Límite matemático

Nas matemáticas, o límite é un concepto que describe a tendencia dunha sucesión ou unha función, cando os parámetros desa sucesión ou función se acercan a determinado valor. No cálculo (especialmente en análise real e matemática) este concepto utilízase para definir a converxencia, continuidade, derivación, integración etc.

Límite dunha función

Parámetros utilizados na definición de límite.

Artigo principal: Límite dunha función.

Definición

Informalmente, dise que o límite da función f(x) é L cando x tende a p, e escríbese:

$\lim _{x\to p}\,\,f(x)=L$

se se pode encontrar para cada ocasión un x suficientemente próximo de p tal que o valor de f(x) sexa tan próximo a L como se desexe. Formalmente, utilizando termos lóxico-matemáticos:

${\begin{array}{l}{\underset {x\to p}{\lim }}\,\,f(x)=L\iff \forall \varepsilon >0\ \ \exists \delta >0:\\\forall x(0<|x-p|<\delta \longrightarrow |f(x)-L|<\epsilon )\end{array}}$

Esta definición denomínase frecuentemente definición épsilon-delta de límite, e lese como segue:

"para cada real ε maior que cero existe un real δ maior que cero tal que, para todo x, se a distancia entre x e p (x non é igual a p) é menor que δ, entón a distancia entre a imaxe de x e L é menor que ε unidades".

Límites dunha función de dúas ou máis variables

Nas funcións de dúas ou máis variables a definición de límite é a mesma que en todas as funcións numéricas, mais nestas non sempre é fácil de calcular e moitas veces é mesmo difícil afirmar que exista ou non un límite. Unha función de dúas variables sería:

$\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$ $\ (x,y)\longmapsto f(x,y)=z$

A función de dúas variables ten dous graos de liberdade (nas funcións dunha variable só existe verdadeiramente un grao de liberdade que é a recta real, onde os valores poden ir cara a dereita, no sentido de maiores números reais, ou cara a esquerda, no sentido de menores números reais) por consecuencia é difícil achar o límite.

Ora, para que exista un valor de límite, é necesario que o independa do camiño tomado para que o(s) valor(es) da(s) variable(s) independentes sexan alcanzados. Iso pasa no caso unidimensional, cando os dous límites laterais coinciden. No caso contrario, o límite non existe.

De forma parecida, cando se ten unha función bidimensional como:

$\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$ $\ (x,y)\longmapsto f(x,y)=xy$

o límite pode comprobarse a través de varios camiños. Supoñamos que queremos verificar o límite L desta función cando tende a (0,0):

$\lim _{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)=L$

---

Podemos aproximarnos ao valor (0,0) a través de varias posibilidades:

$\lim _{x\to 0}f(x,0)=L$

Neste caso, o límite L é cero

$\lim _{y\to 0}f(0,y)=L$

Neste caso, o límite L é tamén cero

---

Poderíase ficar enumerando todas as posibilidades, mais sería ocioso. No caso desta función, o límite neste punto é sempre cero.

Límite dunha sucesión

$a_{n}={\begin{cases}16&{\mbox{se }}n=0\\{\cfrac {a_{n-1}}{2}}&{\mbox{se }}n>0\end{cases}}$

Artigo principal: Límite dunha sucesión.

A definición do límite matemático no caso dunha sucesión é moi semellante á definición do límite dunha función cando $x$ tende a $\infty$. Dicimos que a sucesión $a_{n}$ tende até o seu límite $a$, ou que converxe ou é converxente (a $a$), o que denotamos como:

$\lim _{n\to \infty }a_{n}=a$

se podemos achar un número $N$ tal que todos os termos da sucesión a $a$ cando $n$ crece sen cota. Formalmente:

$a_{n}\to a\Leftrightarrow$ $\forall \epsilon >0,\exists N>0:\forall n\geq N,|a_{n}-a|<\epsilon$

Propiedades dos límites

Os límites cumpren as seguintes propiedades xerais, que son usadas moitas veces para simplificar o cálculo dos mesmos.

• $\lim _{x\to a}x=\,a\,$
• Límite por escalar.

$\lim _{x\to a}kf(x)=\,k\lim _{x\to a}f(x)\,$ onde k é un multiplicador escalar.

• Límite dunha suma.

$\lim _{x\to a}(f(x)+g(x))=\,\lim _{x\to a}f(x)+\lim _{x\to a}g(x)\,$

• Límite dunha resta.

$\lim _{x\to a}(f(x)-g(x))=\,\lim _{x\to a}f(x)-\lim _{x\to a}g(x)\,$

• Límite dunha multiplicación.

$\lim _{x\to a}(f(x)\cdot g(x))=\,\lim _{x\to a}f(x)\cdot \lim _{x\to a}g(x)\,$

• Límite dunha división.

${\underset {x\to a}{\lim }}\;{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {{\underset {x\to a}{\lim }}\;f(x)}{{\underset {x\to a}{\lim }}\;g(x)}}\quad \mathrm {si} \ \lim _{x\to a}g(x)\neq 0$

Indeterminacións

Hai límites que calculándoos directamente se obtén algunha das seguintes expresións:

$\infty -\infty ,\;{\frac {\infty }{\infty }},\;\infty \cdot 0,\;{\frac {0}{0}},\;\infty ^{0},\;1^{\infty },0^{0}\,$

Denomínanse indeterminacións a estas expresións, xa que non teñen solución coñecible. Nalgúns casos, simplificando as expresións iniciais ou obtendo expresións equivalentes ás iniciais pódese resolver a indeterminación e calcular o límite. Outros casos requiren do uso doutras ferramentas como poden ser desigualdades ou a regra de l'Hopital.

Un exemplo de indeterminación do tipo $\textstyle {\frac {0}{0}}$ é o que se dá nestes tres casos:

$\lim _{t\rightarrow 0}{\frac {t}{t^{2}}}={\frac {0}{0}}\quad {\xrightarrow[{\mathrm {simplificando} }]{}}\quad \lim _{t\rightarrow 0}{\frac {1}{t}}=\infty$

$\lim _{t\rightarrow 0}{\frac {t}{t}}={\frac {0}{0}}\quad {\xrightarrow[{\mathrm {simplificando} }]{}}\quad \lim _{t\rightarrow 0}1=1$

$\lim _{t\rightarrow 0}{\frac {t^{2}}{t}}={\frac {0}{0}}\quad {\xrightarrow[{\mathrm {simplificando} }]{}}\quad \lim _{t\rightarrow 0}{t}=0$

Véxase tamén

Outros artigos

• Regra de l'Hôpital

Ligazóns externas

• Límites de funcións. Introdución (en castelán)
• Introdución do cálculo de límites (vídeo) (en castelán)
• Mathwords: Limit (en inglés)