Función signo
y
=
sgn
x
{\displaystyle y=\operatorname {sgn} x}
En matemáticas , a función signo é unha función que devolve o signo dun número real . En notación matemática a función signo a miúdo represéntase como
sgn
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {sgn}(x)}
[ 1]
A función signo dun número real
x
{\displaystyle x}
[ 2]
sgn
x
:=
{
−
1
if
x
<
0
,
0
if
x
=
0
,
1
if
x
>
0.
{\displaystyle \operatorname {sgn} x:={\begin{cases}-1&{\text{if }}x<0,\\0&{\text{if }}x=0,\\1&{\text{if }}x>0.\end{cases}}}
Os números con función signo 1 son números positivos .
Os números con función signo -1 son números negativos .
A función signo é discontínua en x = 0 .
Calquera número real pódese expresar como o produto do seu valor absoluto e a súa función signo
x
=
|
x
|
sgn
x
.
{\displaystyle x=|x|\operatorname {sgn} x.}
Daquela, cando
x
{\displaystyle x}
sgn
x
=
x
|
x
|
=
|
x
|
x
{\displaystyle \operatorname {sgn} x={\frac {x}{|x|}}={\frac {|x|}{x}}}
Tamén temos:
sgn
x
n
=
(
sgn
x
)
n
{\displaystyle \operatorname {sgn} x^{n}=(\operatorname {sgn} x)^{n}}
A función signo é a derivada da función valor absoluto, sen incluír o cero.
d
|
x
|
d
x
=
sgn
x
para
x
≠
0.
{\displaystyle {\frac {{\text{d}}|x|}{{\text{d}}x}}=\operatorname {sgn} x{\text{ para }}x\neq 0.}
A función signo é diferenciable con valor 0 en tódalas partes agás en x = 0 .
Outra identidade, usando a función de Heaviside sería
sgn
x
=
2
H
(
x
)
−
1
{\displaystyle \operatorname {sgn} x=2H(x)-1}
A función signo pódese xeneralizar a números complexos como:
sgn
z
=
z
|
z
|
{\displaystyle \operatorname {sgn} z={\frac {z}{|z|}}}
para calquera número complexo
z
{\displaystyle z}
agás
z
=
0
{\displaystyle z=0}
. O signo dun número complexo dado
z
{\displaystyle z}
é o
punto da
circunferencia unitaria do
plano complexo que está máis próximo a
z
{\displaystyle z}
. Entón, para
z
≠
0
{\displaystyle z\neq 0}
,
sgn
z
=
e
i
arg
z
,
{\displaystyle \operatorname {sgn} z=e^{i\arg z},}
onde
arg
{\displaystyle \arg }
é o
argumento do número complexo .
Por razóns de simetría, e para manter unha axeitada xeneralización da función signo nos reais, tamén no dominio complexo adóitase definir, para
z
=
0
,
sgn
(
0
+
0
i
)
=
0
{\displaystyle z=0,\operatorname {sgn}(0+0i)=0}
Outra xeneralización da función de signo para expresións reais e complexas é
csgn
{\displaystyle {\text{csgn}}}
[ 3]
Re
(
z
)
{\displaystyle {\text{Re}}(z)}
Im
(
z
)
{\displaystyle {\text{Im}}(z)}
csgn
z
=
{
1
if
R
e
(
z
)
>
0
,
−
1
if
R
e
(
z
)
<
0
,
sgn
I
m
(
z
)
if
R
e
(
z
)
=
0
{\displaystyle \operatorname {csgn} z={\begin{cases}1&{\text{if }}\mathrm {Re} (z)>0,\\-1&{\text{if }}\mathrm {Re} (z)<0,\\\operatorname {sgn} \mathrm {Im} (z)&{\text{if }}\mathrm {Re} (z)=0\end{cases}}}
Logo temos (para
z
≠
0
{\displaystyle z\neq 0}
):
csgn
z
=
z
z
2
=
z
2
z
.
{\displaystyle \operatorname {csgn} z={\frac {z}{\sqrt {z^{2}}}}={\frac {\sqrt {z^{2}}}{z}}.}
