Hélice (xeometría)

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
Un exemplo de hélice natural, utilizada pola videira.
Hélice

A hélice (do grego έλικας/έλιξ,hélix, espiral), é unha curva que se pode explicar como o enrolamento regular dunha recta sobre un cilindro, tendo polo tanto forma de parafuso ou espiral (máis correctamente, helicoidal).

En matemática, a hélice é descrita como unha curva no espazo tridimensional que combina un movemento de rotación arredor dun punto cun movemento de translación deste punto. As tres ecuacións a seguir definen unha hélice en coordenadas rectangulares:

x = \cos(t),\,
y = \sin(t),\,
z = t.\,

En coordenadas cilíndricas (r, θ, h), a mesma hélice é descrita por:

r = 1,\,
\theta = t,\,
h = t.\,

As hélices son importantes na bioloxía, onde o ácido desoxirribonucleico está constituído por cadeas helicoidais e moitas proteínas posúen subestruturas helicoidais, coñecidas como alfa-hélices.

Definición Matemática[editar | editar a fonte]

Toda curva con tanxentes que formen un ángulo α, constante, cunha dirección fixa do espazo recibe o nome de hélice.

Se a súa ecuación vectorial é \bar{R} = \bar{R}(s), sendo s o arco, quere dicir que existe un vector unitario \bar{a} fixo tal que para todo s verifícase \bar{T}(s)\bullet\bar{a}=\cos \alpha (constante).

Teorema de Lancret[editar | editar a fonte]

Unha caracterización das hélices vén dada polo teorema coñecido coma teorema de Lancret, que dí que é condición necesaria e suficiente para que unha curva sexa unha hélice que se verifique \frac{\kappa}{\tau}=cte, sendo tanα a constante, onde \kappa é a curvatura e \tau a torsión.

Hélices importantes[editar | editar a fonte]

Hélice cilíndrica[editar | editar a fonte]

Unha hélice cilíndrica é unha curva que corta as xeratrices dun cilindro recto cun ángulo constante. Isto quere dicir que a distancia entre dous puntos de corte consecutivos da hélice con calquera das mencionadas xeratrices (rectas paralelas ao eixo do cilindro e contidas na súa superficie externa) é unha constante da curva, independente da xeratriz ou os puntos escollidos, chamada "paso de hélice".

Expresión analítica[editar | editar a fonte]

Dende un punto de vista analítico, unha hélice cilíndrica queda definida polas seguintes expresións:

x = \rho \cos \theta \,
y = \rho \sin \theta \,
z = \tan \alpha \theta \,

O paso de hélice (o que "avanza" cando a curva dá unha volta ao redor do cilindro) é:

2\pi \tan \alpha \,

Propiedades[editar | editar a fonte]

  • A proxección da hélice sobre un plano paralelo ao eixo do cilindro é unha curva sinusoidal.
  • A xeodésica dun cilindro recto de base circular é un arco de hélice (é dicir, o camiño máis curto entre dous puntos situados na superficie dun cilindro, que non saia de dita superficie, é un anaco de hélice).

Hélice cónica[editar | editar a fonte]

Chámase hélice cónica a toda hélice situada sobre un cono.

Expresión analítica[editar | editar a fonte]

x = t \cos t\,
y = t \sin t\,
z = a t\,

Hélice esférica[editar | editar a fonte]

Chámase hélice esférica a toda hélice contida nunha esfera. Por ser hélice verificarase \frac{\kappa}{\tau}=\tan \alpha \, (constante), ou o que é o mesmo \tau = \kappa \cot \alpha \,.

Por ser unha curva esférica, a esfera osculatriz será constante, sendo dita esfera osculatriz a esfera sobre a que está situada a curva. Entón o radio da esfera osculatriz é constante. Polo tanto \frac{1}{\kappa^{2}}+\frac{\kappa^{'2}}{\kappa^{4}\tau^{2}}=a^{2} (constante).

Como \tau = \kappa \cot \alpha \,, será \frac{1}{\kappa^{2}}+\frac{\kappa^{'2}}{\kappa^{6}\cot^{2}\alpha}=a^{2}

Facendo o cambio \kappa=\frac{1}{\rho}, obtense:

\rho^{2}+\rho^{2}\rho^{'2}\tan^{2}\alpha=a^{2}\,, ou o que é o mesmo, \frac{\rho d\rho}{\sqrt{a^{2}-\rho^{2}}}\tan\alpha=ds

Integrando a igualdade anterior obtense: -\sqrt{a^{2}-\rho^{2}}\tan\alpha=s+C. Pódese facer C=0, tomando coma orixe de arcos, é dicir s = 0, o punto no que \kappa(s)=\frac{1}{a} e polo tanto \rho = a. Aceptando esta hipótese e elevando ao cadrado -\sqrt{a^{2}-\rho^{2}}\tan\alpha=s obtense a^{2}-\rho^{2}=s^{2}\cot^{2}\alpha\,. Como \rho=\frac{1}{\kappa} será:

a^{2}-\frac{1}{\kappa^{2}}=s^{2}\cot^{2}\alpha

e como \kappa=\tau\tan\alpha\, resulta a^{2}-\frac{\cot^{2}\alpha}{\tau^{2}}= s^{2}\cot^{2}\alpha, e polo tanto:

s^{2}+\frac{1}{\tau^{2}}= a^{2}\tan^{2}\alpha

As ecuacións obtidas anteriormente determinan as ecuacións intrínsecas das hélices esféricas. Despexando \kappa^{2} e \tau^{2}\, obtense:

\kappa^{2}=\frac{1}{a^{2}-s^{2}\cot^{2}\alpha} \tau^{2}=\frac{1}{a^{2}\tan^{2}\alpha-s^{2}}

No caso xeral, sen facer a particularización C=0, obtense coma ecuacións intrínsecas:

\kappa^{2}=\frac{1}{a^{2}-\left(s+C\right)^{2}\cot^{2}\alpha} \tau^{2}=\frac{1}{a^{2}\tan^{2}\alpha-\left(s+C\right)^{2}}

Véxase tamén[editar | editar a fonte]

Outros artigos[editar | editar a fonte]

Ligazóns Externas[editar | editar a fonte]