Cálculo sombra

En matemáticas anteriores á década de 1970, o termo cálculo sombra referíase á sorprendente semellanza entre ecuacións polinómicas aparentemente non relacionadas e certas técnicas paralelas utilizadas para "probalas". Estas técnicas foron introducidas por John Blissard e ás veces chámanse método simbólico de Blissard. Moitas veces atribúense a Édouard Lucas (ou James Joseph Sylvester), quen utilizou a técnica de forma extensiva.

Despois do 2000, o cálculo sombra refírese ao estudo das secuencias de Sheffer, incluídas as secuencias polinómicas de tipo binomial e as secuencias de Apell, pero pode abranguer técnicas de correspondencia sistemática do cálculo de diferenzas finitas.

O cálculo sombra do século XIX

O método é un procedemento de notación usado para derivar identidades que inclúen secuencias indexadas de números finxindo que os índices son expoñentes. Construído literalmente, é absurdo, mais ten éxito: as identidades derivadas mediante o cálculo sombra tamén se poden derivar correctamente mediante métodos máis complicados que poden estabelecerse literalmente sen dificultade lóxica.

Un exemplo inclúe os polinomios de Bernoulli. Considere, por exemplo, a expansión binomial ordinaria (que contén un coeficiente binomial):

$(y+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}y^{n-k}x^{k}$

e a relación notablemente semellante nos polinomios de Bernoulli:

$B_{n}(y+x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{n-k}(y)x^{k}.$

Na expansión binomial temos os expoñente e nos polinomios de Bernoulli temos as súas sombras que son os subíndices.

Compare tamén a derivada ordinaria

${\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}$

a unha relación moi semellante nos polinomios de Bernoulli:

${\frac {d}{dx}}B_{n}(x)=nB_{n-1}(x).$

Así, por exemplo, pretendendo que o subíndice n − k é un expoñente:

$B_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}b^{n-k}x^{k}=(b+x)^{n},$

e despois diferenciando, obtense o resultado desexado:

$B_{n}'(x)=n(b+x)^{n-1}=nB_{n-1}(x).$

No anterior, a variable b ten unha "sombra".

Vexa tamén a fórmula de Faulhaber .

Serie de Taylor sombra

No cálculo diferencial, a serie de Taylor dunha función é unha suma infinita de termos que se expresan en termos de derivadas da función nun único punto. É dicir, unha función real ou complexa f (x) que é infinitamente derivable en $a$ pódese escribir como:

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}$

Tamén temos relacións semellantes na teoría das diferenzas finitas. A versión sombra da serie de Taylor vén dada por unha expresión similar que inclúe as k-ésimas diferenzas $\Delta ^{k}[f]$ dunha función polinómica,

$f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\Delta ^{k}[f](a)}{k!}}(x-a)_{k}$

onde

$(x-a)_{k}=(x-a)(x-a-1)(x-a-2)\cdots (x-a-k+1)$

é o símbolo de Pochhammer usado aquí para o produto factorial descendente.

Esta serie tamén se coñece como a serie de Newton ou a expansión da diferenzas de Newton. A analoxía coa expansión de Taylor utilízase no cálculo de diferenzas finitas.

Bell e Riordan

Nas décadas de 1930 e 1940, Eric Temple Bell intentou sen éxito facer este tipo de argumento loxicamente rigoroso. O combinatorialista John Riordan no seu libro Combinatorial Identities publicado na década de 1960, utilizou este tipo de técnicas amplamente.

O cálculo sombra moderno

Outro combinatorialista, Gian-Carlo Rota, sinalou que o misterio desaparece se se considera a función linear L en polinomios en z definidos por

$L(z^{n})=B_{n}(0)=B_{n}.$

Daquela, usando a definición dos polinomios de Bernoulli e a definición e linearidade de L, pódese escribir

${\begin{aligned}B_{n}(x)&=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{n-k}x^{k}\\&=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}L\left(z^{n-k}\right)x^{k}\\&=L\left(\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}z^{n-k}x^{k}\right)\\&=L\left((z+x)^{n}\right)\end{aligned}}$

Isto permite substituír ocorrencias de $B_{n}(x)$ por $L((z+x)^{n})$, é dicir, mover o n dun subíndice a un superíndice (a operación clave do cálculo sombra). Por exemplo, agora podemos demostrar que:

${\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{n-k}(y)x^{k}&=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}L\left((z+y)^{n-k}\right)x^{k}\\&=L\left(\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}(z+y)^{n-k}x^{k}\right)\\&=L\left((z+x+y)^{n}\right)\\&=B_{n}(x+y).\end{aligned}}$

Rota afirmou máis tarde que moita da confusión era debida á falta de distinción entre tres relacións de equivalencia que ocorren con frecuencia neste tema, todas elas indicadas polo mesmo símbolo "=".

Nun artigo publicado en 1964, Rota utilizou métodos sombra para estabelecer a fórmula de recursión satisfeita polos números de Bell, que enumeran particións de conxuntos finitos.

No artigo de Roman e Rota citado a continuación, o cálculo sombra caracterízase como o estudo da álxebra sombra, definida como a álxebra de funcionais lineares no espazo vectorial de polinomios nunha variable x, cun produto L ₁ L ₂ de funcións lineares definido por

$\left\langle L_{1}L_{2}|x^{n}\right\rangle =\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\left\langle L_{1}|x^{k}\right\rangle \left\langle L_{2}|x^{n-k}\right\rangle .$

Cando as secuencias polinómicas substitúen as secuencias de números como imaxes de yⁿ baixo a correspondencia linear L, entón o método sombra é visto como un compoñente esencial da teoría xeral de polinomios especiais de Rota, e esa teoría é o cálculo sombra nalgunhas definicións máis modernas do termo. Unha pequena mostra desa teoría pódese atopar no artigo sobre secuencias polinómicas de tipo binomial. Outro é o artigo titulado Sheffer sequence.

Rota máis tarde aplicou extensamente o cálculo sombra no seu traballo con Shen para estudar as diversas propiedades combinatorias dos cumulantes.

Véxase tamén

Bibliografía

• Bell, E. T. (1938). The History of Blissard's Symbolic Method, with a Sketch of its Inventor's Life. The American Mathematical Monthly 45 (Mathematical Association of America). pp. 414–421. ISSN 0002-9890. JSTOR 2304144. doi:10.1080/00029890.1938.11990829. 
• Roman, Steven M.; Rota, Gian-Carlo (1978). The umbral calculus. Advances in Mathematics 27. pp. 95–188. ISSN 0001-8708. MR 0485417. doi:10.1016/0001-8708(78)90087-7. 
• G.-C. Rota, D. Kahaner, and A. Odlyzko, "Finite Operator Calculus," Journal of Mathematical Analysis and its Applications, vol. 42, no. 3, June 1973. Reprinted in the book with the same title, Academic Press, New York, 1975.
• Roman, Steven (1984). The umbral calculus. Pure and Applied Mathematics 111. London: Academic Press Inc. [Harcourt Brace Jovanovich Publishers]. ISBN 978-0-12-594380-2. MR 741185. . Reprinted by Dover, 2005.

Outros artigos

• Bernoulli sombra
• Diferenzas finitas
• Polinomios Pidduck
• Método simbólico

Ligazóns externas

• Weisstein, Eric W. "Umbral Calculus". MathWorld. 
• A. Di Bucchianico, D. Loeb (2000). A Selected Survey of Umbral Calculus (PDF). Electronic Journal of Combinatorics. Dynamic Surveys DS3. Arquivado dende o orixinal (PDF) o 2012-02-24. 
• Roman, S. (1982), The Theory of the Umbral Calculus, I