Pendente (matemáticas)

Para outras páxinas con títulos homónimos véxase: Pendente.

Pendente dunha estrada

En matemáticas e ciencias aplicadas denomínase pendente á inclinación dun elemento linear, natural ou construtivo respecto da horizontal.

En xeometría analítica, pode referirse á pendente da recta ou coeficiente angular como caso particular da tanxente a unha curva, en cuxo caso representa a derivada da función no punto considerado, e é un parámetro relevante, por exemplo, no trazado altimétrico de estradas, vías férreas ou canais.

Ángulo de inclinación

O ángulo α, definido tal como aparece na figura, chámase ángulo de inclinación da recta respecto ao eixe OX. A tanxente trigonométrica do ángulo de inclinación $\alpha$ chámase coeficiente angular da recta e adoita designarse coa letra $k$. Nese caso

$k=\tan(\alpha )$

En realidade, o coeficiente angular e a pendente teñen o mesmo significado xeométrico. Na ecuación $y=kx+b$ que involucra o coeficiente angular e a ordenada na orixe $k$ é o coeficiente angular e $b$ a ordenada na orixe.

Pendente dunha recta

Pendente: $m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\tan(\theta )$

A pendente dunha recta nun sistema de representación rectangular (dun plano cartesiano), adoita estar representada pola letra $m$, e está definida como a diferenza no eixe Y dividido pola diferenza no eixe X para dous puntos distintos nunha recta, é dicir,

$m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$

Xeometría

Unha recta horizontal ten pendente igual a 0 (cero). Canto menor sexa o valor da pendente, menor inclinación ten a recta; por exemplo, unha recta que se eleve un ángulo de 45° con respecto ao eixe X ten pendente $m=+1$, e unha recta que caia 30° ten pendente $m=-0,5$. A pendente dunha recta vertical non está definida.

O ángulo $\theta$ que unha recta forma co eixe horizontal está relacionado coa pendente $m$ por medio da relación trigonométrica:

$m=\tan \,\theta$

ou equivalentemente:

$\theta =\arctan \,m$

Dúas ou máis rectas son paralelas se ambas posúen a mesma pendente, ou se ambas son verticais e polo tanto non teñen pendente definida; dúas ou máis rectas son perpendiculares (forman un ángulo recto entre elas) se o produto das súas pendentes é igual a -1.

Pendente das ecuacións da recta

Tres liñas rectas. As liñas vermella e azul posúen a mesma pendente (m), neste caso ½, mentres que as liñas vermella e verde intersecan o eixe y no mesmo punto, polo que posúen idéntico valor da ordenada na orixe (b), neste caso 1

Se y é unha función linear de x, entón o coeficiente de x é a pendente da recta. Polo tanto, se a ecuación está dada por

$y=mx+b\,$

m é a pendente. Nesta ecuación, o valor de $b$ pode ser interpretado como o punto en que a recta se interseca co eixe Y, é dicir, o valor de $y$ cando $x=0$. Este valor tamén se chama ordenada na orixe.

Se a pendente $m$ dunha recta e o punto $(x_{0},y_{0})$ da recta son coñecidos, entón a ecuación da recta pode ser atopada con

$y-y_{0}=m(x-x_{0})\,$

A pendente da recta na fórmula xeral:

$Ax+By+C=0\,$

está dada por:

$m=-{\frac {A}{B}}$

Propiedades

• Tendo como datos os coeficientes angulares de dúas rectas $k_{1},k_{2}$, un dos ángulos μ formados por estas dúas rectas determínase mediante a fórmula

$tan\mu ={\frac {k_{2}-k_{1}}{1+k_{1}k_{2}}}$.

• O paralelismo entre dúas rectas dáse se existe igualdade entre os seus coeficientes angulares

$k_{1}=k_{2}$.

• A perpendicularidade de dúas rectas determínase polas relacións:

$k_{1}k_{2}=-1$ o $k_{2}=-{\frac {1}{k_{1}}}$.

• Se na ecuación $y=kx+b$ se mantén constante k, variando só b, tense unha familia de rectas paralelas con coeficiente angular constante k, que cobre todo o plano, ao percorrer b todo o conxunto ℝ.

Cálculo

Representación gráfica da derivada.

O concepto de pendente é central no cálculo diferencial. A pendente dunha recta é a tanxente do ángulo que forma a recta coa dirección positiva do eixe de abscisas. En funcións non lineares, a razón de cambio varía ao longo da curva. A derivada da función nun punto dado é a pendente da recta tanxente nese punto.

Véxase tamén

Ligazóns externas

• "Slope of a Line (Coordinate Geometry)" (en inglés). Math Open Reference. 2009. Consultado o 30 de outubro de 2016.