}}\,$ do vector ${\vec {U}}\,$ utilizando o produto de cuaternións na seguinte forma :

$(0,\ {\vec {V}})=\left(0,\ \mathbf {R} _{\left(\varphi ,{\vec {N}}\right)}({\vec {U}})\right)=(\cos {\frac {\varphi }{2}},\ \sin {\frac {\varphi }{2}}\ {\vec {N}})\cdot (0,\ {\vec {U}})\cdot (\cos {\frac {\varphi }{2}},\ -\sin {\frac {\varphi }{2}}\ {\vec {N}})$

Composición de dúas rotacións vectoriais

A composición $R_{2}\circ R_{1}$ de dúas rotacións vectoriais $R_{1}=({\vec {N}}_{1},\varphi _{1})$ e $R_{2}=({\vec {N}}_{2},\varphi _{2})$ do espazo tridimensional é unha rotación vectorial. As características $({\vec {N}}_{3},\varphi _{3})$ desta están determinadas a partir de $M_{3}-{}^{t}M_{3}$ , onde $M_{3}$ é o produto $M_{2}M_{1}$ das matrices de rotación iniciais, ou a partir do produto dos cuaternións que definen cada unha das rotacións, ou ben compoñendo as fórmulas de Rodrigues relativas a cada rotación.

Descubrimos que :

\cos({\frac {\varphi _{3}}{2}})=\cos({\frac {\varphi _{1}}{2}})\cos({\frac {\varphi _{2}}{2}})-\sin({\frac {\varphi _{1}}{2}})\sin({\frac {\varphi _{2}}{2}})({\vec {N}}_{1}\cdot {\vec {N}}_{2})

\sin({\frac {\varphi _{3}}{2}}){\vec {N}}_{3}=\cos({\frac {\varphi _{1}}{2}})\sin({\frac {\varphi _{2}}{2}}){\vec {N}}_{2}+\cos({\frac {\varphi _{2}}{2}})\sin({\frac {\varphi _{1}}{2}}){\vec {N}}_{1}+\sin({\frac {\varphi _{1}}{2}})\sin({\frac {\varphi _{2}}{2}}){\vec {N}}_{2}\wedge {\vec {N}}_{1}

Rotacións na dimensión 4

As matrices do grupo ortogonal SO(4) pódense poñer de xeito similar en forma canónica (despois da diagonalización en C); mostramos que existen dous planos vectoriais ortogonais de tal xeito que nunha base ortonormal que consta de dous vectores de cada plano, a matriz escrívese

{\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha &0&0\\\sin \alpha &\cos \alpha &0&0\\0&0&\cos \beta &-\sin \beta \\0&0&\sin \beta &\cos \beta \end{pmatrix}}

.

Vemos, polo tanto, que a rotación está composta por dúas rotacións planas e, en particular, non ten un vector fixo (non hai "eixo") a non ser que un dos ángulos α ou β sexa cero (neste caso, podemos falar, por analoxía co caso tridimensional, de rotación "arredor" dun plano). Se $\alpha \neq \beta$ , os dous planos son únicos, e son os únicos planos globalmente invariantes pola rotación; no caso $\alpha =\pm \beta$ (as chamadas rotacións isóclina), todos os planos xerados por un vector e a súa imaxe son globalmente invariantes.