En matemáticas, defídese o produto de Cauchy, así denominado en honra do matemático francés Augustin Louis Cauchy, como unha convolución discreta de dúas series estritamente formais, que se manipulan sen prestar atención a aspectos de converxencia, xeralmente, de números reais ou complexos, tales como

Sendo pois o produto de Cauchy:

para n = 0, 1, 2,...
Non é preciso que as series sexan converxentes. Véxase por exemplo Serie formal de potencias.
É de esperar, que por analoxía coas sumas finitas, no caso en que as dúas series fosen converxentes, a suma da serie infinita

sexa igual ao produto

do mesmo xeito que isto sería correcto se cada unha das dúas sumas que se multiplican posúe un número finito de termos.
En casos suficientemente ben comportados, cúmprese coa expresión anterior. Pero, e este é un punto importante, o produto de Cauchy de dúas sucesións existe aínda no caso de que unha ou ambas as dúas series infinitas correspondentes non fosen converxentes.
para todo
e
para todo
. Neste caso o produto de Cauchy de
e
é
. Polo tanto, para series finitas (que son sumas finitas), a multiplicación de Cauchy é directamente a multiplicación das series.
- Primeiro exemplo. Sexan
, sexa
e
. Entón

- por definición e pola fórmula binomial. Dado que, formalmente,
e
, demostrouse que
.
- Como o límite do produto de Cauchy de dúas series absolutamente converxentes é igual ao produto dos límites desas series (véxase abaixo), demostrouse polo tanto a fórmula
para todo 
.
- Segundo exemplo. Sexa
para todo
, temos

- logo
para todo
.
- Entón o produto de Cauchy é
e así
non é converxente.
Podemos organizar cada sumando do produto en forma de matriz cos coeficientes da combinación de elementos todos por todos:
,
desde o punto de vista desta matriz o produto de Cauchy é unha convolución discreta formada pola suma das antidiagonais:


Sexan x, y sucesións reais, Franz Mertens demostrou que se a serie
converxe a Y e a serie
converxe absolutamente a X entón o produto de Cauchy delas
converxe a XY. Non é suficiente con que ambas as series sexan condicionalmente converxentes. Por exemplo, a sucesión
xera unha serie condicionalmente converxente pero a sucesión
non converxe a 0.
Sexa
,
e .
. Entón
se se reordena. Polo tanto
. Fixando un
. Dado que
é absolutamente converxente e
é converxente entón existe un enteiro N tal que para todo
e un enteiro M tal que para todo
(dado que a serie converxe, a sucesión debe converxer a 0). Tamén, existe un enteiro L tal que se
entón
. Polo tanto,

para todos os enteiros n maiores que N, M e L. Pola definición de converxencia dunha serie
.
Se x e y son sucesións reais e
e
entón
Todo o enunciado nas seccións precedentes é aplicable ás sucesións de números complexos
. Pódese definir tamén o produto de Cauchy para series en espazos euclidianos
onde a multiplicación é o produto interno. Neste caso, verifícase que se dúas series converxen en forma absoluta entón o seu produto de Cauchy converxe en forma absoluta ao produto interno dos límites.