Límite dunha función

O límite dunha función é un concepto fundamental do cálculo diferencial matemático, un caso de límite aplicado ás funcións.

Informalmente, o feito de que unha función f teña un límite L nun punto c significa que o valor de f pode ser tan próximo a L como se desexe, tomando puntos suficientemente próximos a c, independentemente do que ocorra en c.

Historia

Aínda que implícita no desenvolvemento do cálculo dos séculos XVII e XVIII, a notación moderna do límite dunha función remóntase a Bolzano quen, en 1817, introduciu as bases da técnica épsilon-delta. Mais o seu traballo non foi coñecido mentres estivo vivo. Cauchy expuxo límites no seu Cours d'analyse (1821) e parece ter expresado a esencia da idea, pero non dunha maneira sistemática. A primeira presentación rigorosa da técnica feita pública foi dada por Weierstrass nos 1850 e 1860 e desde entón converteuse no método estándar para traballar con límites.

A notación de escritura usando a abreviatura lim coa frecha debaixo é debida a Hardy, que a usou no seu libro A Course of Pure Mathematics en 1908.

Definición formal

Funcións dunha variable real

Visualización dos parámetros utilizados na definición de límite.

Se a función $f$ ten límite $L$ en $c$ podemos dicir de maneira informal que a función $f$ tende cara ao límite $L$ próximo a $c$ se se pode facer que $f(x)$ sexa tan próximo como queiramos de $L$ dándolle valores a $x$ para que sexa o suficientemente parecido a $c$ mais sendo $x$ distinto de $c$.

Os conceptos próximo ou parecido son matematicamente pouco precisos. Por esta razón, dáse unha definición formal de límite que precisa estes conceptos que di:

O límite dunha función f(x), cando x tende a c é L se e só se para todo $\varepsilon > 0 \;$ existe un $\delta > 0 \;$ tal que para todo número real x no dominio da función $0 < |x-c| < \delta \Rightarrow |f(x)-L| < \varepsilon$.

Isto, escrito en notación formal:

$\begin{array}{l} \underset {x\to c}{\lim} \, \,f(x) = L \iff \forall \varepsilon > 0 \ \ \exists \delta > 0 / \forall x \in \operatorname{Dom}(f), 0<|x-c|<\delta \longrightarrow |f(x)-L|<\epsilon \end{array}$

Esta notación dinos que se o límite existe, entón pódese estar tan preto del como queiramos. Se non se logra estar o suficientemente preto, entón a elección do δ non era a axeitada. A definición asegura que se o límite existe, entón é posible encontrar tal δ.

Non obstante, hai casos como por exemplo a función de Dirichlet $D:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ definida como:

$D(x) = \begin{cases} c & \mathrm{para \ } x \ \mathrm{racional} \\ d & \mathrm{para \ } x \ \mathrm{irracional} \\ \end{cases}$

onde non existe un número c para o cal exista $\lim_{x \to c}f(x)\quad$. Polo tanto, para demostrar a anterior afirmación é necesario facer uso do feito de que cada intervalo contén tanto números racionais como irracionais.

Límites laterais

O límite cando: x → x₀⁺ ≠ x → x₀^-. Polo tanto, o límite cando x → x₀ non existe.

x pode aproximarse a c tomando valores máis grandes que este (dereita):

$\lim_{x \to c^+}f(x) = L^+$

ou tomando valores máis pequenos (esquerda):

$\lim_{x \to c^-}f(x) = L^-$

Se os dous límites anteriores son iguais:

$\lim_{x \to c^-}f(x) = \lim_{x \to c^+}f(x) = L$

entón L pódese referir como o límite de f(x) en c. Dito doutro xeito, se estes non son iguais a L, entón o límite, como tal, non existe.

Funcións en espazos métricos

Existe outra maneira de definir o límite que ten que ver cos conceptos de bólas e veciñanzas:

Supóñase f : (M, d_M) → (N, d_N) unha función entre dous espazos métricos, p é un punto límite de M e L∈N. Dicimos que "o límite de f en c é L" e escribimos

$\lim_{x \to c}f(x) = L$

se e só se para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que para toda x∈M en 0 < d_M(x, c) < δ, temos d_N(f(x), L) < ε.

En termos de desigualdades, temos que o límite da función f(x) en x = c é L se se cumpre que para todo ε > 0 existe un δ(ε) > 0 tal que, para todo x:

$0 < \left| x - c \right| < \delta$ , entón $\left| f\left(x\right) - L \right| < \epsilon$

Da desigualdade 0 < |x - c| < δ obtense o seguinte:

1. x pertence á veciñanza (c - δ, c) U (c, c + δ).
2. x non é igual a c, pois 0 < |x - c| implica que x é distinto de c.
3. A solución de |f(x) - L| < ε pertence ao intervalo (L - ε, L + ε).

Isto proporciona a clave de comprensión do concepto de límite, pois mentres que o valor de x está na veciñanza horizontal arredor do punto c e oca en c con radio delta e centro c, aínda cando nese punto c non estea definida, o valor de y está no intervalo vertical con centro en f(c) e radio épsilon.

Unicidade do límite

Se o límite dunha función existe, entón este é único. Este teorema é válido en espazos topolóxicos Hausdorff.

Supoñamos que $\textstyle \lim_{x\rightarrow c}f(x)=L$, vexamos que non pode ser que $L'\neq L$ tamén verifique a definición. Para isto tomamos unha veciñanza E de L e unha veciñanza E' de L' que non se interseccionen. Por definición de límite $f(x)\in E$ para todo x nalgunha veciñanza oca de c, polo que non pode estar en E', evitando que o límite sexa L'.

Propiedades dos límites

Propiedades xerais

Se k é un escalar:

Límite de	Expresión
Unha constante	$\lim_{x \to c} k =\, k\,$
A función identidade	$\lim_{x \to c} x = \, c \,$
O produto dunha función e unha constante	$\lim_{x \to c} kf(x) =\, k\lim_{x \to c} f(x)\,$
Unha suma	$\lim_{x \to c} (f(x) + g(x)) =\, \lim_{x \to c} f(x) + \lim_{x \to c} g(x)\,$
Unha resta	$\lim_{x \to c} (f(x) - g(x)) =\, \lim_{x \to c} f(x) - \lim_{x \to c} g(x)\,$
Un produto	$\lim_{x \to c} (f(x) g(x)) =\, \lim_{x \to c} f(x) \cdot \lim_{x \to c} g(x)\,$
Un cociente	$\lim_{x \to c} {{f(x)}\over {g(x)}} =\, {{\lim_{x \to c} {f(x)}} \over {\lim_{x \to c} {g(x)}}}\,\ \mbox{si } \lim_{x \to c} g(x) \ne 0,$
Unha potencia	${\lim_{x \to c} f(x)^{g(x)}} =\, {\lim_{x \to c} f(x)^{\lim_{x \to c} g(x)}}\,\ \mbox{si } f(x) > 0$
Un logaritmo	${\lim_{x \to c} \log f(x)} =\, \log {\lim_{x \to c} f(x)}$
O número e	${\lim_{x \to 0} \left(1+x\right)^{1 \over x}} =\, {\lim_{x \to \infty} \left(1+{1 \over x}\right)^x } =\, e$
Función f(x) acotada e g(x) infinitesimal	${\lim_{x \to c} \left(f(x) \cdot g(x)\right)} =\, 0$.

Indeterminacións

Hai varios tipos de indeterminacións, entre elas as seguintes (considere $\infty \,\!$ como o límite que tende a infinito e $0 \,\!$ o límite cando tende a 0; e non o número 0):

Operación	Indeterminación
Subtracción	$\infty - \infty$
Multiplicación	$\infty \cdot 0$
División	$\cfrac{\infty}{\infty}, \cfrac{0}{0}$
Elevación a potencia	$1^\infty, \infty ^0, 0^0$

Exemplo.

0/0 é unha indeterminación, é dicir, non é posible, a priori, saber cal é o valor dun límite que tende a cero sobre outro que tamén tende a cero xa que o resultado non é sempre o mesmo. Por exemplo:

$\lim_{t\rightarrow 0}\frac{t}{t^2}=\infty$

$\lim_{t\rightarrow 0}\frac{t}{t}=1$

$\lim_{t\rightarrow 0}\frac{t^2}{t}=0$

Regra de l'Hôpital

Artigo principal: Regra de l'Hôpital.

Esta regra fai uso da derivada e ten un uso condicional. Esta só pode usarse directamente en límites «equivalentes» a 0/0 ou a ±∞/±∞. Outras indeterminacións requiren algunha manipulación alxébrica, polo xeral, establecer que o límite é igual a y, tomar o logaritmo natural en ambos membros, e entón aplicar a regra de l'Hôpital.

• $\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}$

Por exemplo: $\lim_{x \to 0} \frac{\sin (2x)}{\sin (3x)} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2x)}{3 \cos (3x)} = \frac{2 \sdot 1}{3 \sdot 1} = \frac{2}{3}.$

Límites trigonométricos

1. ${\lim_{x \to \infty} x \; \sin \left (\frac {2\pi}{x} \right ) \cos \left (\frac {2\pi}{x} \right )} =\,2\pi$
2. ${\lim_{x \to 0} {{\sin x} \over x}} = {\lim_{x \to 0} {{x \over \sin x}}} =\, 1 \,$
3. ${\lim_{x \to 0} {\tan x \over x}} = {\lim_{x \to 0} {x \over \tan x}} =\, 1 \,$
4. ${\lim_{x \to 0} {\sin x \over \tan x}}\, = {\lim_{x \to 0} {\tan x \over \sin x}} =\, 1$
5. ${\lim_{x \to 0} \frac {1-\cos x}{x^2} } =\, 1/2 \,$

Demostracións

Nalgunhas demostracións, por exemplo, o segundo destes límites trigonométricos, utiliza a inecuación sin(x) < x < tan(x) no intervalo (0,π/2), que relaciona x coas funcións seno e tanxente. Logo dividimos por sin(x), obtendo:

$1 < \frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x}$

Invertendo os termos da inecuación e cambiando os signos de desigualdade:

$\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1$

Calculando o límite cando x tende a 0:

$\lim_{x\to 0} \cos x < \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} < \lim_{x\to 0} 1$

O que é igual a:

$1 < \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} < 1$

Aplicando o teorema do sandwich, o límite necesariamente vale 1:

$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$

O terceiro dos límites demóstrase utilizando as propiedades dos límites e o valor obtido no límite anterior. É dicir:

${\lim_{x \to 0} \left (\frac {\tan x}{x} \right )} = {\lim_{x \to 0} \left (\frac {\sin x}{x} \right )} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos x}= 1 \cdot 1 = 1$

Véxase tamén

• Límite matemático
• Límite superior e límite inferior
• Topoloxía de rede, unha xeneralización do concepto de límite.

Ligazóns externas

• Límites e continuidade de funcións (en castelán)
• Límite en MathWorld (en inglés)