Problema bovino de Arquímedes

A solución máis pequena ao problema do gando de Arquímedes con cada icona representando ao redor de 10^206 543 reses

O problema bovino de Arquímedes é un problema da análise diofantiana, o estudo de ecuacións polinómicas con solucións enteiras. Atribuído a Arquímedes, o problema implica calcular o número de reses nun rabaño de Helios, o deus sol, a partir dun determinado conxunto de restricións. O problema foi descuberto por Gotthold Ephraim Lessing nun manuscrito grego que contén un poema de 44 liñas, na Biblioteca Herzog August en Wolfenbüttel, Alemaña en 1773.

O problema permaneceu sen resolver durante varios anos, debido en parte á dificultade de calcular os enormes números implicados na solución. A solución xeral foi atopada en 1880 por Carl Ernst August Amthor (1845–1916), director do Gymnasium zum Heiligen Kreuz en Dresden, Alemaña. Usando táboas logarítmicas, calculou os primeiros díxitos da solución máis pequena, mostrando que se trata de aproximadamente $7.76\times 10^{206544}$ reses, moito máis do que podería caber no universo observable. A forma decimal é demasiado longa para que os humanos a calculen con exactitude, mais con axuda do ordenador pode escribirse de forma explícita.

Historia

En 1769, Gotthold Ephraim Lessing foi nomeado bibliotecario da Biblioteca Herzog August en Wolfenbüttel, Alemaña, que contiña moitos manuscritos gregos e latinos. Uns anos máis tarde, Lessing publicou traducións dalgúns dos manuscritos con comentarios. Entre eles había un poema grego de corenta e catro liñas, que contén un problema aritmético que pide ao lector que dea atopado o número de reses no rabaño do deus do sol. Agora atribúeselle en xeral a Arquímedes.

O problema

O problema, traducido desde a versión en inglés de Ivor Thomas, enuncia:

Se ti es dilixente e sabio, oh forasteiro, calcula o número de reses do Sol, que noutrora pastaban nos campos de Trinacia na illa de Sicilia, divididas en catro rabaños de cores diferentes, un branco como o leite, outro brillante negro, un terceiro amareliño e o último con pintiñas. En cada rabaño había bois, en grande número segundo estas proporcións: entende, forasteiro, que os bois brancos equivalían á metade e un terzo dos negros xunto con todos os amarelos, mentres que os negros eran igual á cuarta parte e a maiores un quinto dos pintos, xunto con, mais unha vez, tódolos amarelos. Observe tamén que os restantes bois, os pintos, equivalían a unha sexta parte e unha sétima dos brancos e unha, xunto coa totalidade dos amarelos. Estas eran as proporcións das vaquiñas: as brancas eran precisamente as mesmas que a terceira parte e a cuarta parte de todo o gando de negra cor; mentres que as negras igualaban a cuarta parte e unha quinta parte dos pintos, mais unha vez, canda todos, incluídos os bois, foron xuntos a pastar. Agora os pintos en catro partes eran igual en número a unha quinta parte e a sexta parte do rabaño dos amarelos. Finalmente os amarelos foron en número igual a unha sexta parte e unha sétima do rabaño branco. Se puideses dicir con exactitude, ou descoñecido, o número de reses do Sol, dando por separado o número de bois ben alimentados e outra vez o número de femias segundo cada cor, non te chamarías inexperto ou ignorante dos números, mais aínda non serás contado entre os sabios. Mais prosiga e entenda tamén todas estas condicións que sabemos do gando do Sol. Cando os bois brancos mesturaban o seu número cos negros, mantivéronse firmes, iguais en profundidade e anchura, e as chairas de Trinacia, que se estendían acolá en todos os sentidos, enchéronse da súa multitude. Unha vez máis, cando os bois amareliños e pintos foron reunidos nun rabaño, puxéronse de tal xeito que o seu número, comezando por un, foi aumentando lentamente ata completar unha figura triangular, sen haber nin bois doutras cores no medio nin faltar ningún deles. Se podes, forasteiro, descubrir todas estas cousas e amecidas na túa mente, dando todas as relacións, marcharás coroado de gloria e sabendo que te xulgaron perfecto nesta especie de sabedoría.

A solución

A primeira parte do problema pódese resolver facilmente configurando un sistema de ecuacións. Se o número de bois brancos, negros, pintos e amarelos se escriben como $W,B,D,$ e $Y$, e o número de vacas brancas, negras, pintas e amarelas están escritas como $w,b,d,$ e $y$, o problema é simplemente procurar unha solución para

${\begin{aligned}W&={\frac {5}{6}}B+Y,\\B&={\frac {9}{20}}D+Y,\\D&={\frac {13}{42}}W+Y,\\w&={\frac {7}{12}}(B+b),\\b&={\frac {9}{20}}(D+d),\\d&={\frac {11}{30}}(Y+y),\\y&={\frac {13}{42}}(W+w),\end{aligned}}$

que é un sistema de sete ecuacións con oito incógnitas. É indeterminado e ten infinitas solucións. Os números enteiros máis pequenos positivos que satisfan as sete ecuacións son

${\begin{aligned}B&=7\,460\,514=4657\times 1602,\\W&=10\,366\,482=4657\times 2226,\\D&=7\,358\,060=4657\times 1580,\\Y&=4\,149\,387=4657\times 891,\\b&=4\,893\,246,\\w&=7\,206\,360,\\d&=3\,515\,820,\\y&=5\,439\,213,\end{aligned}}$

o que fai un total de 50389082 reses, e as outras solucións son múltiplos enteiros destas. Teña en conta que dado o número primo $p=4657$ os catro primeiros números son múltiplos de p, e tanto p como p+1 aparecerán repetidamente a continuación.

A segunda parte do problema indica que $W+B$ é un número cadrado, e $Y+D$ é un número triangular. A solución xeral a esta parte do problema foi atopada por primeira vez por A. Amthor en 1880. A seguinte versión foi descrita por H. W. Lenstra, baseándose na ecuación de Pell, a solución dada anteriormente para a primeira parte do problema debe ser multiplicada por

$n={\frac {(w^{4658j}-w^{-4658j})^{2}}{(4657)(79072)}},$

onde j é calquera número enteiro positivo e

$w=300\,426\,607\,914\,281\,713\,365{\sqrt {609}}+84\,129\,507\,677\,858\,393\,258{\sqrt {7766}},$

De forma equivalente, o cadrado de w resulta

$w^{2}=u+v{\sqrt {(609)(7766)}},$

onde $(u,v)$ é a solución fundamental da ecuación de Pell

$u^{2}-(609)(7766)v^{2}=1.$

O tamaño do rabaño máis pequeno que podería satisfacer tanto a primeira como a segunda parte do problema vén dado por j = 1 sendo aproximadamente $7.76\times 10^{206\,544}$ (resolvido por primeira vez por Amthor). Os ordenadores modernos poden imprimir facilmente todos os díxitos da resposta. Isto fíxose por primeira vez na Universidade de Waterloo, en 1965 por Hugh C. Williams, R. A. German, e Charles Robert Zarnke. Usaron unha combinación dos ordenadores IBM 7040 e IBM 1620.

A ecuación de Pell

As restricións da segunda parte do problema son sinxelas e pódese dar facilmente a ecuación de Pell que se debe resolver. En primeiro lugar, pídese que B + W debe ser un cadrado, ou usando os valores indicados anteriormente,

$B+W=7\,460\,514\,k+10\,366\,482\,k=(2^{2})(3)(11)(29)(4657)k,$

polo tanto, deberíamos ter k = (3)(11)(29)(4657)q² para algún número enteiro q. Iso resolve a primeira condición. Para a segunda, esixe que D + Y sexa un número triangular:

$D+Y={\frac {t^{2}+t}{2}}.$

Resolvendo para t ,

$t={\frac {-1\pm {\sqrt {1+8(D+Y)}}}{2}}.$

Substituír o valor de D + Y e k e atopar un valor de q² tal que o discriminante desta cuadrática sexa un cadrado perfecto p² implica resolver a seguinte ecuación de Pell

$p^{2}-(2^{2})(609)(7766)(4657^{2})q^{2}=1.$

A aproximación de Amthor discutida na sección anterior foi esencialmente atopar o máis pequeno $v$ tal que ten unha división exacta por $2\times 4657$. A solución fundamental desta ecuación ten máis de 100.000 díxitos.

Véxase tamén

Bibliografía

• Bell, A. H. (1895). The "Cattle Problem." By Archimedies 251 B. C. The American Mathematical Monthly 2 (Mathematical Association of America). pp. 140–141. JSTOR 2968125. doi:10.2307/2968125. 
• Dörrie, Heinrich (1965). "Archimedes' Problema Bovinum". 100 Great Problems of Elementary Mathematics. Dover Publications. pp. 3–7. 
• Williams, H. C.; German, R. A.; Zarnke, C. R. (1965). "Solution of the Cattle Problem of Archimedes". Mathematics of Computation (American Mathematical Society) 19 (92): 671–674. JSTOR 2003954. doi:10.2307/2003954. 
• Vardi, I. (1998). "Archimedes' Cattle Problem". American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America) 105 (4): 305–319. JSTOR 2589706. doi:10.2307/2589706. 
• Benson, G. (2014). "Archimedes the Poet: Generic Innovation and Mathematical Fantasy in the Cattle Problem". Arethusa (Johns Hopkins University Press) 47 (2): 169–196. doi:10.1353/are.2014.0008. 

Ligazóns externas

• (secuencia A096151 na OEIS) Expansión decimal dos 206545 dígitos da solución ao problema bovino de Arquímedes}}
• Alex Bellos. "Holy Cow that's a Big Number". YouTube. Brady Haran. Arquivado dende o orixinal (video) o 2021-12-19. Consultado o 25 November 2019. 

• Blog Retallos, O problema bovino de Arquímedes. O problema histórico das vacas de Galicia [1]