Lei de Biot–Savart

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
Ilustración da ecuación de Biot-Savart.

A lei de Biot-Savart indica o campo magnético creado por correntes eléctricas estacionarias.

No caso das correntes que circulan por circuítos filiformes (ou pechados), a contribución dun elemento infinitesimal de lonxitude d\vec l do circuíto percorrido por unha corrente I \, crea unha contribución elemental de campo magnético, d\vec B, no punto situado na posición que apunta o vector \vec Ur a unha distancia r respecto de d\vec l, que apunta en dirección á corrente I:

 d\vec B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I d\vec l \times \hat{r}}{r^2}

onde \mu_0 é a permeabilidade magnética do baleiro, e \hat{r} é un vector unitario.

No caso de correntes distribuídas en volumes, a contribución de cada elemento de volume da distribución vén dado por:

 d\vec B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{\vec J \times \vec R}{r^3} dv

onde  \vec{J} é a densidade de corrente no elemento de volume  dv \, e  \vec{R} é a posición relativa do punto no que queremos calcular o campo, respecto do elemento de volume en cuestión.

En ambos casos, o campo final resulta de aplicar o principio de superposición a través da expresión

 \vec B = \int d\vec{B}

Na que a integral se estende a todo o recinto que contén as fontes do campo.

A lei de Biot-Savart é fundamental en magnetostática tanto como a lei de Coulomb o é en electrostática.[1]


Lei de Biot-Savart xeneralizada[editar | editar a fonte]

Nunha aproximación magnetostática, o campo magnético pode ser determinado se se coñece a densidade de corrente j:

\mathbf{B}= K_m\int{\frac{\mathbf{j} \times \mathbf{\hat r}}{r^2}dV}

onde:

 \ dV é o elemento diferencial de volume.
K_m = \frac{\mu_0}{4\pi} é a constante magnética.

Diverxencia e rotacional de  \vec B a partir da lei de Biot e Savart[editar | editar a fonte]

A diverxencia e rotacional dun campo magnético estacionario pode calcularse por simple aplicación de tales operadores á lei de Biot e Savart.

Diverxencia[editar | editar a fonte]

Aplicando o operador gradiente á expresión temos:


\nabla \cdot \vec B=\frac {\mu_0}{4\pi}\int_V \nabla\cdot(\vec J \times \frac{\hat r}{r^2})dV'

Dado que a diverxencia se aplica nun punto de avaliación do campo independente da integración de  \vec J en todo o volume, o operador non afecta a  \vec J . Aplicando a correspondente identidade vectorial:


\nabla \cdot \vec B=-\frac {\mu_0}{4\pi}\int_V \vec J \cdot (\nabla \times (\nabla\cdot\frac{1}{r}))dV'

Dado que:


(\nabla \times (\nabla\cdot\frac{1}{r}))=0

Temos:


\nabla\cdot\vec B=0

Rotacional[editar | editar a fonte]

Aplicando o operador rotacional temos:


\nabla \times \vec B=\frac {\mu_0}{4\pi}\int_V \nabla\times(\vec J \times \frac{\hat r}{r^2})dV'

Ao igual que ocorría na diverxencia, o operador non afecta a  \vec J xa que as súas coordenadas son as do dominio de integración e non as do punto de avaliación do rotacional. Aplicando a correspondente identidade vectorial e coñecendo que  \nabla\cdot\frac{\hat r}{r^2}=4\pi\cdot\delta (r)


\nabla \times \vec B=\frac {\mu_0}{4\pi}\int_V \vec J \cdot(\nabla\cdot \frac{\hat r}{r^2})dV'=\mu_0\int_V \vec J\cdot\delta (r) \cdot dV'

Realizando a integración obtemos finalmente:


\nabla \times \vec B=\mu_0\cdot\vec J

Nótese que o resultado anterior só é válido para campos magnéticos estacionarios. Se o campo magnético non fose estacionario aparecería á parte o termo debido á corrente de desprazamento.

Motivación histórica[editar | editar a fonte]

Ilustración esquemática do experimento de Oersted.

Xa no século XVII había, dentro da comunidade científica, a sospeita de que fenómenos eléctricos e magnéticos puidesen estar relacionados. Iso motivou o físico Hans Christian Oersted a facer experimentos para observar o efecto da electricidade nunha agulla magnética. Entre 1819 e 1820, Oersted observou que ao pór un fío condutor dun circuíto eléctrico fechado paralelamente a unha agulla, esta sufría unha deflexión significativa en relación á súa dirección inicial. Oersted publicou os resultados do seu experimento en xullo de 1820, limitándose a unha descrición cualitativa do fenómeno.

O descubrimento de Oersted foi divulgado en setembro de 1820 na Academia Francesa, o que motivou diversos estudosos de Francia a repetir e estender os seus experimentos. A primeira análise precisa do fenómeno foi publicada polos físicos Jean-Baptiste Biot e Félix Savart, os cales conseguiron formular unha lei que describía matematicamente o campo magnético producido por unha distribución de corrente eléctrica.[2]

Notas[editar | editar a fonte]

  1. Feynman et al. The Feynman Lectures on Physics vol. 2, 2ª ed., editora Bookman, 2008.
  2. Whittaker, E. T, A History of the Theories of Aether and Electricity, 1910.