Función multiplicativa

En aritmética, unha función multiplicativa^[1] é unha función aritmética f: ℕ* → ℂ a cumprir as dúas condicións seguintes:

f (1) = 1;
para todos os números enteiros a e b > 0 coprimos entre si, temos: f(ab) = f(a)f(b).

Unha función completamente multiplicativa é unha función aritmética g que satisfai:

g (1) = 1;
para todos os números enteiros a e b > 0, temos: g (ab) = g(a)g(b).

As funcións multiplicativas ocorren en particular na teoría analítica de números, nas series de Dirichlet.

Determinación e exemplos

Unha función multiplicativa ƒ está totalmente determinada polos seus valores nas potencias distintas de cero dos números enteiros primos. De feito, segundo o teorema fundamental da aritmética, calquera número enteiro n > 0 admite unha descomposición nun produto de factores primos, único sen ter en conta a orde dos factores:

n=\prod _{i=1}^{r}p_{i}^{k_{i}}

onde os p_i son números primos e os k_i son enteiros naturais, con (para garantir a unicidade) : a secuencia finita de p_i é estritamente crecente e cada k_i (chamada valoración p_i-ádica de n) é distinto de cero. Ao aplicar ƒ, temos:

f(n)=\prod _{i=1}^{r}f(p_{i}^{k_{i}}).

Non hai restricións adicionais: calquera secuencia de números complexos indexada polas potencias distintas de cero dos números enteiros primos dá, a través da fórmula anterior, unha función multiplicativa única. Por razóns análogas, unha función completamente multiplicativa g está totalmente determinada polos seus valores nos números primos. Usando as notacións anteriores:

g(n)=\prod _{i=1}^{r}g(p_{i})^{k_{i}}.

Estas consideracións proban que hai unha infinidade de funcións completamente multiplicativas.

Exemplos

Algunhas funcións multiplicativas defínense para facilitar a escritura de fórmulas:

1(n): a función constante, definida por 1(n) = 1 (completamente multiplicativa)
Id(n): función de identidade, definida por Id(n) = n (completamente multiplicativa)
Id_k(n): as funcións de potenciación, definidas por Id_k(n) = n^k para calquera número complexo k (completamente multiplicativa). Como casos especiais temos
- Id₀(n) = 1(n).
- Id₁(n) = Id(n).
ε(n): a función definida por ε(n) = 1 se n = 1 e 0 en caso contrario, ás veces chamada unidade de multiplicación para a convolución de Dirichlet ou simplemente a función unitaria (completamente multiplicativa). Ás veces escríbese como u(n), mais non se debe confundir con μ(n) .
1_C(n), a función indicadora do conxunto C ⊂ Z, para certos conxuntos C. A función indicadora 1_C(n) é multiplicativa precisamente cando o conxunto C ten a seguinte propiedade para calquera número coprimo a e b: o produto ab está en C se e só se os números a e b están ambos os dous en C. Este é o caso se C é o conxunto de cadrados, cubos ou k-ésimas potencias, ou se C é o conxunto de números sen cadrados.

Outros exemplos de funcións multiplicativas inclúen moitas funcións de importancia na teoría de números, como:

gcd(n,k): o máximo común divisor de n e k, en función de n, onde k é un número enteiro fixo.
$\varphi (n)$ : función totiente de Euler $\varphi$ , para contar os enteiros positivos coprimos ata n.
μ(n): a función de Möbius, a paridade (−1 para impar, +1 para par) do número de factores primos de números libres de cadrados; 0 se n non está libre de cadrados.
σ_k(n): a función divisor, que é a suma das k-ésimas potencias de todas os divisores positivos de n (onde k pode ser calquera número complexo). Casos especiais que temos
- σ₀(n) = d(n) o número de divisores positivos de n' ',
- σ₁(n) = σ(n), a suma de todos os divisores positivos de n.
A suma das k-ésimas potencias dos divisores unitarios denótase por σ*_k(n):

\sigma _{k}^{*}(n)=\sum _{d\,\mid \,n \atop \gcd(d,\,n/d)=1}\!\!d^{k}.

a(n): o número de grupos abelianos non isomorfos de orde n.
λ(n): a función de Liouville, λ(n) = (−1)^Ω(n) onde Ω(n) é o número total de primos (contados coa multiplicidade) que dividen n. (completamente multiplicativa).
γ(n), definido por γ(n) = (−1)^ω(n), onde a función aditiva ω(n) é a cantidade de números primos distintos que dividen n.
τ(n): a función tau de Ramanujan.
Todos os caracteres de Dirichlet son funcións completamente multiplicativas. Por exemplo
- $\left({\frac {n}{p}}\right)$ , o símbolo de Legendre, considerado como función de n onde p é un número primo.

Un exemplo de función non multiplicativa é a función aritmética r₂(n): o número de representacións de n como suma de cadrados de dous enteiros, positivo, negativo ou cero, onde ao contar o número de camiños se permite a inversión da orde. Por exemplo:

1 = 1² + 0² = (−1)² + 0² = 0² + 1² = 0² + (−1)²

e polo tanto r₂(1) = 4 ≠ 1. Isto mostra que a función non é multiplicativa. No entanto, r₂(n)/4 é multiplicativa.

Na Enciclopedia en liña de secuencias enteiras, as secuencias de valores dunha función multiplicativa teñen a palabra clave "mult".

Vexa función aritmética para algúns outros exemplos de funcións non multiplicativas.

Propiedades elementais

Ser multiplicativa e multiplicativa completa consérvase por produto, módulo e conxugación.

Na súa definición, a primeira condición (a imaxe de 1 é igual a 1) pódese substituír por: a función é distinta de cero.

Se ƒ é multiplicativa daquela

\forall a,b\in \mathbb {N} ^{*},\quad f(a)~f(b)=f({\gcd }(a,b))~f(\operatorname {lcm} (a,b))

onde $gcd$ é o máximo común divisor e $lcm$ é o mínimo común múltiplo dos números enteiros.

Convolución de Dirichlet

A convolución de Dirichlet de dúas funcións aritméticas ƒ e g é a función ƒ ✻ g definida por:

\forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad (f*g)(n)=\sum _{d|n}f(d)g(n/d)

Ou " d|n » significa que a suma faise sobre todos os enteiros positivos d divisores de n.

Demóstrase logo que se ƒ e g son multiplicativas, ƒ ✻ g tamén o é, e que o conxunto de funcións multiplicativas, equipadas con esta lei interna, é un grupo abeliano, con elemento neutro δ₁.

As relacións máis importantes verificadas son :

μ ✻ $1$ = δ₁,
J_k ✻ 1 = Id_k e (pola inversión de Möbius) J_k = μ ✻ Id _k, en particular
- φ ✻ $1$ = $Id$ e φ = μ ✻ $Id$ ,
σ _k = Id _k ✻ 1 e (pola inversión de Möbius) Id _k = σ _k ✻ μ, en particular
- d = $1$ ✻ $1$ e $1$ = d ✻ μ,
- σ = $Id$ ✻ $1$ e $Id$ = σ ✻ μ,
σ _k = J_k ✻ d (a través de Id _k ✻ 1 = J_k ✻ 1 ✻ 1 ), en particular
- σ = φ✻d .

Produto de Euler

Formalmente, unha función aritmética f está asociada a unha serie de Dirichlet :

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}

.

O produto formal da serie asociada a f e g é, por definición, a serie asociada a f ✻ g. Definimos de xeito análogo o produto formal dunha secuencia infinita de funcións aritméticas f _i, sempre que f _i (1) = 1 e que a serie que define cada coeficiente do produto sexa absolutamente converxente:

\prod _{i}\sum _{n_{i}=1}^{\infty }{\frac {f_{i}(n_{i})}{n_{i}^{s}}}:=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sum _{\prod n_{i}=n}\prod _{i}f_{i}(n_{i})}{n^{s}}}

.

O caso máis importante ^[2] é o dun produto de Euler, é dicir, onde os índices i son os números primos, entón soen denotarse máis ben pola letra p, no que as funcións aritméticas f_p están definidas a partir dunha función multiplicativa f por: f_p coincide con f nas potencias de p e é cero noutro lugar. Este produto (da serie asociada a f_p) é entón igual á serie asociada a f. Se esta última é absolutamente converxente, esta igualdade formal tamén é certa no sentido da análise. Vexa a sección de exemplos do artigo sobre a serie Dirichlet.

Notas

↑ Pete L. Clark (2011). "Arithmetical Functions I: Multiplicative Functions" (PDF). UGA, MATH 4400. .
↑ G. H. Hardy; E. M. Wright (2007). Introduction à la théorie des nombres (An Introduction to the Theory of Numbers). Traducido por F. Sauvageot. Paris/Heidelberg: Vuibert-Springer. p. 320. ISBN 978-2-7117-7168-4. , th. 285 e 286.

Véxase tamén

Bibliografía

S. Ramanujan, Some formulae in the analytic theory of numbers. Messenger 45 (1915), 81--84.

E. Busche, Lösung einer Aufgabe über Teileranzahlen. Mitt. Math. Ges. Hamb. 4, 229--237 (1906)

A. Selberg: Remarks on multiplicative functions. Number theory day (Proc. Conf., Rockefeller Univ., New York, 1976), pp. 232–241, Springer, 1977.

Outros artigos

Ligazóns externas

Multiplicative function at PlanetMath.

[Clark-1] Pete L. Clark (2011). "Arithmetical Functions I: Multiplicative Functions" (PDF). UGA, MATH 4400. .

[2] G. H. Hardy; E. M. Wright (2007). Introduction à la théorie des nombres (An Introduction to the Theory of Numbers). Traducido por F. Sauvageot. Paris/Heidelberg: Vuibert-Springer. p. 320. ISBN 978-2-7117-7168-4. , th. 285 e 286.

[1]

[2]