Gradiente

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.

No cálculo vectorial, o gradiente \nabla f dun campo escalar f é un campo vectorial. O vector gradiente de f dun punto xenérico x do dominio de f, \nabla f(x), indica a dirección na cal o campo f varía máis rapidamente e o seu módulo representa o ritmo de variación de f na dirección de dito vector gradiente. O gradiente represéntase co operador diferencial nabla \nabla seguido da función (non confundir o gradiente coa diverxencia, pois esta última denótase cun punto de produto escalar entre o operador nabla e o campo). Tamén pode representarse mediante \vec{\nabla} f, ou usando a notación \operatorname{grad}(f). A xeneralización do concepto de gradiente a campos f vectoriais é o concepto de matriz xacobiana.

Se se toma como campo escalar un ao que se lle asigna a cada punto do espazo unha presión P (campo escalar de 3 variables), entón o vector gradiente nun punto xenérico do espazo indica a dirección na cal a presión muda máis rapidamente. Outro exemplo é o de considerar un mapa con liñas de nivel como campo escalar ao que lle asigna a cada parella de coordenadas latitude/lonxitude un escalar altitude (campo escalar de 2 variables). Neste caso o vector gradiente nun punto xenérico indica a dirección de máxima inclinación da superficie. Nótese que o vector gradiente será perpendicular ás liñas de contorno (liñas "equiescalares") do mapa.

Definición[editar | editar a fonte]

O gradiente defínese como o campo vectorial cunhas funcións coordenadas que son as derivadas parciais do campo escalar, isto é:


 \boldsymbol{\nabla} f(\bold{r})  = \left(\frac{\partial f(\bold{r})}{\partial x_1 }, \dots,  \frac{\partial f(\bold{r})}{\partial x_n }  \right)

Esta definición baséase en que o gradiente permite calcular facilmente as derivadas direccionais. Definindo en primeiro lugar a derivada direccional segundo un vector:


\frac{\partial \phi}{\partial \bold{n} }
\equiv \lim_{\epsilon\to 0} \frac{\phi(\bold{r}
- \epsilon \hat{\bold{n}})-\phi(\bold{r})}{\epsilon}

Unha forma equivalente de definir o gradiente é como o único vector que, multiplicado polo vector unitario, dá a derivada direccional do campo escalar:


\frac{\partial \phi}{\partial \bold{n} } = \bold{n}\cdot \boldsymbol{\nabla}\phi

Coa definición anterior, o gradiente está caracterizado de forma unívoca. O gradiente exprésase alternativamente mediante o uso do operador nabla, é dicir:


{\rm grad}\ \phi = \nabla\phi

Interpretación do gradiente[editar | editar a fonte]

De forma xeométrica o gradiente é un vector normal a unha superficie ou curva do espazo que se está a estudar, nun punto calquera, chámese (x,y), (x,y,z), (tempo, temperatura), etcétera. Algúns exemplos son:

  • Consideramos unha habitación na cal a temperatura defínese a través dun campo escalar, de tal maneira que en calquera punto (x, y, z) \,\!, a temperatura é \phi(x, y, z) \,\!. Asumiremos que a temperatura non varia con respecto ao tempo. Sendo isto así, para cada punto da habitación, o gradiente nese punto daranos a dirección na cal a temperatura aumenta máis. A magnitude do gradiente diranos a rapidez coa que se eleva a temperatura nesa dirección.
  • Consideramos unha montaña na cal a altura nun punto (x,y) se define como H(x, y). O gradiente de H nese punto atópase orientado na dirección cara á que hai un maior grao de inclinación. A magnitude do gradiente diranos o empinada que se encontra a pendente.

Propiedades[editar | editar a fonte]

  • É ortogonal ás superficies equiescalares, definidas por \phi\,\! =cte.
  • Apunta no sentido en que a derivada direccional é máxima.
  • O seu módulo é igual a esta derivada direccional máxima.
  • Anúlase nos puntos estacionarios (máximos, mínimos e puntos cadeira).
  • O campo formado polo gradiente en cada punto é sempre irrotacional, isto é,

\nabla\times(\nabla\phi) \equiv \vec{0}

Expresión en diferentes sistemas de coordenadas[editar | editar a fonte]

A partir da súa definición pode calcularse a súa expresión en diferentes sistemas de coordenadas. En coordenadas cartesianas, a súa expresión é simplemente



\nabla\phi = \frac{\partial \phi}{\partial x}\hat{x}+\frac{\partial \phi}{\partial y}\hat{y}+\frac{\partial \phi}{\partial z}\hat{z}

Nun sistema de coordenadas ortogonais, o gradiente require os factores de escala, mediante a expresión



\nabla\phi = \frac{1}{h_1}\frac{\partial \phi}{\partial q_1}\hat{q}_1
+\frac{1}{h_2}\frac{\partial \phi}{\partial q_2}\hat{q}_2+
\frac{1}{h_3}\frac{\partial \phi}{\partial q_3}\hat{q}_3

Para coordenadas cilíndricas (h_\rho=h_z=1, h_\varphi=\rho) resulta


 \nabla\phi = \frac{\partial \phi}{\partial \rho}\hat{\rho}
+\frac{1}{\rho}\frac{\partial \phi}{\partial \varphi}\hat{\varphi}+
\frac{\partial \phi}{\partial z}\hat{z}

e para coordenadas esféricas (h_r=1, h_\theta=r, h_\varphi=r {\rm sen}\theta)


   \nabla\phi = \frac{\partial \phi}{\partial r}\hat{r}
+\frac{1}{r}\frac{\partial \phi}{\partial \theta}\hat{\theta}+
\frac{1}{r\,{\rm sen}\,\theta}\frac{\partial \phi}{\partial \varphi}\hat{\varphi}

Nun sistema de coordenadas curvilíneo xeral o gradiente ten a forma:


\nabla\phi = g^{ij}\frac{\partial \phi}{\partial x^i}\hat{e}_j

onde na expresión anterior se usou o convenio de sumación de Einstein.

Gradiente dun campo vectorial[editar | editar a fonte]

Nun espazo euclídeo tridimensional, o concepto de gradiente tamén pode estenderse ao caso dun campo vectorial, sendo o gradiente de \scriptstyle \mathbf{F} un tensor que dá o diferencial do campo ao realizar un desprazamento:


 \frac{d\mathbf{F}}{d\mathbf{r}}(\mathbf{v}):=
\lim_{\mathbf{v}\to 0}
\frac{ \mathbf{F}(\mathbf{r}+\mathbf{v}) - \mathbf{F}(\mathbf{r}) }{\|\mathbf{v}\|} 
= (\nabla\mathbf{F})\cdot \mathbf{v}

Fixada unha base vectorial, este tensor poderá ser representado por unha matriz 3x3, que en coordenadas cartesianas está formada polas tres derivadas parciais das tres compoñentes do campo vectorial. O gradiente de deformación estará ben definido só se o límite anterior existe para todo \scriptstyle \mathbf{v} e é unha función continua de dito vector.

Tecnicamente o gradiente de deformación non é outra cousa que a aplicación linear da que a matriz xacobiana é a súa expresión explícita en coordenadas.

Exemplo[editar | editar a fonte]

Dada a función f(x,y,z)=2x+3y^2-\sin(z), o seu vector gradiente é:


\nabla f= \begin{pmatrix}
{\frac{\partial f}{\partial x}},  
{\frac{\partial f}{\partial y}}, 
{\frac{\partial f}{\partial z}}
\end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix}
{2}, 
{6y},
{-\cos(z)}
\end{pmatrix}.

Aplicacións[editar | editar a fonte]

Aproximación linear dunha función[editar | editar a fonte]

O gradiente dunha función f definida de RnR caracteriza a mellor aproximación linear da función nun punto particular x_0 en Rn. Exprésase así:


 g(x) = f(x_0) + (\nabla_x f(x_0))^T (x-x_0) onde \nabla_x f(x_0) é o gradiente fixado en x_0

Aplicacións en física[editar | editar a fonte]

A interpretación física do gradiente é a comentada: mide a rapidez de variación dunha magnitude física ao desprazarse unha certa distancia. Un gradiente alto significa que dun punto a outro próximo, a magnitude pode presentar variacións importantes (aquí enténdese por gradiente alto un cun módulo elevado). Un gradiente dunha magnitude pequeno ou nulo implica que dita magnitude apenas varía dun punto a outro.

O gradiente dunha magnitude física posúe innumerables aplicacións en física, especialmente en electromagnetismo e mecánica de fluídos. En particular, existen moitos campos vectoriais que poden escribirse como o gradiente dun potencial escalar.


 \bold{E} = -\boldsymbol{\nabla}\phi

  • Todo campo que poida escribirse como o gradiente dun campo escalar, denomínase potencial, conservativo ou irrotacional. Así, unha forza conservativa deriva da enerxía potencial como:


 \bold{F} = -\boldsymbol{\nabla} V

  • Os gradientes tamén aparecen nos procesos de difusión que verifican a lei de Fick ou a lei de Fourier para a temperatura. Así, por exemplo, o fluxo de calor nun material é directamente proporcional ao gradiente de temperaturas


 \bold{q} = -k \boldsymbol{\nabla}T

sendo \scriptstyle k a condutividade térmica.