Diferenzas entre revisións de «Teoría das categorías»

Saltar ata a navegación Saltar á procura
Arranxos
(Arranxos)
A '''teoría das categorías''' é unha teoría [[Matemáticas|matemática]] que trata de forma abstracta das estruturas matemáticas e das relacións entre elas. A teoría das categorías foi por descrita por primeira vez por Samuel Eilenberg e Saunders MacLane en [[1945]], como unha teoría relacionada con [[topoloxía alxébrica]].
 
A teoría supón unha xeneralización da [[Teoríateoría de conxuntos|teoría dos conxuntos.]]. Nela estúdanse [[Objetoobxecto (teoriateoría das categoriascategorías)|obxectos]] e [[Morfismo (teoriateoría das categoriascategorías)|morfismos]] entre estes. Estes obxectos poden ser entendidos como conxuntos estruturados e os morfismos (tamén chamados ''frechas'') como [[Función|funciónsfunción]]s entre estes [[Conxunto|conxuntosconxunto]]s, aínda que, nos casos máis xerais de categorías, este paralelismo non poida facerse.
 
A teoría das categorías pode ser entendida como un "xogo de frechas", en que se abstrae o significado das construcións.
Fornece unha descrición abstracta de problemas das matemáticas, constituíndo entón nunha contorna consistente e unificada para o estudo de diversas áreas das matemáticas. A capacidade de xeneralización, abstracción e unificación de teorías é o gran mérito de teoría das categorías.
 
Así, proporciona mecanismos para representar varias estruturas matemáticas, como por exemplo transformacións naturais, [[Produto cartesiano|produtos cartesianos]], [[Función|funciónsfunción]]s, [[Topoloxía|topologiastopoloxía]]s etc.
 
As aplicacións da teoría das categorías esténdense por áreas como a [[álxebra]], a [[Teoria da computação|teoría da recursividade]], a [[Semântica formal|semántica formal]] etc.
 
== Composición ==
A única operación esixida nunha categoría é a ''composición.'' A composición en categorías é unha xeneralización da [[composición de funcións]] da [[Teoríateoría de conxuntos|teoría dos conxuntos]].
 
Na teoría dos conxuntos, dadas dúas funcións <math /> ( que tendo como dominio o conxunto <math /> e como codominio o conxunto <math />) e <math />, defínese <math /> como sendo a composición de <math /> e <math />, <math />, desde que <math /> para todo <math />
 
== Exemplos de categorías ==
* A categoría dos [[Conxunto|conxuntosconxunto]]s, denotada por '''Set''' ou '''Ens'''. Ten por obxectos conxuntos e por morfismos as funcións entre conxuntos. A composición de morfismos é reparada na composición usual de funcións.
* A categoría dos [[Grupo (matemáticas)|grupos.]] . Ten por obxectos grupos e por morfismos os homomorfismos de grupos. A composición é dada pola composición de funcións; a composición de homomorfismos de grupo é tamén un homomorfismo de grupo.
* A categoría dos [[Espazo topolóxico|espazos topolóxicos.]]. Os obxectos son os espazos topolóxicos; os morfismos son as aplicacións continuas. A composición é a usual.
* A categoría dos [[Espazo vectorial|espazos vectoriais.]]. Os obxectos son os espazos vectoriais; os morfismos son as transformacións lineares.
* Un [[Teoría de grafos|grafo]] orientado define unha categoría, tendo por obxectos os nós ou vértices do grafo e por morfismos os camiños ao longo do grafo. A composición de morfismos é definida pola concatenación de camiños. Así, existe un morfismo entre dous nós se existir un camiño, no grafo, que ligue os dous nós.
* Un conxunto parcialmente ordenado <math /> define unha categoría, tendo por obxectos os elementos do conxunto <math />. Un único morfismo entre dous elementos <math /> e <math /> defínese se <math />. A lei de composición dedúcese da transitividade da [[Relação de ordem|relación de orde]].
 
== Dualidade ==
Sexa unha categoría '''C''' e obxectos <math /> e <math /> desta categoría.
 
Unha frecha <math />chámase ''<u>[[Monomorfismo (teoria das categorias)|monomorfismo]]</u>'' se e soamente se <math />. Ou sexa, unha frecha é monomorfismo se pode ser cancelada á esquerda dunha composición.
 
En '''Set''' unha frecha monomorfismo pode ser entendida como unha función inxetora.
 
Unha frecha <math />chámase ''<u>[[Epimorfismo (teoria das categorias)|epimorfismo]]</u>'' se e soamente se <math />. Ou sexa, unha frecha é epimorfismo se pode ser cancelada á dereita dunha composición.
 
En '''Set''' unha frecha epimorfismo é unha función sobrexetora.
 
Finalmente, unha frecha <math /> é ''<u>[[Isomorfismo (teoria das categorias)|isomorfismo]]</u>'' se e soamente se existe <math /> tal que <math /> e <math />.
 
Toda frecha isomorfismo é monomorfismo e epimorfismo, aínda que o contrario non sexa necesariamente verdade. Por exemplo, na categoría formada por dous obxectos <math /> e <math />, os morfismos identidade, e un único morfismo <math />, <math /> é un monomorfismo e un epimorfismo, porén non é un isomorfismo.
 
== Obxectos inicial e terminal ==
O [[Objeto inicial|obxecto inicial]] e o [[Objeto terminal|obxecto terminal]] son as construcións máis simples en teoría das categorías.
 
Sexa '''C''' unha categoría. Un obxecto <math /> é ''inicial'' se e soamente se para calquera obxecto <math /> existe un único <math />. O obxecto inicial é unha noción ''universal'', ou sexa, definida pola existencia e unicidade de morfismos.
O obxecto inicial é único, a non ser por isomorfismos.
 
O obxecto ''terminal'', <math />, é simplemente a noción dual de obxecto inicial. Significa que, dado un obxecto <math /> da categoría, existe un único <math />.
 
En '''Set''' calquera conxunto unitario (conxunto cun único elemento) é terminal. Isto ocorre porque, dado calquera outro conxunto, só existe unha función total con orixe neste conxunto e destino no conxunto unitario, que é a ''función constante'' (aquela en que os valores da función para todo o dominio son iguais).
Pódese chamar o obxecto <math /> xunto coas frechas <math /> e <math /> de ''pre-produto''.
 
Naturalmente pódese definir o concepto dual ao produto categorial que se chama ''[[Coproduto categorial|coproduto.]]''. Para iso basta inverter as frechas do diagrama do produto.
 
O produto categorial é un exemplo de límite, pois vén dado pola existencia dunha frecha única (neste caso a frecha <math />) entre calquera outro pre-produto e el.
 
== Funtores ==
Funtores son aplicacións entre categorías que preservan estruturas. Poden ser entendidos como [[Homomorfismo|homomorfismoshomomorfismo]]s na categoría de todas as categorías pequenas (ou sexa, a categoría que ten como obxectos todas as categorías compostas por obxectos que son [[Conxunto|conxuntosconxunto]]s).
 
Un ''funtor'' (''covariante'') <math /> da categoría '''C''' para a categoría '''D''':
# <math /> para todos os morfismos <math /> e <math />.
 
== BibliografíaVéxase tamén ==
=== Bibliografía ===
* BARR, Michael; WELLS, Charles. ''Category Theory for Computing Science'', Prentice Hall, Londres, 1990.
* MAC LANE, Saunders. ''Categories for the Working Mathematician.'' 2.ª ed. Graduate Texts in Mathematics 5. Springer, 1998. ISBN 0-387-98403-8.
=== Outros artigos ===
 
* [[Ciencias da computación|Ciencia da computación]]
== Véxase tamén ==
=== Ligazóns externas ===
* [[Ciencias da computación|Ciencia da computación]]
 
== Ligazóns externas ==
* [ftp://ftp.di.ens.fr/pub/users/longo/CategTypesStructures/book.pdf Categories, Types and Structures por Andrea Asperti e Giuseppe Longo]
* [http://minerva.ufpel.tche.br/~campani/cat.pdf Lâminas para un curso curto de Teoría das Categorías por Carlos Campani]
 
{{Control de autoridades}}
 
[[Categoría:Matemáticas]]
36.950

edicións

Menú de navegación