Oscilador harmónico

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
A masa co resorte forman un oscilador harmónico.

Dise que un sistema calquera, mecánico, eléctrico, pneumático etc. é un oscilador harmónico se cando se deixa libre, fóra da súa posición de equilibrio, volve cara á posición de equilibrio facendo oscilaciones sinusoidais, ou sinusoidais amortecidas ó redor desa posición de equilibrio final.

Características[editar | editar a fonte]

O exemplo típico é o dunha masa colgada a un resorte. Cando se afasta a masa da súa posición de repouso, o resorte exerce sobre a masa unha forza que é proporcional ó desequilibrio (distancia á posición de repouso, elongación) e que está dirixida cara á posición de equilibrio. Se se solta a masa, a forza do resorte acelera a masa cara á posición de equilibrio. A medida que a masa se achega á posición de equilibrio e aumenta a súa velocidade, a enerxía potencial elástica do resorte transfórmase en enerxía cinética da masa. Cando a masa chega á súa posición de equilibrio, a forza será cero, pero como a masa está en movemento, continuará e pasará do outro lado. A forza invírtese e comeza a frear a masa. A enerxía cinética da masa vai transformándose agora en enerxía potencial do resorte. Iso dura ata que a masa para. O proceso recomeza en dirección oposta.

Se toda a enerxía cinética se transformara en enerxía potencial e viceversa, a oscilación seguiría eternamente coa mesma amplitude. Na realidade, sempre hai unha parte da enerxía que se transforma noutra forma, debido á viscosidade do aire ou porque o resorte non é perfectamente elástico. A amplitude diminúe máis ou menos lentamente. Comezaremos por tratar o caso ideal, no cal non hai perdas.

Oscilador harmónico sen perdas[editar | editar a fonte]

Sexa \scriptstyle{m} a masa e\scriptstyle{y} a distancia entre a posición da masa e a posición de equilibrio. Supoñemos que a forza do resorte é estritamente proporcional ó desequilibrio: \scriptstyle{F=-ky}. \scriptstyle{F} é a forza e \scriptstyle{k} a constante elástica do resorte. O signo negativo indica que cando \scriptstyle{y} é positiva, a forza é dirixida cara ás \scriptstyle{y} negativas.

A segunda lei de Newton di:

F=ma=m{dv\over dt}=m{d^2y\over dt^2}

substituíndo a forza temos:

 m{d^2y\over dt^2}= -ky

A solución desta ecuación diferencial é inmediata: as únicas funcións reais (non complexas) coa segunda derivada sendo a mesma función co signo invertido son seno e coseno. As dúas funcións corresponden ó mesmo movemento. Escollemos arbitrariamente "coseno". A solución escríbese:

A curva de riba dá a posición do oscilador en función do tiempo. A do medio dá a velocidade. Abaixo están as curvas das enerxías. En azul está a enerxía cinética \scriptstyle{{1\over 2}mv^2} e en vermello a enerxía potencial do resorte \scriptstyle{{1\over 2}ky^2}
y = A\cos(\omega t + \phi)\,
  • \scriptstyle{A} é a amplitude, que depende das condicións iniciais.
  • \scriptstyle{\omega=2\pi f} é a pulsación e \scriptstyle{f} a frecuencia.
  • \scriptstyle{t} é o tempo.
  • \scriptstyle{\phi} é a fase inicial (para \scriptstyle{t= 0}).

É doado comprobar que o valor de \scriptstyle{\omega} é:

\omega=\sqrt{{k\over m}}

O período de oscilación é:

T=2\pi\sqrt{{m\over k}}