Función racional

En matemáticas, unha función racional é calquera función que se pode definir mediante unha fracción racional, onde tanto o numerador como o denominador son polinomios. Os coeficientes dos polinomios non necesitan ser números racionais; poden tomarse en calquera corpo $K$ . Neste caso, fálase dunha función racional e dunha fracción racional sobre $K$ . Os valores das variables pódense tomar en calquera corpo $L$ que conteña $K$ . Logo, o dominio da función é o conxunto dos valores das variables para as que o denominador non é cero, e o codominio é $L$ .

O conxunto de funcións racionais sobre un corpo $K$ é un corpo, o corpo de fraccións do anel das funcións polinómicas sobre $K$ .

Definicións

Unha función $f$ chámase función racional se se pode escribir na forma

f(x)={\frac {P(x)}{Q(x)}}

onde $P$ e $Q$ son funcións polinómicas de $x$ e $Q$ non é a función cero. O dominio de $f$ é o conxunto de todos os valores de $x$ para o que o denominador $Q(x)$ non é cero.

Unha función racional propia é unha función racional na que o grao de $P(x)$ é menor que o grao de $Q(x)$ e ambos os dous son polinomios reais, chamados así por analoxía a unha fracción propia en $\mathbb {Q} .$

Grao

O grao dunha función racional é o máximo dos graos dos seus polinomios constituíntes $P$ e $Q$ , cando a fracción se reduce aos termos máis simplificados. Se o grao de $f$ é $d$ , entón a ecuación

f(z)=w

ten $d$ solucións distintas en $z$ agás certos valores de $w$ , chamados valores críticos, onde coinciden dúas ou máis solucións ou onde algunha solución vai para o infinito.

No caso de coeficientes complexos, unha función racional de grao un é unha transformación de Möbius.

Nalgúns contextos, como na análise asintótica, o grao dunha función racional é a diferenza entre os graos do numerador e do denominador.^[1]^(§13.6.1)^[2]^{(Chapter IV)}

Exemplos

Examplos de funcións racionais

Función racional de grao 3, con gráfica de grao 3:

y={\frac {x^{3}-2x}{2(x^{2}-5)}}

Función racional de grao 2, con gráfica de grao 3:

y={\frac {x^{2}-3x-2}{x^{2}-4}}

A función racional

f(x)={\frac {x^{3}-2x}{2(x^{2}-5)}}

non está definida en

x^{2}=5\Leftrightarrow x=\pm {\sqrt {5}}.

É asintótica a

{\tfrac {x}{2}}

cando

x\to \infty .

A función racional

f(x)={\frac {x^{2}+2}{x^{2}+1}}

está definida para todos os números reais, mais non a está para todos os números complexos, xa que se x fose unha raíz cadrada de $-1$ (é dicir, a unidade imaxinaria ou a súa negativa), daquela a avaliación formal levaría á división por cero:

f(i)={\frac {i^{2}+2}{i^{2}+1}}={\frac {-1+2}{-1+1}}={\frac {1}{0}},

que está indefinido.

Unha función constante como $f (x) = π$ é unha función racional xa que as constantes son polinomios. A función en si é racional, aínda que o valor de $f (x)$ sexa irracional para todo $x$ .

Toda función polinómica $f(x)=P(x)$ é unha función racional con $Q(x)=1.$ Unha función que non se pode escribir desta forma, como $f(x)=\sin(x),$ non é unha función racional. Non obstante, o adxectivo "irracional" non se usa xeralmente para as funcións.

Serie de Taylor

Os coeficientes dunha serie de Taylor de calquera función racional satisfán unha relación de recorrencia linear, que se pode atopar igualando a función racional a unha serie de Taylor con coeficientes indeterminados e xuntando termos do mesmo grao despois de eliminar o denominador.

Por exemplo,

{\frac {1}{x^{2}-x+2}}=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}.

Multiplicando polo denominador e distribuíndo,

1=(x^{2}-x+2)\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}

1=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k+2}-\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k+1}+2\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}.

Despois de axustar os índices das sumas para obter as mesmas potencias de x, obtemos

1=\sum _{k=2}^{\infty }a_{k-2}x^{k}-\sum _{k=1}^{\infty }a_{k-1}x^{k}+2\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}.

A combinación de termos do mesmo grao dá

1=2a_{0}+(2a_{1}-a_{0})x+\sum _{k=2}^{\infty }(a_{k-2}-a_{k-1}+2a_{k})x^{k}.

Dado que isto vale para todo x no raio de converxencia da serie de Taylor orixinal, podemos calcular do seguinte xeito. Dado que o termo constante da esquerda debe ser igual ao termo constante da dereita, segue que

a_{0}={\frac {1}{2}}.

Entón, como non hai potencias de x á esquerda, todos os coeficientes da dereita deben ser cero, polo que se segue que

a_{1}={\frac {1}{4}}

a_{k}={\frac {1}{2}}(a_{k-1}-a_{k-2})\quad {\text{for}}\ k\geq 2.

No outro sentido, calquera secuencia que satisfaga unha recorrencia linear determina unha función racional cando se usa como coeficientes dunha serie de Taylor. Isto é útil para resolver esas recorrencias, xa que mediante a descomposición en fraccións simples podemos escribir calquera función racional propia como unha suma de factores da forma 1 / (ax + b) e expandir estes como series xeométricas, dando unha fórmula explícita para os coeficientes de Taylor; este é o método usado nas funcións xeradoras.

Álxebra abstracta e noción xeométrica

Na álxebra abstracta o concepto de polinomio esténdese para incluír expresións formais nas que os coeficientes do polinomio poden ser tomados de calquera corpo. Neste escenario, dado un corpo F e algún X indeterminado, unha expresión racional (tamén coñecida como fracción racional ou, en xeometría alxébrica, función racional) é calquera elemento do corpo de fraccións do anel polinómico F[X]. Calquera expresión racional pódese escribir como o cociente de dous polinomios P / Q con Q ≠ 0, aínda que esta representación non é única. P / Q é equivalente a R / S, para polinomios P, Q, R e S, cando PS = QR . Non obstante, dado que F[X] é un dominio de factorización único, hai unha representación única para calquera expresión racional P / Q con polinomios P e Q de grao máis baixo e Q escollido para ser mónico. Isto é semellante ao que acontece nunha fracción de números enteiros, sempre se pode escribir de forma única en termos máis baixos ao cancelar os factores comúns.

O corpo de expresións racionais denótase F(X). Dise que este corpo é xerado (como un corpo) sobre F por (un elemento transcendental) X, porque F(X) non contén ningún subcorpo propio que conteña tanto F como o elemento X.

Funcións racionais complexas

Conxuntos de Julia para mapas racionais
${\frac {1}{az^{5}+z^{3}+bz}}$
${\frac {1}{z^{3}+z(-3-3i)}}$
${\frac {z^{2}-0.2+0.7i}{z^{2}+0.917}}$
${\frac {z^{2}}{z^{9}-z+0.025}}$

Na análise complexa, unha función racional

f(z)={\frac {P(z)}{Q(z)}}

é a razón de dous polinomios con coeficientes complexos, onde $Q$ non é o polinomio cero e $P$ e $Q$ non teñen ningún factor común (isto evita que $f$ tome o valor indeterminado 0/0).

As funcións racionais son exemplos representativos de funcións meromorfas .

Noción dunha función racional nunha variedade alxébrica

En xeometría alxébrica úsase unha versión estendida da idea abstracta da función racional. Alí o corpo de funcións dunha variedade alxébrica V fórmase como o corpo de fraccións do anel de coordenadas de V (con máis precisión, dun conxunto aberto afín de Zariski denso en V). Os seus elementos f considéranse funcións regulares no sentido da xeometría alxébrica en conxuntos abertos non baleiros U, e tamén se poden ver como morfismos á liña proxectiva.

Notas

↑ Bourles, Henri (2010). Linear Systems. Wiley. p. 515. ISBN 978-1-84821-162-9. doi:10.1002/9781118619988. Consultado o 5 November 2022.
↑ Bourbaki, N. (1990). Algebra II. Springer. p. A.IV.20. ISBN 3-540-19375-8.

Véxase tamén

Bibliografía

"Rational function". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press. 2001 [1994].
Press, W.H.; Teukolsky, S.A.; Vetterling, W.T.; Flannery, B.P. (2007). "Section 3.4. Rational Function Interpolation and Extrapolation". Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8. ^{[Ligazón morta]}

Outros artigos

Ligazóns externas

Dynamic visualization of rational functions with JSXGraph

[1] Bourles, Henri (2010). Linear Systems. Wiley. p. 515. ISBN 978-1-84821-162-9. doi:10.1002/9781118619988. Consultado o 5 November 2022.

[2] Bourbaki, N. (1990). Algebra II. Springer. p. A.IV.20. ISBN 3-540-19375-8.

[1]

[2]