Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
Para outras páxinas con títulos homónimos véxase:
Distribución .
Distribución gamma
Función de densidade
Función de distribución
Parámetros
k > 0 (forma), θ > 0 (escala)
Soporte
x
∈
(
0
,
∞
)
{\displaystyle \scriptstyle x\;\in \;(0,\,\infty )}
Función de densidade
1
Γ
(
k
)
θ
k
x
k
−
1
e
−
x
θ
{\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (k)\theta ^{k}}}x^{k\,-\,1}e^{-{\frac {x}{\theta }}}}
Función de distribución
1
Γ
(
k
)
γ
(
k
,
x
θ
)
{\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (k)}}\gamma \left(k,\,{\frac {x}{\theta }}\right)}
Media
E
[
X
]
=
k
θ
{\displaystyle \scriptstyle \mathbf {E} [X]=k\theta }
E
[
ln
X
]
=
ψ
(
k
)
+
ln
(
θ
)
{\displaystyle \scriptstyle \mathbf {E} [\ln X]=\psi (k)+\ln(\theta )}
Mediana
Moda
(
k
−
1
)
θ
for
k
≥
1
{\displaystyle \scriptstyle (k\,-\,1)\theta {\text{ for }}k\;{\geq }\;1}
Varianza
Var
[
X
]
=
k
θ
2
{\displaystyle \scriptstyle \operatorname {Var} [X]=k\theta ^{2}}
Var
[
ln
X
]
=
ψ
1
(
k
)
{\displaystyle \scriptstyle \operatorname {Var} [\ln X]=\psi _{1}(k)}
Asimetría
2
k
{\displaystyle \scriptstyle {\frac {2}{\sqrt {k}}}}
Curtose
6
k
{\displaystyle \scriptstyle {\frac {6}{k}}}
Entropía
k
+
ln
θ
+
ln
[
Γ
(
k
)
]
+
(
1
−
k
)
ψ
(
k
)
{\displaystyle \scriptstyle {\begin{aligned}\scriptstyle k&\scriptstyle \,+\,\ln \theta \,+\,\ln[\Gamma (k)]\\\scriptstyle &\scriptstyle \,+\,(1\,-\,k)\psi (k)\end{aligned}}}
F. xeradora de momentos
(
1
−
θ
t
)
−
k
for
t
<
1
θ
{\displaystyle \scriptstyle (1\,-\,\theta t)^{-k}{\text{ for }}t\;<\;{\frac {1}{\theta }}}
Func. caract.
(
1
−
θ
i
t
)
−
k
{\displaystyle \scriptstyle (1\,-\,\theta i\,t)^{-k}}
En estatística a distribución gamma é unha distribución de probabilidade continua con dous parámetros
k
{\displaystyle k}
e
λ
{\displaystyle \lambda }
cunha función de densidade para valores
x
>
0
{\displaystyle x>0}
que ten como expresión:
f
(
x
)
=
λ
e
−
λ
x
(
λ
x
)
k
−
1
Γ
(
k
)
{\displaystyle f(x)=\lambda e^{-\lambda x}{\frac {(\lambda x)^{k-1}}{\Gamma (k)}}}
onde
e
{\displaystyle e}
é o número e e
Γ
{\displaystyle \Gamma }
é a función gamma . Para valores
k
∈
N
{\displaystyle k\in \mathbb {N} }
a función gamma é
Γ
(
k
)
=
(
k
−
1
)
!
{\displaystyle \Gamma (k)=(k-1)!}
(o factorial de
k
−
1
{\displaystyle k-1}
). Neste caso, por exemplo para describir un proceso de Poisson , chámase distribución Erlang cun parámetro
θ
=
1
/
λ
{\displaystyle \theta =1/\lambda }
.
O valor esperado e a varianza dunha variable aleatoria X de distribución gamma son
E
[
X
]
=
k
/
λ
=
k
θ
{\displaystyle E[X]=k/\lambda =k\theta }
V
[
X
]
=
k
/
λ
2
=
k
θ
2
{\displaystyle V[X]=k/\lambda ^{2}=k\theta ^{2}}
O tempo ata que o suceso número
k
{\displaystyle k}
ocorre nun proceso de Poisson de intensidade
λ
{\displaystyle \lambda }
é unha variable aleatoria con distribución gamma. Iso é a suma de
k
{\displaystyle k}
variables aleatorias independentes que seguen unha distribución exponencial con parámetro
λ
{\displaystyle \lambda }
.