Relatividade xeral

Einstein, autor da teoría da relatividade, 1947

En física, a relatividade xeral é a xeneralización, publicada en 1915 por Albert Einstein, da Teoría da gravitación de Newton. Esta nova teoría, tendo en conta as ideas descubertas na relatividade restricta sobre o espazo e o tempo, propón a xeneralización do principio da relatividade do movemento de referenciais en movemento uniforme para a relatividade do movemento mesmo entre referenciais en movemento acelerado. Esta xeneralización ten implicacións profundas no noso coñecemento do espazo tempo, levando entre outras conclusións á de que a materia (enerxía) curva o espazo e mailo tempo á súa volta. É dicir, a gravitación é un efecto da xeometría do espazo-tempo.

O Principio da Relatividade xeral

O postulado base da Teoría da Relatividade xeral especifica que son fisicamente equivalentes os sistemas acelerados e mailos sistemas submetidos a campos gravitacionais. Nas propias palabras de Einstein no seu traballo de 1915:

Nós iremos polo tanto asumir a completa equivalencia física entre un campo gravitacional e a correspondente aceleración dun sistema de referencia. Esta hipótese estende o principio da relatividade especial para sistemas de referencia uniformemente acelerados.

Por este principio, unha persoa nunha sala pechada, acelerada por un foguete coa mesma aceleración que a da gravidade na Terra (9,79m/s²) non podería descubrir se a forza que a prende ao chan ten orixe no campo gravitacional terrestre ou se é debida á aceleración da propria sala a través do espazo e viceversa. Un persoa nunha sala en órbita ou caída libre en dirección a un planeta non saberá dicir por observación local se se atopa na órbita dun planeta ou no espazo profundo, lonxe de calquera corpo celeste.

Isto tamén implica, e este é o punto importante do principio anterior, que a masa que sofre os efeitos do campo gravitacional e mais a masa que aparece nas leis de movimento de Newton son a mesma constante. Isto pode parecer obvio a priori, mais nótese que a masa nas leis de Newton é a que responde a forzas xerais e é responsable da inercia ao movemento. Por iso se cháma masa inercial. A outra masa, que aparece na lei da gravitación, acoplase con outras masas gravitacionais para criar a atracción gravitacional. Elas non teñen porqué ser a mesma, mais sono, e isto é un resultado experimental. O principio da Relatividade Xeral ten, polo tanto, como consecuencia outro principio: a equivalencia entre masa gravitacional e inercial.

Introdución

Un dos descubrimentos máis importantes do século XX, feito por Einstein, é que podemos presentar os efectos da gravitación na forma dunha xeometría cuatridimensional.

O primeiro descubrimento nesta dirección, feito por Minkowski baseándose no traballo de Einstein sobre a Relatividade restricta, foi a de que espazo e tempo son na verdade unha única entidade, á que chamamos hoxe espazo-tempo.

Das ideas que levaron á Relatividade restricta, sen dúbida a máis importante para entender o papel da gravitación na Física é a idea, chamada de principio de relatividade restrita, de que as leis da física deben ser escritas da mesma forma en referenciais en movemento uniforme relativo. Este principio debe ser obedecido por calquera lei da física que pretenda ser unha representación fiel dalgunha parcela da realidade.

Einstein supuxo que a gravidade, debido ao principio da equivalencia entre masa inercial e gravitacional, sería un tipo de forza inercial, isto é, do tipo que aparece en sistemas non inerciais (en movemento acelerado), como por exemplo a forza centrífuga nun carrusel.

Con esta idea en mente e xeneralizando a idea da Relatividade restrita, Einstein propuxo que:

As leis da física deben ser escritas da mesma forma en calquera sistema de coordenadas, en movemento uniforme ou non.

A gravitación acóplase a todas as outras Teorías da Física por esta vía da invariancia baixo mudanza de coordenadas xeneralizadas.

Este é o concepto máis importante da Teoría. Dicir que unha sala en caída libre, un laboratorio en órbita da Terra ou nunha nave no espazo interestelar son referenciais equivalentes pode parecer estraño. Mais está a comunalidade de que nestes referenciais nin vostede, nin ningún obxecto, está sometido a forzas externas. Nen mesmo á forza da gravidade: cando se está en caída libre, non somos puxados pola gravidade, unha vez que no ambiente en caída libre ningún obxecto se move se non se aplica algunha forza sobre el, e esta é exactamente a definición dun referencial inercial. Chamamos a estes ambientes “ambientes de gravidade cero” e son moito máis comúns hoxe en día do que se pode imaxinar (se quixer realmente experimentar na pele as ideas desta Teoría vexa [1]).

Os laboratorios en órbita ou en caída libre son o que na Terra temos máis próximo a un referencial inercial ideal. Polo tanto, se fose necesario realizar un experimento nun lugar libre de forzas externas, hai dúas opcións na Terra: entrar nun avión, subir ata algunhas decenas de quilómetros de altura e deixarse caer en caída libre (dentro dun avión, nun voo parabólico, de forma que non se sufra o rozamento do ar), ou usar unha estación espacial en órbita. O Postulado da Relatividade Xeral é exactamente a formulación da idea de que nestes referenciais, ou en calquera outro no espazo profundo, lonxe de calquera corpo celeste, as leis da física deben ser as mesmas e deben de escribirse do mesmo xeito.

A ligazón coa xeometría

Como dixemos anteriormente, dentro do postulado da relatividade xeral, todos os referenciais físicos son localmente equivalentes. Entender por que se utiliza o termo localmente é simple: un observador en órbita ou no espazo profundo non ten como decidir por experimentación local se o seu referencial é inercial ou non. Mais se lle permitirmos analizar o espazo arredor seu, é obvio que diferenzas aparecerán. No primeiro caso, o observador, analizando arredor de si, recoñecerá axiña que está en órbita dalgún corpo, pois o seu movemento non é rectilíneo nin uniforme con relación ás estrelas. O segundo poderá concluír que está en movemento rectilíneo uniforme con relación ás estrelas ao fundo.

Xeodésica no espazo-tempo dunha partícula parada nun punto do plano x-y

O punto importante é que o movemento natural detectado por un observador difire do observado por outro, a pesar de localmente eles concorden en relación ao tipo de referencial en que se encontran. Esta idea de movemento natural (que non causa o aparecimento de forzas externas no referencial local) é representada matematicamente polo concepto de xeodésica, isto é, a menor distancia entre dous puntos nunha xeometría calquera. Noutras palabras, se o seu movimento é unha xeodésica, localmente o seu referencial é inercial e, vice-versa: se localmente o seu referencial é inercial, o seu movemento deberá ser un xeodésica.

Podemos concluír, polo tanto, que, unha vez que as xeodésicas son diferentes, as xeometrías do espazo-tempo nos dous casos son diferentes. E como o que difire dun caso ao outro é a presenza dunha masa próxima, chegamos á conclusión que a diferenza na xeometría debe ser causada pola masa. Noutras palabras, a masa dun corpo altera a xeometría do espazo-tempo arredor seu. O espazo-tempo aquí é mesmo o concepto da Relatividade restricta onde cada punto do espazo-tempo é descrito por 4 coordenadas: 3 de posición e unha de tempo. Unha xeodésica no espazo-tempo é unha curva especial descrita por estes 4 números.

A idea importante para entender a fundo os conceptos básicos da relatividade xeral é entender o que significa o movemento dun corpo neste espazo-tempo de 4 dimensións: non existe movemento espacial sen movemento temporal; isto é, no espazo-tempo non é posible que un corpo se mova nas dimensións espaciais sen se mover no tempo. Mais mesmo cando non nos movemos espacialmente, estámonos movendo na dimensión tempo. Mesmo sentados agora lendo este artigo, estámonos movendo no tempo, para o futuro. Este movemento é tan válido na xeometría do espazo-tempo como os que estamos afeitos a ver no noso día a día. Polo tanto, no espazo-tempo estamos sempre en movemento!, e a nosa idea de estar parado significa apenas que atopamos unha forma de non nos mover nas direccións espaciais senón só no tempo (vexa o exemplo deste tipo de xeodésica na figura ao lado).

Órbita xeodésica no espazo-tempo dunha partícula próxima a un corpo material

Imaxinemos agora un observador no espazo profundo. Supoña que está parado, isto é, nun movemento xeodésico en liña recta cara o futuro. Se agora colocarmos instantaneamente ao seu rente unha masa suficientemente grande, a deformación que esta masa causará no espazo-tempo na súa veciñanza curvará e alterará as coordenadas orixinais do espazo-tempo no lugar. O efecto é que aquel movemento que era só unha liña recta na dirección temporal tamén ocorrerá agora nas novas coordenadas espaciais. A liña curvase e enrolase en torno do corpo mentres el se move na dirección do tempo futuro. E o noso observador comeza a moverse espacialmente debido á distorsión da xeometría causada pola masa, e non debido á presenza dunha forza. Isto era o efecto que se acostuma chamar de gravidade mais que, con esta teoría, é unha distorsión da xeometría do espazo-tempo debido á presenza dunha masa.

Nótese que é común representar a curvatura do espazo-tempo con figuras que representan unha membrana elástica formando pozos criados por masas pesadas sobre esa membrana. Esta representación é, como mínimo, fantasiosa, pois mostra só a curvatura espacial dun espazo de dúas dimensións, sen considerar o efecto do tempo. Dificilmente a podemos considerar unha boa representación do que realmente acontece. O exemplo presentado aquí dános unha forma de ver a curvatura a través de efectos sobre as liñas xeodésicas:

En cada punto do espazo disparamos ou apenas soltamos unha pequena masa de proba e observamos a súa traxectoria. Dun punto do seu referencial inercial dispare unha masa en cada un dos seus eixos de coordenadas espaciais e observe: obviamente, se elas continuaren indefinidamente en liña reta, vostede estará nun espazo-tempo plano (espazo de Minkowski). Caso contrario, as traxectorias poderán lle dar informacións sobre a curvatura na rexión. Esta é a mellor maneira pola cal podemos esperar describir un obxecto que posúe 4 dimensións para seres que viven en apenas 3 dimensións.

Unha representación fantasiosa da curvatura do espazo-tempo causada por unha masa

Xeometría do Espazo-tempo

É preciso esclarecer un punto anterior, mencionado de paso, mais que tivo consecuencias importantísimas. Dixemos que no espazo-tempo non lle é posible a un obxecto moverse nas direccións espaciais sen se mover tamén no tempo. O motivo é simple: no plano espacial, se un obxecto se move dun punto ao outro sen se mover na dirección temporal, a velocidade será infinita; por outra banda, da Teoría da Relatividade especial sábese que a maior velocidade posible para algo material, no noso universo, é a velocidade da luz. Polo tanto este postulado da Relatividade especial cria inmediatamente no noso espazo-tempo dúas rexións distintas: unha rexión a que podemos ter acceso, e rexións ás cales non podemos ter acceso inmediato. Isto é unha característica diferente dun espazo de 4 dimensións calquera, onde non temos restrición algunha entre as rexións do espazo, nen unha dirección especial.

A relatividade restricta, polo tanto, impón sobre a xeometría do espazo-tempo unha restrición fundamental e distinta do que esperaríamos dun espazo euclidiano de catro dimensións, por exemplo. Esta diferenza reflíctese na estrutura básica da xeometría.

Pódese mostrar como estas diferenzas se reflicten na noción de distancia, que na Relatividade Especial se chama intervalo, para non evocar a mesma idea de distancia euclidiana. Se quixermos medir a distancia entre dous puntos nun espazo de 3 dimensións, usamos a fórmula de Pitágoras:

$s^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}+(z_{1}-z_{2})^{2}$

Incluíndo o tempo para termos o espazo-tempo, poderíamos imaxinar unha fórmula equivalente para a distancia entre dous puntos:

$s^{2}=c^{2}(t_{1}-t_{2})^{2}+(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}+(z_{1}-z_{2})^{2}$

Note que tivemos o coidado de multiplicar o termo temporal por c, a velocidade da luz no vacuo, para termos un lonxitude, unha vez que non ten sentido somar tempo con distancia. Para puntos moi próximos (lémbrese que temos que manter local a nosa análise para podermos garantir que estamos nun referencial inercial) podemos escribir.

$\Delta s^{2}=c^{2}(\Delta t)^{2}+(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}+(\Delta z)^{2}=c^{2}(\Delta t)^{2}+(\Delta {\vec {x}})^{2}$

Mais isto non reflicte a característica esencial do espazo-tempo que estamos discutindo. A distancia expresada na formula anterior é simplemente a distancia en espazo euclidiano de 4 dimensións. O que sabemos é que as velocidades espaciais posibles son sempre menores que a velocidade da luz:

$\left|{\frac {d}{dt}}{\vec {x}}\right|\leq c$

E isto, de certo xeito, debese reflectir na xeometría que estamos procurando. E está, como iremos demostrar. Elevando ao cuadrado para eliminar o módulo, e reorganizando os termos, podemos escribir tal restrición como:

$(d{\vec {x}})^{2}\leq c^{2}dt^{2}$

Repare que a expresión previa é o equivalente matemático do que acabamos de dicir: movementos espaciais válidos deben ser menores que c dt para que a velocidade do movemento sexa menor que a da luz. Comparando esta expresión coa da distancia nun espazo euclidiano, dada mais enriba, vemos unha semellanza. Podemos entender agora que o termo ds :

$ds^{2}=c^{2}dt^{2}-d{\vec {x}}^{2}\geq 0$

pode ser utilizado como definición para o cálculo de intervalos no espazo-tempo.

Para completar, fainos falla agora entender como esta medida de intervalos pode ser xeneralizada para un sistema calquera de coordenadas.

Matemática da Relatividade Xeral

Para estender as leis da física ao contexto de sistemas de coordenadas xerais, debese dominar un extenso arsenal de ferramentas matemáticas. Mesmo na mecánica clásica, por exemplo, foron desenvolvidos unha cantidade enorme de traballos para traballaren os sistemas físicos en diversos sistemas de coordenadas: sistemas de coordenadas cartesianos, esféricas, cilíndricas, etc. A pesar dos nomes, ningún destes sistemas de coordenadas utilizados na Física Matemática é xeral abondo para causar alteración na xeometría. Son formas de aproveitar as simetrías do problema e axudan, polo tanto, a simplificar a solución. Na Relatividade Xeral precisamos estender este coñecemento ás transformacións de coordenadas que alteren a xeometría do espazo-tempo. Para isto son necesarias unha síntese e unha xeneralización deste coñecemento matemático nun novo cálculo, o Cálculo Tensorial. Por sorte, esta síntese estaba sendo criada polo matemático Tullio Levi-Civita, baseándose nos traballos anteriores de Hamilton e Gregorio Ricci-Curbastro, na mesma época en que Einstein iniciou seu traballo na Relatividade Xeral. De feito, Einstein aprendeu os conceptos directamente de Levi-Civitta.

Con esta ferramenta nova, podemos xeneralizar o concepto de cálculo de intervalos do espazo-tempo, introducindo o tensor métrico para o espazo-tempo:

${\frac {}{}}ds^{2}=g_{ix}dx^{i}dx^{x}$

A notación con índices, chamada notación clásica do cálculo tensorial, posúe a convención de que índices repetidos, un superior e outro inferior, representan unha soma no conxunto de índices. No noso caso estes índices varían de 0 ata 3 para representar o tempo (índice 0), e as coordenadas espaciais. Esta é a mesma expresión que obtivemos anteriormente se escribirmos o tensor ${\frac {}{}}g_{ix}$ de forma matricial como:

$g={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}}$

O punto importante a entender aquí é que, no espazo-tempo curvo, o tensor métrico non posúe máis seus elementos constantes como na formula mais enriba. Pasan a ser funcións das coordenadas espazo-temporais que conteñen informacións sobre a xeometría local. Mesmo así, a expresión para o cálculo de intervalos aínda continua sendo escrita da mesma forma. E isto reflexa a idea básica do cálculo tensorial: permitir escribir calquera ecuación independentemente do sistema de coordenadas utilizado.

O Tensor métrico é a peza fundamental da teoría da Relatividade Xeral e é un tensor simétrico, isto é $g_{ix}=g_{xi}$. Isto significa que en vez de termos 16 compoñentes $g_{ix}$, temos apenas 10 compoñentes independentes.

O tensor métrico posúe informacións non só sobre como se calculan as distancias, mais como se realizan outras operacións xeométricas en espazos curvos, como o transporte paralelo de vectores e outros obxectos matemáticos. É a través del que se obtén a expresión para a curvatura do espazo-tempo e se obtén o Tensor de Einstein, utilizado na ecuación da Relatividade Xeral, que sumariza a interacción da xeometría coa materia:

$G_{ix}=R_{ix}-{R \over 2}g_{ix}+\Lambda g_{ix}={8\pi G \over c^{4}}T_{ix}$

onde $G_{ix}$ é o tensor de Einstein, $R_{ix}$ son as compoñentes do Tensor de curvatura de Ricci, $R$ é a Curvatura escalar, $g_{ix}$ son as compoñentes do tensor métrico, $\Lambda$ é a Constante cosmolóxica, $T_{ix}$ son as compoñentes do Tensor de tensión-enerxía que describe a materia e enerxía nun dado punto do espazo-tempo e $G$ é a Constante da gravitación universal, a mesma da lei de Newton da gravidade. O Tensor de Ricci e maila Curvatura Escalar son derivados do tensor métrico, como foi dito enriba.

Solucións da Ecuación de Einstein

A primeira solución exacta da ecuación de Einstein foi proposta por Karl Schwarzschild na chamada Métrica de Schwarzschild, e é a solución para o caso dunha masa esférica estacionaria, isto é, sen rotación da masa. Esta foi tamén a primeira solución na cal se obtiveron buratos negros como parte do resultado.

As solucións da ecuación de Einstein son obtidas a partir dunha determinada métrica. Propor unha métrica correcta é unha parte importante e difícil do problema. Estas son algunhas das solucións coñecidas da Ecuación de Einstein:

1. Métrica de Schwarzschild.
2. Métrica de Kerr, que descrebe o caso dunha masa xirante esférica.
3. Métrica de Reisner-Nordstron, para o caso dunha métrica esférica con carga eléctrica.
4. Métrica de Kerr-Newman, para o caso dun masa xirante con carga eléctrica.
5. Métrica Friedmann-Robertson-Walker (FRW), usada en cosmoloxía como modelo dun universo en expansión.
6. Métrica de ondas-pp que describe varios tipos de ondas gravitacionais.
7. Métrica de worm holes, ou furados de miñoca, usada para describir viaxes no tempo.

As solucións (1), (2), (3) e (4) incluen buratos negros como parte do resultado.

Antecedentes

Aínda que a moderna teoría se debe a Einstein, as súas orixes matemático-topolóxicas atópanse no estudo dos axiomas da Xeometría Euclídea e os moitos intentos de probar, ó longo dos séculos, o Quinto postulado de Euclides, (que di que as liñas paralelas permanecen sempre equidistantes), e que culminaron coa constatación por Bolyai e Gauss de que este axioma non é necesariamente certo(isto é, existen outras xeometrías do espazo -xeometrías non euclídeas- nas que o postulado das paralelas non é válido). As matemáticas xerais do chamado espazo riemmanniano, que é unha Xeometría non Euclídea desenvolveunas Riemann, discípulo de Gauss, pero non foi ata despois de que Einstein desenvolveu a teoría da Relatividade Especial que as xeometrías non euclidianas do espazo e o tempo foron coñecidas de xeito popular.

Gauss demostrou que non hai razón para que a xeometría do espazo deba ser elucídea, o que significa que se un físico pon unha marca, e un cartógrafo permanece a una certa distancia e se mide a súa lonxitude por triangulación baseada na xeometría euclidiana, entón non está garantido que se dea a mesma resposta se o físico porta a marca consigo e mide a súa lonxitude directamente. Por suposto, para unha marca non podería medirse na práctica a diferencia entre as dúas medidas, pero existen medidas equivalentes que deben de detectar a xeometría non euclidiana do espazo-tempo directamente.

Comprobacións experimentais

Son comprobacións experimentais, o experimento de Pound-Rebka (1959), que detectou o cambio na lonxitude de onda da luz dunha fonte de cobalto xurdindo por 22.5 metros contra a gravidade nun local do Laboratorio de Física Jefferson na Universidade Harvard; e a cadencia dun reloxo atómico nun satélite GPS arredor da Terra, que debe ser corrixida por efecto da menor gravidade na órbita satelital(os reloxos dos satélites adiantan uns 38 microsegundos cada 24 horas terrestres), para manter a coherencia co resto dos satélites da rede GPS, e entre éstes e o tempo horario dos usuarios do sistema na Terra. O experimento BOOMERanG descubriu unha estrutura xeométrica do universo coherente cos postulados da teoría.

Véxase tamén

Ligazóns externas

• Projeto para aferir o experimento de Sobral (en portugués)