Media aritmética xeométrica

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.

A media aritmética xeométrica (AGM, arithmetic-geometric mean en inglés) M(x, y) de dous números reais positivos x e y defínese da seguinte forma. Primeiro obtemos a media aritmética de x e y denominándoa a1, i.e. a1 = (x+y) / 2. Despois construimos a media xeométrica de x e y denominádoa g1, i.e. g1 é a raíz cadrada de xy. Agora podemos iterar esta operación con a1 en lugar de x e g1 en lugar de y. Desta forma, defínense duas sucesións (an) e (gn):

a_{n+1} = \frac{a_n + g_n}{2}

e

g_{n+1} = \sqrt{a_n g_n}

Ambas sucesións converxen ó mesmo número, denominado media aritmética xeométrica M(x, y) de x e y.

Pódese demostrar que:

M(x,y) = \frac{\pi}{4} \cdot \frac{x + y}{K \left( \frac{x - y}{x + y} \right) }

onde K(x) é a integral elíptica completa de primeira especie.