Constante de Khinchin

En teoría de números, Aleksandr Yakovlevich Khinchin demostrou que para case todos os números reais x, os coeficientes a_i da fracción continua de x teñen unha media xeométrica finita que é independente do valor de x e que se coñece como constante de Khinchin.

$x=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}\;$

case sempre é certo que

$\lim _{n\rightarrow \infty }\left(a_{1}a_{2}...a_{n}\right)^{1/n}=K_{0}$

onde $K_{0}$ é a constante de Khinchin

$K_{0}=\prod _{r=1}^{\infty }{\left(1+{1 \over r(r+2)}\right)}^{\log _{2}r}\approx 2.6854520010\dots$ (secuencia A002210 na OEIS)

(onde $\prod$ denota o produto en todos os termos da secuencia).

Entre os números cuxas expansións de fraccións continuas aparentemente teñen esta propiedade (baseada na evidencia numérica) están π, a constante de Euler-Mascheroni γ, a constante de Apéry ζ(3) e a propia constante de Khinchin. Non obstante, isto non está probado.

Entre os números x cuxas expansións de fraccións continuas se sabe que non teñen esta propiedade están os números racionais, as raíces das ecuacións de segundo grao (incluíndo a razón áurea Φ e as raíces cadradas de números enteiros) e a base do logaritmo natural e. Isto é consecuente con que estes números teñen ou fracción continua finita ou fracción continua períodica (ou cuase-períodida no caso de e).

Khinchin ás veces escríbese Khintchine (a transliteración francesa do ruso Хинчин) na literatura matemática máis antiga.

Esbozo da proba

A proba aquí presentada foi presentada por Czesław Ryll-Nardzewski e é moito máis sinxela que a proba orixinal de Khinchin que non utilizaba a teoría ergódica .

Dado que o primeiro coeficiente a₀ da fracción continua de x non xoga ningún papel no teorema de Khinchin e dado que os números racionais teñen a medida de Lebesgue cero, redúcese ao estudo dos números irracionais no intervalo $I=[0,1]\setminus \mathbb {Q}$. Estes números están en bixección con fraccións continuas infinitas da forma [0; a₁ , a₂ , ...], que simplemente escribimos [a₁, a₂, ...], onde a₁, a₂, ... son enteiros positivos. Definamos unha transformación T : I → I por

$T([a_{1},a_{2},\dots ])=[a_{2},a_{3},\dots ].\,$

A transformación T chámase operador de Gauss–Kuzmin–Wirsing. Para cada subconxunto de Borel E de I, tamén definimos a medida de Gauss-Kuzmin de E

$\mu (E)={\frac {1}{\log 2}}\int _{E}{\frac {dx}{1+x}}.$

Entón μ é unha medida de probabilidade na σ-álxebra dos subconxuntos de Borel de I. A medida μ é equivalente á medida de Lebesgue en I, mais ten a propiedade adicional de que a transformación T conserva a medida μ. Ademais, pódese demostrar que T é unha transformación ergódica do espazo medible dotado coa medida de probabilidade μ (esta é a parte difícil da demostración). O teorema ergódico di entón que para calquera función f integrable μ en I, o valor medio de $f\left(T^{k}x\right)$ é o mesmo para case todos os $x$:

$\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}(f\circ T^{k})(x)=\int _{I}fd\mu \quad {\text{para }}\mu {\text{-case todos }}x\in I.$

Aplicando isto á función definida por f ([a₁, a₂, ...]) = log(a₁), obtemos que

$\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\log(a_{k})=\int _{I}f\,d\mu =\sum _{r=1}^{\infty }\log(r){\frac {\log {\bigl (}1+{\frac {1}{r(r+2)}}{\bigr )}}{\log 2}}$

para case todos [a₁, a₂, ...] en I cando n → $\infty$.

Tomando a exponencial a ambos os dous lados, obtemos á esquerda a media xeométrica dos n primeiros coeficientes da fracción continua e á dereita a constante de Khinchin.

Expresións en serie

A constante de Khinchin pódese expresar como unha serie zeta racional na forma

$\log K_{0}={\frac {1}{\log 2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)-1}{n}}\sum _{k=1}^{2n-1}{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}$

Media de Hölder

A constante de Khinchin pódese ver como a primeira dunha serie de medias de Hölder dos termos das fraccións continuas. Dada unha serie arbitraria {a_n}, a media de Hölder de orde p da serie vén dada por

$K_{p}=\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{p}\right]^{1/p}.$

Cando os {a_n} son os termos da expansión da fracción continua, as constantes veñen dadas por

$K_{p}=\left[\sum _{k=1}^{\infty }-k^{p}\log _{2}\left(1-{\frac {1}{(k+1)^{2}}}\right)\right]^{1/p}.$

Isto obtense tomando a p-ésima media en conxunto coa distribución de Gauss–Kuzmin. Isto é finito cando $p<1$ .

A media aritmética diverxe: $\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}=K_{1}=+\infty$, e así os coeficientes medran arbitrariamente: $\limsup _{n}a_{n}=+\infty$ .

O valor de K ₀ obtense no límite de p → 0.

A media harmónica ( p = − 1) é

$K_{-1}=1.74540566240\dots$ (secuencia A087491 na OEIS).

Problemas abertos

• Pénsase que π, a constante γ de Euler-Mascheroni e a propia constante de Khinchin, baseada en evidencias numéricas, están entre os números cuxa media xeométrica dos coeficientes a_i na súa expansión como fracción continua tende á constante de Khinchin. No entanto, ningún destes límites foi establecido con rigor.
• Non se sabe se a constante de Khinchin é un número racional, alxébrico irracional ou transcendental.

Véxase tamén

Outros artigos

• Teorema de Lochs
• A constante de Lévy
• Lista de constantes matemáticas