Conxunto limitado

Na análise matemática e áreas relacionadas das matemáticas, un conxunto chámase limitado se todos os seus puntos están a unha certa distancia entre si. Na opción contraria chámase non limitado. A palabra "limitado" non ten sentido nun espazo topolóxico xeral sen unha métrica correspondente.

A fronteira é un concepto distinto: por exemplo, un círculo illado é un conxunto limitado sen fronteira concreta, mentres que o medio plano non está limitado aínda que ten unha fronteira.

Un conxunto limitado non é necesariamente un conxunto pechado e viceversa. Por exemplo, un subconxunto S dun espazo real bidimensional R² restrinxido por dúas curvas parabólicas x² + 1 e x² - 1 definidas nun sistema de coordenadas cartesianas está pechado polas curvas mais non está limitado.

Definición nos números reais

Un conxunto S de números reais chámase limitado por arriba se existe algún número real k (non necesariamente en S) tal que k ≥ s para todos os s en S. O número k chámase límite superior de S. Os termos delimitados por abaixo e límite inferior defínense do xeito similar correspondente.

Un conxunto S está limitado se ten tanto límites superior como inferior. Polo tanto, un conxunto de números reais está limitado se está contido nun intervalo finito.

Definición nun espazo métrico

Un subconxunto S dun espazo métrico (M, d) está limitado se existe r > 0 tal que para todos os s e t en S, temos d(s, t ) < r. O espazo métrico (M, d) é un espazo métrico limitado (ou d é unha métrica limitada) se M está limitado como un subconxunto de si mesmo.

Un espazo totalmente limitado (ou pre-compacto) implica estar limitado. Para os subconxuntos de Rⁿ os dous son equivalentes.
Un espazo métrico é compacto se e só se é completo e totalmente limitado.
Un subconxunto do espazo euclidiano Rⁿ é compacto se e só se está pechado e limitado. Isto tamén se chama teorema de Heine-Borel.

Concepto de limitado en espazos vectoriais topolóxicos

Nos espazos vectoriais topolóxicos, existe unha definición diferente para conxuntos limitados que ás veces se chama espazo limitado de Von Neumann. Se a topoloxía do espazo vectorial topolóxico é inducida por unha métrica que é homoxénea, como no caso dunha métrica inducida pola norma de espazos vectoriais normados, daquela as dúas definicións coinciden.

Concepto de limitado na teoría da orde

Un conxunto de números reais está limitado se e só se ten un límite superior e inferior. Esta definición é extensible a subconxuntos de calquera conxunto parcialmente ordenado.

Un subconxunto S dun conxunto P parcialmente ordenado chámase limitado superiormente se hai un elemento k en P tal que k ≥ s para todo s en S. O elemento k chámase límite superior de S . Os conceptos de límitado inferioriormente e límite inferior defínense de xeito similar. (Consulte tamén límites superior e inferior.)

Un subconxunto S dun conxunto parcialmente ordenado P chámase limitado se ten tanto un límite superior como un inferior, ou de forma equivalente, se está contido nun intervalo.

Un poset limitado P (por si só, non como subconxunto) é aquel que ten un elemento menor e un maior. Nótese que este concepto de limitado non ten nada que ver co tamaño finito, e que un subconxunto S dun poset limitado P que ten como orde a restrición da orde en P non é necesariamente un poset limitado.

Un subconxunto S de Rⁿ está limitado con relación á distancia euclidiana se e só se limita como subconxunto de Rⁿ coa orde de cada compoñente. Non obstante, S pode estar limitado como subconxunto de Rⁿ coa orde lexicográfica, pero non en relación á distancia euclidiana.

Dise que unha clase de números ordinais non é limitada, ou é cofinal, cando se se dá calquera ordinal, sempre hai algún elemento da clase maior que el. Así, neste caso, "non limitado" non significa non limitado por si mesmo senón sen límite como unha subclase da clase de todos os números ordinais.

Notas

Véxase tamén

Bibliografía

Bartle, Robert G.; Sherbert, Donald R. (1982). Introduction to Real Analysis. New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-05944-7.
Richtmyer, Robert D. (1978). Principles of Advanced Mathematical Physics. New York: Springer. ISBN 0-387-08873-3.

Outros artigos