Descomposición en fraccións simples

O método de descomposición en fraccións simples consiste en descompor un cociente de polinomios nunha suma de fraccións de polinomios de menor grao. Utilízase principalmente en cálculo integral. Para aplicar os métodos explicados no artigo o grao do polinomio do denominador $g(x)$ debe ser estritamente maior que o do numerador $f(x)$, en caso contrario deberíamos aplicar antes unha división de polinomios para obter un numerador con grao menor: $${\frac {f(x)}{g(x)}}=p(x)+{\frac {f_{1}(x)}{g(x)}}$$, onde $f_{1}(x)$ sería de grao menor a $g(x)$.

Características

Para maior claridade, sexa:

${\frac {A(x)}{B(x)}}={\frac {a_{m}x^{m}+a_{m-1}x^{m-1}+...+a_{1}x+a_{0}}{b_{n}x^{n}+b_{n-1}x^{n-1}+...+b_{1}x+b_{0}}}$

onde $m<n$. Para reducir a expresión a fraccións parciais débese expresar a función $B(x)$ da forma:

$B(x)=(x+a_{n})(x+a_{n-1})...(x+a_{1})(x+a_{0})\,$

ou

$B(x)=(a_{n}x^{2}+b_{n}x+c_{n})(a_{n-1}x^{2}+b_{n-1}x+c_{n-1})...(a_{1}x^{2}+b_{1}x+c_{1})(a_{0}x^{2}+b_{0}x+c_{0})\,$

é dicir, como o produto de factores lineares ou cadráticos.

Casos

Distínguense 4 casos:

Factores lineares distintos

Onde ningún par de factores é idéntico.

${\frac {A_{1}}{(x+a_{1})}}+{\frac {A_{2}}{(x+a_{2})}}+...+{\frac {A_{n}}{(x+a_{n})}}$

Onde $A_{1},A_{2},...,A_{n}\,$ son constantes a determinar, e ningún denominador anúlase.

Factores lineares repetidos

Onde os pares de factores son idénticos.

${\frac {A_{1}}{(x+a_{1})}}+{\frac {A_{2}}{(x+a_{1})^{2}}}+...+{\frac {A_{n}}{(x+a_{1})^{n}}}$

Onde $A_{1},A_{2},...,A_{n}\,$ son constantes a determinar, e ningún denominador anúlase.

Factores cadráticos distintos

Onde ningún par de factores é igual.

${\frac {A_{1}x+B_{1}}{(a_{1}x^{2}+b_{1}x+c_{1})}}+{\frac {A_{2}x+B_{2}}{(a_{2}x^{2}+b_{2}x+c_{2})}}+...+{\frac {A_{n}x+B_{n}}{(a_{n}x^{2}+b_{n}x+c_{n})}}$

Onde $A_{1},B_{1},A_{2},B_{2},...,A_{n},B_{n}\,$ son constantes a determinar, e ningún denominador anúlase.

Factores cadráticos repetidos

${\frac {A_{1}x+B_{1}}{(a_{1}x^{2}+b_{1}x+c_{1})}}+{\frac {A_{2}x+B_{2}}{(a_{1}x^{2}+b_{1}x+c_{1})^{2}}}+...+{\frac {A_{n}x+B_{n}}{(a_{1}x^{2}+b_{1}x+c_{1})^{n}}}$

Onde $A_{1},B_{1},A_{2},B_{2},...,A_{n},B_{n}\,$ son constantes a determinar, e ningún denominador anúlase.

Cómputo das constantes

Para achar as constantes, no caso de factores lineares distintos pódese utilizar a seguinte fórmula:

$A_{k}=\left[{\frac {A(x)}{B(x)}}(x+a_{k})\right]_{x=-a_{k}}$

onde $k=(1,2,...,n)$.

Para os outros casos non existe unha formulación específica. Con todo, estes pódense resolver simplificando e formando un sistema de ecuacións con cada unha das $A_{k}$.

Exemplo 1

Sexa ${\frac {x+3}{(x+1)(x+2)}}$.

Pódese descompor en ${\frac {x+3}{(x+1)(x+2)}}={\frac {a}{x+1}}+{\frac {b}{x+2}}$.

Necesitamos atopar os valores a e b.

O primeiro paso é desfacernos do denominador, o que nos leva a:

${\frac {x+3}{(x+1)(x+2)}}={\frac {a(x+2)+b(x+1)}{(x+1)(x+2)}}$

Simplificando

$x+3=a(x+2)+b(x+1)$.

O seguinte paso é asignar valores a x, para obter un sistema de ecuacións, e deste xeito calcular os valores a e b.

Porén, podemos facer algunhas simplificacións asignando

${\begin{array}{rlr}x&=-2&\;{\mbox{o que produce}}\\-2+3&=a(-2+2)+b(-2+1)&\;calculando\\1&=-b&\;{\mbox{ é decir}}\\b&=-1\end{array}}$.

Para o caso de a observamos que $x=-1$ facilita o proceso

${\begin{array}{rlr}x&=-1&{}\\-1+3&=a(-1+2)+b(-1+1)&{}\\2&=a&{}\\a&=2&{}\end{array}}$

Sendo o resultado

${\frac {x+3}{(x+1)(x+2)}}={\frac {2}{x+1}}+{\frac {-1}{x+2}}$.

Exemplo 2

Sexa ${\frac {x^{2}+3x+1}{(x+1)^{3}}}$.

Pódese descompor desta maneira

${\frac {a}{x+1}}+{\frac {b}{(x+1)^{2}}}+{\frac {c}{(x+1)^{3}}}$

multiplicando por $(x+1)^{3}$, temos:

${\frac {(x^{2}+3x+1)(x+1)^{3}}{(x+1)^{3}}}={\frac {a(x+1)^{3}}{x+1}}+{\frac {b(x+1)^{3}}{(x+1)^{2}}}+{\frac {c(x+1)^{3}}{(x+1)^{3}}}$.

Simplificando

$x^{2}+3x+1=a(x+1)^{2}+b(x+1)+c$.

Procedemos a asignar valores a x, para formar un sistema de ecuacións.

${\begin{array}{lrclr}{\text{Sexa}}&x&=&0&{\mbox{resulta en}}\\{}&1&=&a+b+c&{}\\{\text{Sexa}}&x&=&1&{}\\{}&5&=&4a+2b+c&{}\\{\text{Sexa}}&x&=&-1&{}\\{}&-1&=&0+0+c&{}\end{array}}$

Resolvendo o sistema de ecuacións, temos finalmente

${\frac {x^{2}+3x+1}{(x+1)^{3}}}={\frac {1}{x+1}}+{\frac {1}{(x+1)^{2}}}+{\frac {-1}{(x+1)^{3}}}$.

Exemplo 3

Temos ${\frac {1}{x(x^{2}+1)}}$ que se pode converter en ${\frac {a}{x}}+{\frac {bx+c}{x^{2}+1}}$.

Multiplicamos por $x(x^{2}+1)$ temos:

${\frac {x(x^{2}+1)}{x(x^{2}+1)}}={\frac {ax(x^{2}+1)}{x}}+{\frac {(bx+c)x(x^{2}+1)}{x^{2}+1}}$.

Simplificando,

$1=a(x^{2}+1)+(bx+c)x$.

Agora podemos asignar valores a x

${\begin{array}{lrcl}{\text{Se}}&x&=&0\\{}&1&=&a\\{\text{Se}}&x&=&1\\{}&1&=&2a+(b+c)\cdot 1\\{}&1&=&2\cdot 1+b+c\\{}&-1&=&b+c\\{\text{Se}}&x&=&-1\\{}&1&=&2a+(-b+c)\cdot -1\\{}&-1&=&b-c\end{array}}$

Resolvendo o sistema, resulta $a=1\;b=-1\;c=0$

E o problema resólvese desta maneira

${\frac {1}{x(x^{2}+1)}}={\frac {1}{x}}+{\frac {-x}{x^{2}+1}}$.

Véxase tamén

Outros artigos

• Integral.

Ligazóns externas

• Weisstein, Eric W. "Partial Fraction Decomposition". MathWorld.