Límite matemático

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.

Nas matemáticas, o límite é un concepto que describe a tendencia dunha sucesión ou unha función, cando os parámetros desa sucesión ou función se acercan a determinado valor. No cálculo (especialmente en análise real e matemática) este concepto utilízase para definir a converxencia, continuidade, derivación, integración etc.

Límite dunha función[editar | editar a fonte]

Parámetros utilizados na definición de límite.
Artigo principal: Límite dunha función.

Definición[editar | editar a fonte]

Informalmente, dise que o límite da función f(x) é L cando x tende a p, e escríbese:

 \lim_{x\to p} \, \, f(x) = L

se se pode encontrar para cada ocasión un x suficientemente próximo de p tal que o valor de f(x) sexa tan próximo a L como se desexe. Formalmente, utilizando términos lógico-matemáticos:


   \begin{array}{l}
      \underset {x\to p}{\lim} \, \, f(x) = L \iff  \forall \varepsilon > 0 \ \ \exists \delta > 0 :     \\
      \forall x(0<|x-p|<\delta \longrightarrow |f(x)-L|<\epsilon)
   \end{array}

Esta definición denomínase frecuentemente definición épsilon-delta de límite, e lese como segue:

"para cada real ε maior que cero existe un real δ maior que cero tal que, para todo x, se a distancia entre x e p (x non é igual a p) é menor que δ, entón a distancia entre a imaxe de x e L é menor que ε unidades".

Limites dunha función de dúas ou máis variables[editar | editar a fonte]

Nas funcións de dúas ou máis variables a definición de límite é a mesma que en todas as funcións numéricas, mais nestas non sempre é fácil de calcular e moitas veces é mesmo difícil afirmar que exista ou non un límite. Unha función de dúas variables sería:

\mathbb{R}^2 \rightarrow  \mathbb{R}
\ (x,y) \longmapsto f(x,y) = z

A función de dúas variables ten dous graos de liberdade (nas funcións dunha variable só existe verdadeiramente un grao de liberdade que é a recta real, onde os valores poden ir cara a dereita, no sentido de maiores números reais, ou cara a esquerda, no sentido de menores números reais) por consecuencia é difícil achar o límite.

Ora, para que exista un valor de límite, é necesario que o independa do camiño tomado para que o(s) valor(es) da(s) variable(s) independentes sexan alcanzados. Iso pasa no caso unidimensional, cando os dous limites laterais coinciden. No caso contrario, o limite non existe.

De forma parecida, cando se ten unha función bidimensional como:

\mathbb{R}^2 \rightarrow  \mathbb{R}
\ (x,y) \longmapsto f(x,y) = xy

o limite pode comprobarse a través de varios camiños. Supoñamos que queremos verificar o límite L desta función cando tende a (0,0):

\lim_{(x,y) \to (0,0)}f(x,y) = L

Podemos aproximarnos ao valor (0,0) a través de varias posibilidades:

\lim_{x \to 0}f(x,0) = L

Neste caso, o limite L é cero

\lim_{y \to 0}f(0,y) = L

Neste caso, o limite L é tamén cero


Poderíase ficar enumerando todas as posibilidades, mais sería ocioso. No caso desta función, o limite neste punto é sempre cero.

Límite dunha sucesión[editar | editar a fonte]

 a_{n} = \begin{cases} 16 & \mbox{se } n = 0 \\ \cfrac{a_{n-1}}{2} & \mbox{se } n > 0 \end{cases}
Artigo principal: Límite dunha sucesión.

A definición do límite matemático no caso dunha sucesión é moi semellante á definición do límite dunha función cando x tende a \infty. Dicimos que a sucesión a_n tende até o seu límite a, ou que converxe ou é converxente (a a), o que denotamos como:

\lim_{n\to\infty}a_n = a

se podemos achar un número N tal que todos os termos da sucesión a a cando n crece sen cota. Formalmente:

a_n \to a \Leftrightarrow \forall\epsilon>0, \exists N>0 : \forall n\ge N, |a_n - a|<\epsilon

Propiedades dos límites[editar | editar a fonte]

Os límites cumpren as seguintes propiedades xerais, que son usadas moitas veces para simplificar o cálculo dos mesmos.

  •  \lim_{x \to a} x = \, a \,
  • Límite por escalar.
 \lim_{x \to a} kf(x) =\, k\lim_{x \to a} f(x)\, donde k es un multiplicador escalar.
  • Límite dunha suma.
 \lim_{x \to a} (f(x) + g(x)) =\, \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x)\,
  • Límite dunha resta.
 \lim_{x \to a} (f(x) - g(x)) =\, \lim_{x \to a} f(x) - \lim_{x \to a} g(x)\,
  • Límite dunha multiplicación.
 \lim_{x \to a} (f(x) \cdot g(x)) =\, \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x)\,
  • Límite dunha división.

   \underset {x \to a} {\lim} \; \frac {f(x)}{g(x)} =
   \frac 
      {\underset {x \to a} {\lim} \; f(x)}
      {\underset {x \to a} {\lim} \; g(x)}
   \quad
   \mathrm{si}\ \lim_{x \to a} g(x) \ne 0

Indeterminacións[editar | editar a fonte]

Hai límites que calculándoos directamente se obtén algunha das seguintes expresións:


\infty - \infty, \; \frac{\infty}{\infty}, \; \infty \cdot 0 , \; \frac{0}{0}, \; \infty ^0, \; 1^\infty,0^0 \,

Denomínanse indeterminacións a estas expresións, xa que non teñen solución coñecible. Nalgúns casos, simplificando as expresións iniciais ou obtendo expresións equivalentes ás iniciais pódese resolver a indeterminación e calcular o límite. Outros casos requiren do uso de outras ferramentas como poden ser desigualdades ou a regra de L'Hopital.

Un exemplo de indeterminación do tipo \textstyle \frac{0}{0} é o que se dá nestes tres casos:

\lim_{t\rightarrow 0}\frac{t}{t^2}=\frac{0}{0} \quad \xrightarrow[\mathrm{simplificando}]{}  \quad  \lim_{t\rightarrow 0}\frac{1}{t} = \infty

\lim_{t\rightarrow 0}\frac{t}{t}=\frac{0}{0} \quad \xrightarrow[\mathrm{simplificando}]{}  \quad  \lim_{t\rightarrow 0} 1 =1

\lim_{t\rightarrow 0}\frac{t^2}{t}=\frac{0}{0} \quad \xrightarrow[\mathrm{simplificando}]{}  \quad  \lim_{t\rightarrow 0} {t} = 0

Véxase tamén[editar | editar a fonte]

Outros artigos[editar | editar a fonte]

Ligazóns externas[editar | editar a fonte]