Fracción exipcia

O papiro matemático de Rhind

Unha fracción exipcia é unha suma finita de fraccións unitarias distintas, como

$${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{16}}.$$

Cada fracción na expresión ten un numerador igual a 1 e un denominador que é un enteiro positivo, e todos os denominadores difiren entre eles. O valor dunha expresión deste tipo é un número racional positivo ${\tfrac {a}{b}}$; por exemplo a fracción exipcia vista enriba suma ${\tfrac {43}{48}}$ . Cada número racional positivo pode ser representado por unha fracción exipcia. Nestas sumas tamén permitían incluír ${\tfrac {2}{3}}$ e ${\tfrac {3}{4}}$ como sumandos, e era un sistema normal de notación para números racionais no antigo Exipto. En notación matemática moderna, as fraccións exipcias sustituíronse polas nosas fraccións actuais e pola notación decimal. Aínda así, as fraccións exipcias seguen a ser un obxecto de estudo en teoría de números e nas matemáticas recreativas. Tamén, evidentemente, nos estudos de matemáticas antigas.

Aplicacións

Máis aló do seu uso histórico, as fraccións exipcias poden ter algunhas vantaxes prácticas sobre outras representacións. Por exemplo, as fraccións exipcias poden axudar a dividir obxectos en partes iguais. Por exemplo, se un quere dividir 5 pizzas igualmente entre 8 persoas, a fracción exipcia

$${\frac {5}{8}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{8}}$$

significa que cada persoa consegue media pizza máis un oitavo doutra pizza, por exemplo partindo 4 pizzas en 8 metades, e a pizza restante en 8 partes.

Primeiros tempos

A notación das fraccións exipcias foi desenvolvida no Reino de Medio de Exipto. Cinco textos dos primeiros tempos nos que aparecen fraccións exipcias son: Rolo de coiro de matemáticas exipcias, o papiro de Moscova, o Papiro Reisner, os papiros de Kahun e as táboas de madeira de Akhmim. Un texto máis tardío, no papiro de Rhind, aparecen melloras na escrita de fraccións exipcias. O papiro de Rhind foi escrito por Ahmes e data do Segundo Período Intermedio; inclúe unha táboa de expansións dos números racionais en fraccións exipcias para números racionais , así como 84 problemas descritos sen linguaxe matemático (word problems). As solucións a cada problema foron escritas coas respostas finais expresadas en notación de fraccións exipcias. Así e todo, os papiros de Kahun mostran que tamén usaban as fraccións comúns actuais.

Notación

Para escribir as fraccións unitarias, os exipcios colocaban o xeróglifo:

(er, "entre" ou posibelmente re, boca) por riba dun número para representar o recíproco daquel número. De xeito semellante debuxaban unha liña sobre a letra que representa o número. Por exemplo:

$={\frac {1}{3}}$

$={\frac {1}{10}}$

Tiñan símbolos especiais para${\tfrac {1}{2}}$,${\tfrac {2}{3}}$ e ${\tfrac {3}{4}}$ que se usaban para reducir o tamaño dos números máis grandes que ${\tfrac {1}{2}}$. O número restante escribíase como suma de fraccións unitarias segundo a notación de fraccións exipcias habitual.

$={\frac {1}{2}}$

$={\frac {2}{3}}$

$={\frac {3}{4}}$

Métodos de cálculo

Os historiadores modernos de matemáticas estudan o papiro de Rhind e outras fontes antigas nunha tentativa de descubrir os métodos que os exipcios utilizaban para calcular con fraccións exipcias. Malia que estas expansións xeralmente poden ser descritas como identidades alxébricas, os métodos usados polos exipcios poden non corresponder directamente con estas identidades. Alén diso, as expansións das táboas non coinciden cunha única identidade; no seu lugar, diferentes identidades coinciden con expansións para denominadores de números primos e de números compostos, e máis dunha identidade encaixa nos números de cada tipo:

• Para denominadores primos impares pequenos p, usaban
  $${\frac {2}{p}}={\frac {1}{(p+1)/2}}+{\frac {1}{p(p+1)/2}}$$
  .
• Para denominadores primos máis grandes, usaban
  $${\frac {2}{p}}={\frac {1}{A}}+{\frac {2A-p}{Ap}},$$
  onde A é un número con moitos divisores (como un número práctico) entre p/2 e p. O termo restante 2A-p/Ap expande como suma de divisores de 2A-p, formando unha fracción d/Ap para cada un dos d. Como exemplo, damos a expansión de Ahmes ${\tfrac {2}{37}}={\tfrac {1}{24}}+{\tfrac {1}{111}}+{\tfrac {1}{296}}$ con A=24 e 2A-p=11=8+3, pois ${\tfrac {1}{111}}={\tfrac {8}{24\cdot 37}}$ e ${\tfrac {1}{296}}={\tfrac {3}{24\cdot 37}}$. Pode haber moitas expansións diferentes deste tipo para un p dado. Con todo, K. S. Marrón observou, que a expansión escollida polo exipcios tendía a que o denominador máis grande fose tan pequeno como posíbel.
• Para algúns denominadores compostos, con factores $p\cdot q$, a expansión para ${\tfrac {2}{pq}}$ ten a forma dunha expansión ${\tfrac {2}{p}}$ con cada denominador multiplicado por $q$. Mais hai excepcións, notabelmente ${\tfrac {2}{35}}$, ${\tfrac {2}{91}}$, e ${\tfrac {2}{95}}$.
• Tamén pode expandirse como
  $${\frac {2}{pq}}={\frac {1}{p(p+q)/2}}+{\frac {1}{q(p+q)/2}}.$$
  Máis tarde os escribas utilizaron unha forma máis xeral desta expansión,
  $${\frac {n}{pq}}={\frac {1}{p(p+q)/n}}+{\frac {1}{q(p+q)/n}},$$
  que funciona cando $p+q$ é un múltiplo de $n$.
• A expansión final no papiro de Rhind, ${\tfrac {2}{101}}$, (101 primo) non encaixa en ningunha destas formas, polo contrario utiliza unha expansión
  $${\frac {2}{p}}={\frac {1}{p}}+{\frac {1}{2p}}+{\frac {1}{3p}}+{\frac {1}{6p}}$$
  Así temos ${\tfrac {2}{101}}={\tfrac {1}{101}}+{\tfrac {1}{202}}+{\tfrac {1}{303}}+{\tfrac {1}{606}}$. Unha expansión parecida utilízase en varios casos do Rolo de coiro de matemáticas exipcias.

Usos máis tardíos

  Fibinacci no Liber Abaci inclúe cálculos con identidades para fraccións unitarias, varios métodos implican identidades alxébricas como

$${\frac {a}{ab-1}}={\frac {1}{b}}+{\frac {1}{b(ab-1)}}.$$

Por exemplo, Fibonacci representa a fracción  8/11 separando o numerador como suma de dous números, cada un deles dividindo o denominador máis 1, 8/11 = 6/11 + 2/11 e despois aplica a identidade de enriba a cada parte, producindo a expansión 8/11 = 1/2 + 1/22 + 1/6 + 1/66. Fibonacci describe métodos similares para denominadores que son dous ou tres menos que un número con moitos factores.

No caso raro que estoutros métodos fallen, Fibonacci suxire un algoritmo cobizoso para fraccións exipcias, no que repetidamente escolle a fracción unitaria co denominador máis pequeno que non sexa máis grande que a fracción restante: isto é, en notación máis moderna

$${\frac {x}{y}}={\frac {1}{\,\left\lceil {\frac {y}{x}}\right\rceil \,}}+{\frac {(-y)\,{\bmod {\,}}x}{y\left\lceil {\frac {y}{x}}\right\rceil }},$$

Onde ⌈ ⌉ representa a función teito; e dado que (−y) mod x < x, este método produce unha expansión finita.

Comparado con expansións exipcias antigas ou con métodos máis modernos, este método pode producir expansións que son bastante longas. Podemos ver un caso:

$${\frac {5}{121}}={\frac {1}{25}}+{\frac {1}{757}}+{\frac {1}{763\,309}}+{\frac {1}{873\,960\,180\,913}}+{\frac {1}{1\,527\,612\,795\,642\,093\,418\,846\,225}},$$

mentres outros métodos producen estoutra expansión máis curta

$${\frac {5}{121}}={\frac {1}{33}}+{\frac {1}{121}}+{\frac {1}{363}}.$$

A secuencia de Sylvester: 2, 3, 7, 43, 1807, ... pode ser vista como se fose xerada por unha expansión cobizosa infinita deste tipo para o número 1, onde en cada paso escollemos o denominador ⌊ y/x ⌋ + 1 en vez de ⌈ y/x ⌉.

Teoría de números moderna

Moitos matemáticos do campo da teória de números moderna continúan a estudar problemas relacionados coas fraccións exipcias. Estes inclúen problemas sobre acoutación da lonxitude ou do denominador máximo en representacións de fraccións exipcias. Entre outras cousas mostraron que existen expansións para calquera conxunto suficientemente denso de suficientes números suaves.

• Unha das primeiras publicacións de Paul Erdős probou que non é posíbel para unha progresión harmónica formar unha representación en forma de fracción exipcia dun enteiro. A razón é que, necesariamente, polo menos un denominador da progresión será divisible por un número primo que non divide a ningún outro denominador. Unha publicación posterior de Erdős, case 20 anos após a súa morte, proba que cada enteiro ten unha representación na que todos os denominadores son produtos de tres primos.
• A conxectura de Erdős-Graham en teoría de números combinatorial estabelece que, se os enteiros maiores que 1 son particionados en finitamente moitos subconxuntos, daquela un dos subconxuntos ten un subconxunto finito del mesmo cuxos recíprocos suman 1. Isto é, para cada r > 0, e cada r-coloreado dos enteiros maiores que 1, hai un subconxunto monocromático finito S destes enteiros de tal xeito que
  $$\sum _{n\in S}{\frac {1}{n}}=1.$$
  A conxectura foi probada no 2003 por Ernest S. Croot III.
• O problema de Znám e os números primarios pseudoperfectos está estreitamente relacionado coa existencia de fraccións exipcias da forma
  $$\sum {\frac {1}{x_{i}}}+\prod {\frac {1}{x_{i}}}=1.$$
  Por exemplo, o número primario pseudoperfecto 1806 é o produto dos números primos 2, 3, 7, e 43, e dá lugar á fracción exipcia 1 = 1/2 + 1/3 + 1/7 + 1/43 + 1/1806.
• As fraccións exipcias definíanse para denominadores distintos, mais este requisito pode ser relaxado para deixar denominadores repetidos. Mais Takenuchi en 1921 deu unha transformación de dúas fraccións unitarias iguais en dúas diferentes
  $${\frac {1}{k}}+{\frac {1}{k}}={\frac {2}{k+1}}+{\frac {2}{k(k+1)}}$$
  se k é impar, ou dúas fraccións en unha 1/k + 1/k = 2/k se $k$ é par.
• Graham e Jewett probou que é posíbel converter expansións con denominadores repetidos en fraccións exipcias máis longas,
  $${\frac {1}{k}}+{\frac {1}{k}}={\frac {1}{k}}+{\frac {1}{k+1}}+{\frac {1}{k(k+1)}}.$$
• Calquera fracción  x/y ten unha representación de fracción exipcia na que o denominador máximo está acoutado por
  $$O\left(y\log y\left(\log \log y\right)^{4}\left(\log \log \log y\right)^{2}\right),$$
  e unha representación con como máximo
  $$O\left({\sqrt {\log y}}\right)$$
  termos. O número de termos ás veces é proporcional a O(log log y). Existe a conxectura de que o número de termos de orde O(log log y) son sempre abondos. É tamén posíbel atopar representacións nas que ambos os dous, o denominador máximo e o número de termos son pequenos.
• Graham (1964) caracterizou os números que poden ser representados por fraccións exipcias nas que todos os denominadores son n-ésimas potencias. En particular, un número racional q pode representar como unha fracción exipcia con denominadores cadrados se e só se q está en un dos dous intervalos semi-abertos
  $$\left[0,{\frac {\pi ^{2}}{6}}-1\right)\cup \left[1,{\frac {\pi ^{2}}{6}}\right),$$
  e temos que $\zeta (2)={\frac {\pi ^{2}}{6}}$.
• Martin (1999) mostrou que calquera número racional ten expansións moi densas, usando unha fracción constante dos denominadores ata N para calquera N suficientemente grande.
• A expansión de Engel, é unha forma de expansión en fraccións exipcias na que cada denominador é un múltiplo do anterior:
  $$x={\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}a_{3}}}+\cdots .$$
  Ademais, a secuencia dos $a_{i}$ debe ser non decrecente. Cada número racional ten unha expansión finita de Engel, mentres que os números irracionais teñen unha expansión infinita de Engel.
• Anshel & Goldfeld (1991) estudaron os números que teñen múltiples fraccións exipcias distintas co mesmo número de termos e o mesmo produto dos denominadores; por exemplo
  $${\frac {5}{12}}={\frac {1}{4}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{15}}={\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{20}}.$$
  Aplican os seus resultados á caracterización mediante un número pequeno de parámetros pequenos dos produtos libres dos grupos abelianos: o rango do commutador do subgrupo, o número de termos no produto libre, e o produto das ordes dos factores.
• O número de diferentes representacións con $n$ termos da fracción exipcia do número 1 esta acoutado superiormente e inferiormente por funcións exponenciais duplas de n.

Problemas abertos

Algúns problemas notábeis fican aínda non resolvidos, a pesar dun esforzo considerábel por múltiples matemáticos.

• A conxectura de Erdős-Straus ocúpase da lonxitude da expansión máis curta para unha fracción da forma  4/n. Existe unha expansión
  $${\frac {4}{n}}={\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}+{\frac {1}{z}}$$
  para cada n? Sábese que é certo para todo n n < 10¹⁷, e para todos os demais agás posiblemente algún de entre $\{1,121=11^{2},169=13^{2},289=17^{2},361=19^{2},529=23^{2}\}{\pmod {840}}$, mais a proba xeral da veracidade da conxectura segue sen ser coñecida.
• Non se sabe se para cada fracción con denominador impar existe unha expansión cobizosa .
• É posíbel utilizar algoritmos de forza bruta para atopar a representación de fraccións exipcias dun número dado co menor número de termos posíbeis ou minimizando o denominador máis grande; no entanto, eses algoritmos poden ser bastante ineficientes. Permanece descoñecida a existencia de algoritmos en tempo polinomial, ou máis xeralmente de complexidade computational para estes problemas.

Guy (2004) describe estes problemas en máis detalle e lista numerosos problemas abertos adicionais.

Véxase tamén

Outros artigos

• Lista de sumas de recíprocos
• Crebacabezas das partillas de 17 animais

Bibliografía

• Anshel, Michael M.; Goldfeld, Dorian (1991). Partitions, Egyptian fractions, and free products of finite abelian groups. Proceedings of the American Mathematical Society 111. pp. 889–899. MR 1065083. doi:10.1090/S0002-9939-1991-1065083-1. 
• Beeckmans, L. (1993). The splitting algorithm for Egyptian fractions. Journal of Number Theory 43. pp. 173–185. MR 1207497. doi:10.1006/jnth.1993.1015. 
• Botts, Truman (1967). A chain reaction process in number theory. Mathematics Magazine 40. pp. 55–65. JSTOR 2688508. MR 0209217. doi:10.2307/2688508. 
• Breusch, R. (1954). A special case of Egyptian fractions, solution to advanced problem 4512. American Mathematical Monthly 61. pp. 200–201. JSTOR 2307234. doi:10.2307/2307234. 
• Bruins, Evert M. (1957). Platon et la table égyptienne 2/n [Plato and the Egyptian 2/n table]. Janus (en French) 46. pp. 253–263. 
• Butler, Steve; Erdős, Paul; Graham, Ron (2015). Egyptian fractions with each denominator having three distinct prime divisors (PDF). Integers 15. p. Paper No. A51, 9. MR 3437526. 
• Dick, Lara K.; Ogle, Rebecca (September 2018). Think like an Egyptian. Ohio Journal of School Mathematics 80. pp. 1–7. 
• Erdős, P. (1932). Egy Kürschák-féle elemi számelméleti tétel általánosítása [Generalization of an elementary number-theoretic theorem of Kürschák] (PDF). Mat. Fiz. Lapok (en Hungarian) 39. pp. 17–24. 
• Erdős, Pál (1950). Az $\textstyle {\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}={\frac {a}{b}}$ egyenlet egész számú megoldásairól [On a Diophantine equation] (PDF). Matematikai Lapok (en Hungarian) 1. pp. 192–210. MR 0043117. 
• Eves, Howard (1953). An Introduction to the History of Mathematics. Holt, Reinhard, and Winston. ISBN 0-03-029558-0. 
• Gardner, Milo (2002). "The Egyptian Mathematical Leather Roll, attested short term and long term". En Gratton-Guinness, Ivor. History of the Mathematical Sciences. Hindustan Book Co. pp. 119–134. ISBN 81-85931-45-3. 
• Gillings, Richard J. (1982). [Fracción exipcia en Google Books. Mathematics in the Time of the Pharaohs]. Dover. p. 50. ISBN 978-0-486-24315-3. 
• Graham, R. L. (1964). On finite sums of reciprocals of distinct nth powers (PDF). Pacific Journal of Mathematics 14. pp. 85–92. MR 0159788. doi:10.2140/pjm.1964.14.85. 
• Graham, Ronald L. (2013). "Paul Erdős and Egyptian fractions" (PDF). Erdös centennial. Bolyai Soc. Math. Stud. 25. János Bolyai Math. Soc., Budapest. pp. 289–309. MR 3203600. doi:10.1007/978-3-642-39286-3_9. 
• Guy, Richard K. (2004). "D11. Egyptian Fractions". Unsolved problems in number theory (3rd ed.). Springer-Verlag. pp. 252–262. ISBN 978-0-387-20860-2. 
• Hultsch, Friedrich (1895). Die Elemente der ägyptischen Theilungsrechnung: Erste Anhandlung. Abhandlungen der philologisch-historischen Classe der Königlich-Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften, Sächsische Akademie der Wissenschaften zu Leipzig Philologisch-Historische Klasse (en German) 17 (Leipzig: S. Hirzel). 
• Katz, Victor J., ed. (2007). The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook. Princeton: Princeton University Press. 
• Knorr, Wilbur R. (1982). Techniques of fractions in ancient Egypt and Greece. Historia Mathematica 9. pp. 133–171. MR 0662138. doi:10.1016/0315-0860(82)90001-5. 
• Konyagin, S. V. (2014). Double exponential lower bound for the number of representations of unity by Egyptian fractions. Mathematical Notes 95. pp. 277–281. MR 3267215. doi:10.1134/S0001434614010295. 
• Koshaleva, Olga; Kreinovich, Vladik (2021). Egyptian fractions as approximators. Mathematical Structures and Modeling 1. pp. 46–59. 
• Kusuba, Takanori (2004). "Indian rules for the decomposition of fractions". En Burnett, Charles; Hogendijk, Jan P.; Plofker, Kim; Yano, Michio. Studies in the History of the Exact Sciences in honour of David Pingree. Islamic Philosophy Theology and Science: Text and Studies 54. Leiden: Brill. pp. 497–516. MR 2054213. 
• Martin, G. (1999). Dense Egyptian fractions. Transactions of the American Mathematical Society 351. pp. 3641–3657. MR 1608486. arXiv:math/9804045. doi:10.1090/S0002-9947-99-02327-2. 
• Ritter, Jim (2002). "Closing the Eye of Horus: the Rise and Fall of 'Horus-Eye Fractions'". En Steele, J.; Imhausen, A. Under One Sky: Astronomy and Mathematics in the ancient Near East. Münster: Ugarit-Verlag. pp. 297–323. 
• Robson, E.; Stedall, J., eds. (2009). The Oxford Handbook of the History of Mathematics. Oxford: Oxford University Press. 
• Sigler, Laurence E. (trans.) (2002). Fibonacci's Liber Abaci. Springer-Verlag. ISBN 0-387-95419-8. 
• Stewart, B. M. (1954). Sums of distinct divisors. American Journal of Mathematics 76. pp. 779–785. JSTOR 2372651. MR 0064800. doi:10.2307/2372651. 
• Stewart, I. (1992). The riddle of the vanishing camel. Scientific American 266. pp. 122–124. Bibcode:1992SciAm.266f.122S. doi:10.1038/scientificamerican0692-122. 
• Struik, Dirk J. (1967). A Concise History of Mathematics. Dover. pp. 20–25. ISBN 0-486-60255-9. 
• Takenouchi, T. (1921). On an indeterminate equation. Proceedings of the Physico-Mathematical Society of Japan. 3rd ser. 3. pp. 78–92. doi:10.11429/ppmsj1919.3.6_78. 
• Tenenbaum, G.; Yokota, H. (1990). Length and denominators of Egyptian fractions. Journal of Number Theory 35. pp. 150–156. MR 1057319. doi:10.1016/0022-314X(90)90109-5. 
• Vose, M. (1985). Egyptian fractions. Bulletin of the London Mathematical Society 17. p. 21. MR 0766441. doi:10.1112/blms/17.1.21. 
• Wagon, Stan (1999). Mathematica in Action. Springer. pp. 321–329. ISBN 0-387-98684-7. 
• Wilson, P. Holt; Edgington, Cynthia P.; Nguyen, Kenny H.; Pescosolido, Ryan C.; Confrey, Jere (November 2011). Fractions: how to fair share. Mathematics Teaching in the Middle School 17. pp. 230–236. JSTOR 10.5951/mathteacmiddscho.17.4.0230. doi:10.5951/mathteacmiddscho.17.4.0230. 
• Winkler, Peter (2004). "Uses of fuses". Mathematical Puzzles: A Connoisseur's Collection. A K Peters. pp. 2, 6. ISBN 1-56881-201-9. 
• Yokota, Hisashi (1988). On a problem of Bleicher and Erdős. Journal of Number Theory 30. pp. 198–207. MR 961916. doi:10.1016/0022-314X(88)90017-0. 

Ligazóns externas

• Brown, Kevin. "Egyptian Unit Fractions". 
• Eppstein, David. "Egyptian Fractions". 
• Knott, Ron. "Egyptian fractions". 
• Weisstein, Eric W., "Egyptian Fraction", MathWorld
• Giroux, André. "Egyptian Fractions".  and Zeleny, Enrique. "Algorithms for Egyptian Fractions". , The Wolfram Demonstrations Project, based on programs by David Eppstein.