Potenciación

A potenciación é unha operación matemática escrita como aⁿ, na que interveñen dous números: a base a e o expoñente n. Cando n é un número natural maior que 1, a potencia aⁿ indica a multiplicación da base a por ela mesma tantas veces como indica o expoñente n, isto é,

${{a^{n}=} \atop {\ }}{{\underbrace {a\times \cdots \times a} } \atop n},$

da mesma forma que a multiplicación de n por a pode ser vista como unha suma de n sumandos iguais a a, ou sexa,

$a\times n=\underbrace {a+\cdots +a} _{n}.$

O expoñente é indicado á dereita da base, sobrescrito ou separado da base por un circunflexo. Pódese ler aⁿ como a elevado á n-ésima potencia, ou simplemente a elevado a n. Algúns expoñentes posúen nomes específicos: a² acostuma ser lido como a elevado ao cadrado e a³ como a elevado ao cubo.

A potencia aⁿ tamén pode ser definida cando n é un enteiro negativo, se a é diferente de cero. Non existe unha extensión natural para todos os valores reais de a e n, a pesar de que cando a base é un número real positivo é posible definir aⁿ para todo número real n, e mesmo para números complexos a través da función exponencial e^z. As funcións trigonométricas poden ser representadas en termos da potenciación complexa.

A potenciación tamén é usada noutras áreas, incluíndo economía, bioloxía, física e informática, con aplicacións como xuros compostos, crecemento da poboación, cinética química, comportamento de ondas e criptografía.

Definición

Gráfico da función exponencial de base 2.

As potencias son explicadas nunha serie de pasos matemática básica. Todos eses pasos baséanse na xeneralización das seguintes leis, que poden ser probadas facilmente para n e m enteiros positivos:

$a^{(n+m)}=a^{n}\ a^{m}$

$a^{(n\ m)}=(a^{n})^{m}$

Expoñente zero

Para que

$a^{n}\ a^{m}\ =a^{(n+m)},$

continúe valendo para n = 0, debemos ter:

$a^{0}=1$

Expoñentes enteiros negativos

Para que

$a^{n}\ a^{m}$ = $a^{(n+m)}$

sexa válido para n + m = 0, é necesario que elevar un número (distinto de cero) á potencia -1 produza o seu inverso.

$a^{-1}=\left({\frac {1}{a}}\right)$

Entón ese cálculo resulta:

$a^{-n}=a^{-1.n}={(a^{-1})}^{n}={\left({\frac {1}{a}}\right)}^{n}={\frac {1^{n}}{a^{n}}}={\frac {1}{a^{n}}}$

Elevar 0 a unha potencia negativa implicaría unha división por 0, quedando indefinida.

Un expoñente enteiro negativo tamén pode ser visto como unha división pola base. Logo:

$3^{-5}={\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{3}}=\left({\frac {1}{3}}\right)^{5}={\frac {1}{3^{5}}}$

Pódese probar que con esta definición $a^{(n+m)}=a^{n}\ a^{m}$ continúa verificándose para $n,m\in \mathbb {Z} .$

Expoñentes un e cero

• Calquera número elevado a "un" é igual a el mesmo.

$n^{1}=n$

• Calquera número (excepto o 0) elevado a 0 é igual a 1.

$n^{0}=n^{1}\cdot n^{-1}=n\cdot {\frac {1}{n}}=1$

Indeterminacións

Na potenciación, é posible chegar ás formas de indeterminación seguintes:

• $0^{0}$
• $0^{n},$ cando $n<0$
• $\infty ^{0}$
• $1^{\infty }$

Potencias cun expoñente que non altera o resultado

As potencias de 0 son as potencias de base 0, dadas por $0^{n}$ n>0. A matemática considera indeterminado o valor da potencia: $0^{0},$ mais as outras potencias de base 0 con expoñente positivo teñen como resultado cero.

As potencias de 1 son as potencias de base 1, dadas por $1^{n},$ sendo n pertencente aos reais. Sen importar o valor de "n", $1^{n}$ será sempre 1.

Expoñentes fraccionarios

Para que a expresión

$x^{n}\cdot x^{m}$ = $x^{(n+m)}$

sexa válida para números racionais, debemos ter:

${\sqrt[{n}]{x}}$ = $x^{\frac {1}{n}}$

Ou, de forma xenérica, para calquera expoñente fraccionario, o denominador do expoñente é o índice da raíz e o numerados é o expoñente do radicando:

${\sqrt[{b}]{x^{a}}}$ = $x^{\frac {a}{b}}$

Para que iso sexa válido independentemente da fracción usada no expoñente débese impor que x sexa un número positivo.

Expoñentes decimais

No caso de expoñente decimal, debemos transformalo en fracción e despois en raíz:

$x^{1,5}=x^{\frac {15}{10}}={\sqrt[{10}]{x^{15}}}$

Expoñentes irracionais

Como a potenciación ten a propiedade de que expoñentes próximos xeran resultados próximos, pódese definir a potenciación con expoñentes irracionais como:

$x^{\pi }\approx x^{3.14159}$

Expoñentes imaxinarios e complexos

Euler divulgou a fórmula

$e^{i.x}=cos(x)+i\cdot sen(x)$

que, coa forma equivalente $\log _{e}(\cos x+i\mathrm {sen} \,x)=ix$ xa era coñecida por Roger Cotes.

Así, usándose logaritmos, pódese definir para calquera a real e z complexo, z = x + i y:

$a^{z}=(e^{\log a})^{z}=e^{(z\cdot \log a)}=a^{x}\ (cos(y\ \log a)+i\cdot sen(y\ \log a))$

Véxase tamén

Outros artigos

• Binomio de Newton
• Raíz (matemáticas)
• Fórmula de Euler