Saltar ao contido

Polinomios de Bernoulli

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
Polinomios de Bernoulli

En matemáticas os polinomios de Bernoulli son definidos mediante unha función xeradora exponencial, tal como se expón a continuación:

.

Aparecen no estudo de moitas funcións especiais, en particular da función zeta de Riemann e da función zeta de Hurwitz. Os números de Bernoulli (normalmente expresados como e escritos aquí con minúscula para distinguilos dos polinomios) son os termos independentes dos polinomios correspondentes, .

A identidade expón unha forma pechada da suma dos n primeiros números enteiros positivos elevados a unha potencia k,

.

Un conxunto similar de polinomios, baseado nunha función xeradora, é a familia de polinomios de Euler. Neste artigo mencionaremos propiedades e fórmulas para ambas as dúas familias.

Representacións

[editar | editar a fonte]

Funcións xeradoras exponenciais

[editar | editar a fonte]

A funcións xeradora para os polinomios de Bernoulli é

E para os polinomios de Euler é

Fórmula explícita

[editar | editar a fonte]

Para os polinomios de Bernoulli e mais Euler respectivamente, temos,

para , onde os son os números de Bernoulli, e os son os números de Euler.

Dedúcese logo que

(numeradores (secuencia A027641 na OEIS) e denominadores (secuencia A027642 na OEIS))

e

((secuencia A122045 na OEIS), tendo en conta que hai quen usa outro criterio usando só os números de índice par, ver números de Euler).

Expresión de polinomios de menor grao

[editar | editar a fonte]

Os primeiros polinomios de Bernoulli son:

.

Os primeiros polinomios de Euler son:

Propiedades dos polinomios de Bernoulli

[editar | editar a fonte]

Diferenzas

[editar | editar a fonte]

Os polinomios de Bernoulli e Euler obedecen a moitas relacións do cálculo sombra usado por Édouard Lucas, por exemplo.

Derivadas

[editar | editar a fonte]

Translacións

[editar | editar a fonte]

Simetrías

[editar | editar a fonte]

Outras propiedades

[editar | editar a fonte]

Esta última igualdade, deducida da fórmula de Faulhaber, provén da igualdade: ou, máis sinxelamente, a serie telescópica

.

Serie de Fourier

[editar | editar a fonte]

A serie de Fourier dos polinomios de Bernoulli tamén é unha serie de Dirichlet, dada polo desenvolvemento[1] :

,

válido só para cando e para cando .

Este é un caso especial da fórmula de Hurwitz.

Integrais e relacións coa función zeta de Riemann

[editar | editar a fonte]

Dúas integrais definidas que relacionan os polinomios de Bernoulli e Euler cos números de Bernoulli e Euler son: [2]

Outra integral dános [3]

e casos particulares sen a variábel onde aparecen a función zeta de Riemann

  • .
  1. Tsuneo Arakawa; Tomoyoshi Ibukiyama; Masanobu Kaneko (2014). Bernoulli Numbers and Zeta Functions. Springer. p. 61. .
  2. Takashi Agoh; Karl Dilcher (2011). "Integrals of products of Bernoulli polynomials". Journal of Mathematical Analysis and Applications 381: 10–16. doi:10.1016/j.jmaa.2011.03.061. 
  3. Elaissaoui, Lahoucine; Guennoun, Zine El Abidine (2017). "Evaluation of log-tangent integrals by series involving ζ(2n+1)". Integral Transforms and Special Functions 28 (6): 460–475. arXiv:1611.01274. doi:10.1080/10652469.2017.1312366. 

Véxase tamén

[editar | editar a fonte]

Bibliografía

[editar | editar a fonte]

Outros artigos

[editar | editar a fonte]

Ligazóns externas

[editar | editar a fonte]