Divisor

En matemáticas, un divisor dun número enteiro $n,$ tamén chamado factor de $n,$ é un número enteiro $m$ que se pode multiplicar por algún número enteiro para producir $n.$ Neste caso, tamén se di que $n$ é múltiplo de $m.$ Un número enteiro $n$ é divisible por outro número enteiro $m$ se $m$ é un divisor de $n$; isto implica que ao dividir $n$ por $m$ non temos un resto.

Definición

Un número enteiro $n$ é divisible por un número enteiro distinto de cero $m$ se existe un número enteiro $k$ tal que $n=km.$ A nomenclatura habitual é

$m\mid n.$

En latex sería "m \mid n".

Isto pódese ler así $m$ divide a $n,$ $m$ é un divisor de $n,$$m$ é un factor de $n,$ ou $n$ é múltiplo de $m.$ Se $m$ non divide a $n,$ daquela a notación é $m\not \mid n.$

Que en latex sería "m \not\mid n".

Xeral

Os divisores poden ser tanto negativos como positivos, aínda que moitas veces o termo está restrinxido a divisores positivos. Por exemplo, hai seis divisores de 4, que son 1, 2, 4, −1, −2 e −4, pero só se mencionarían os positivos (1, 2 e 4).

1, -1, $n$ e $-n$ coñécense como divisores triviais de $n.$ Un divisor de $n$ que non é un divisor trivial coñécese como un divisor non trivial (ou divisor estrito ). Un número enteiro distinto de cero con polo menos un divisor non trivial coñécese como número composto, mentres que as unidades −1 e 1 e os números primos non teñen divisores non triviais.

Os divisores propios son todos menos o número en si e o seu negativo, para o exemplo de 4 e tendo en conta só os divisores positivos, o 1 e o 2 son os divisores propios.

Existen regras de divisibilidade que permiten recoñecer certos divisores dun número a partir dos díxitos do número.

Exemplos

• 7 é un divisor de 42 porque $7\times 6=42,$ así podemos dicir $7\mid 42.$ Tamén se pode dicir que 42 é divisible por 7, 42 é múltiplo de 7, 7 divide 42 ou 7 é un factor de 42.
• Os divisores non triviais de 6 son 2, − 2, 3, − 3.
• Os divisores positivos de 42 son 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.
• Os divisores positivos propios de 42 son 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21.
• O conxunto de todos os divisores positivos de 60, $A=\{1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60\},$ parcialmente ordenado pola divisibilidade, ten o diagrama de Hasse:

Outras nocións e feitos

Algunhas regras elementais:

• Se $a\mid b$ e $b\mid c,$ entón $a\mid c,$ é dicir, a divisibilidade é unha relación transitiva.
• Se $a\mid b$ e $b\mid a,$ entón $a=b$ ou $a=-b.$
• Se $a\mid b$ e $a\mid c,$ entón cúmprese que $a\mid (b+c)$, igual para a resta $a\mid (b-c).$

Se $a\mid bc,$ e $\gcd(a,b)=1,$ entón $a\mid c.$ Isto denómínase lema de Euclides.

Se $p$ é un número primo e $p\mid ab$ entón $p\mid a$ ou $p\mid b.$

Un número enteiro $n>1$ cuxo único divisor propio é 1 chámase número primo.

Calquera divisor positivo de $n$ é un produto de divisores primos de $n$ elevado a algunha potencia. Esta é unha consecuencia do teorema fundamental da aritmética .

Un número $n$ dise que é perfecto se é igual á suma dos seus divisores propios, deficiente se a suma dos seus divisores propios é menor que $n,$ e abundante se esta suma supera $n.$

O número total de divisores positivos de $n$ é unha función multiplicativa $d(n),$ no caso de $m$ e $n$ seren relativamente primos, entón $d(mn)=d(m)\times d(n).$ Por exemplo, $d(42)=8=2\times 2\times 2=d(2)\times d(3)\times d(7)$ ; Os oito divisores de 42 son 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 e 42. Esta función tamén se pode escribir como a número cero das funcións sigma $\sigma _{0}(n)$

A suma dos divisores positivos de $n$ é outra función multiplicativa $\sigma _{1}(n)$ (p. ex $\sigma _{1}(42)=96=3\times 4\times 8=\sigma _{1}(2)\times \sigma _{1}(3)\times \sigma _{1}(7)=1+2+3+6+7+14+21+42$ ). Esta última coñécese como función divisor e cada subíndice de sigma representa a potencia dos divisores cos que se fai a suma, por iso $d(n)=\sigma _{0}(n)$, pois os divisores elevados a cero é igual que contalos.

Se a factorización de $n$ está dada polos primos

$n=p_{1}^{\nu _{1}}\,p_{2}^{\nu _{2}}\cdots p_{k}^{\nu _{k}}$

daquela o número de divisores positivos de $n$ é

$d(n)=(\nu _{1}+1)(\nu _{2}+1)\cdots (\nu _{k}+1),$

e cada un dos divisores ten a forma

$p_{1}^{\mu _{1}}\,p_{2}^{\mu _{2}}\cdots p_{k}^{\mu _{k}}$

onde $0\leq \mu _{i}\leq \nu _{i}$ para cada $1\leq i\leq k.$

Para cada número natural $n,$ temos $d(n)<2{\sqrt {n}}.$

En álxebra abstracta

Teoría de aneis

Artigo principal: Divisibilidade (anel).

Retícula de división

Artigo principal: Retícula de división.

Nas definicións que permiten que o divisor sexa 0, a relación de divisibilidade converte o conxunto $\mathbb {N}$ de enteiros non negativos nun conxunto parcialmente ordenado que é unha retícula distributiva completa. O elemento maior desta retícula é 0 e o menor é 1. A operación de encontro ∧ ven dada polo máximo común divisor e a operación de unión ∨ polo mínimo común múltiplo. Esta retícula é isomorfa ao dual da retícula de subgrupos do grupo cíclico infinito Z.

Véxase tamén

Bibliografía

• Durbin, John R. (2009). Modern Algebra: An Introduction (6th ed.). New York: Wiley. ISBN 978-0470-38443-5. 
• Guy, Richard K. (2004). Unsolved Problems in Number Theory (3rd ed.). Springer Verlag. ISBN 0-387-20860-7. ; section B
• Hardy, G. H.; Wright, E. M. (1960). An Introduction to the Theory of Numbers (4th ed.). Oxford University Press. 
• Herstein, I. N. (1986). Abstract Algebra. New York: Macmillan Publishing Company. ISBN 0-02-353820-1. 
• Niven, Ivan; Zuckerman, Herbert S.; Montgomery, Hugh L. (1991). An Introduction to the Theory of Numbers (5th ed.). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-62546-9. 
• Øystein Ore, Number Theory and its History, McGraw–Hill, NY, 1944 (and Dover reprints).
• Sims, Charles C. (1984). Abstract Algebra: A Computational Approach. New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-09846-9. 
• Tanton, James (2005). Encyclopedia of mathematics. New York: Facts on File. ISBN 0-8160-5124-0. OCLC 56057904. 

Outros artigos

• Funcións aritméticas
• Algoritmo euclidiano
• Fracción (matemáticas)
• Factorización de enteiros
• Táboa de factores primos – unha táboa de factores primos de 1 a 1000
• Divisor unitario
• Regras de Divisibilidade