Hélice (xeometría)

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
Un exemplo de hélice natural, utilizada pola videira.
Hélice

A hélice (do grego έλικας/έλιξ,hélix, espiral), é unha curva que se pode explicar como o enrolamento regular dunha recta sobre un cilindro, tendo polo tanto forma de parafuso ou espiral (máis correctamente, helicoidal).

En matemática, a hélice é descrita como unha curva no espazo tridimensional que combina un movemento de rotación arredor dun punto cun movemento de translación deste punto. As tres ecuacións a seguir definen unha hélice en coordenadas rectangulares:

En coordenadas cilíndricas (r, θ, h), a mesma hélice é descrita por:

As hélices son importantes na bioloxía, onde o ácido desoxirribonucleico está constituído por cadeas helicoidais e moitas proteínas posúen subestruturas helicoidais, coñecidas como alfa-hélices.

Definición Matemática[editar | editar a fonte]

Toda curva con tanxentes que formen un ángulo α, constante, cunha dirección fixa do espazo recibe o nome de hélice.

Se a súa ecuación vectorial é , sendo s o arco, quere dicir que existe un vector unitario fixo tal que para todo s verifícase (constante).

Teorema de Lancret[editar | editar a fonte]

Unha caracterización das hélices vén dada polo teorema coñecido coma teorema de Lancret, que dí que é condición necesaria e suficiente para que unha curva sexa unha hélice que se verifique , sendo tanα a constante, onde é a curvatura e a torsión.

Hélices importantes[editar | editar a fonte]

Hélice cilíndrica[editar | editar a fonte]

Unha hélice cilíndrica é unha curva que corta as xeratrices dun cilindro recto cun ángulo constante. Isto quere dicir que a distancia entre dous puntos de corte consecutivos da hélice con calquera das mencionadas xeratrices (rectas paralelas ao eixo do cilindro e contidas na súa superficie externa) é unha constante da curva, independente da xeratriz ou os puntos escollidos, chamada "paso de hélice".

Expresión analítica[editar | editar a fonte]

Dende un punto de vista analítico, unha hélice cilíndrica queda definida polas seguintes expresións:

O paso de hélice (o que "avanza" cando a curva dá unha volta ao redor do cilindro) é:

Propiedades[editar | editar a fonte]

  • A proxección da hélice sobre un plano paralelo ao eixo do cilindro é unha curva sinusoidal.
  • A xeodésica dun cilindro recto de base circular é un arco de hélice (é dicir, o camiño máis curto entre dous puntos situados na superficie dun cilindro, que non saia de dita superficie, é un anaco de hélice).

Hélice cónica[editar | editar a fonte]

Chámase hélice cónica a toda hélice situada sobre un cono.

Expresión analítica[editar | editar a fonte]

Hélice esférica[editar | editar a fonte]

Chámase hélice esférica a toda hélice contida nunha esfera. Por ser hélice verificarase (constante), ou o que é o mesmo .

Por ser unha curva esférica, a esfera osculatriz será constante, sendo dita esfera osculatriz a esfera sobre a que está situada a curva. Entón o radio da esfera osculatriz é constante. Polo tanto (constante).

Como , será

Facendo o cambio , obtense:

, ou o que é o mesmo,

Integrando a igualdade anterior obtense: . Pódese facer C=0, tomando coma orixe de arcos, é dicir s = 0, o punto no que e polo tanto . Aceptando esta hipótese e elevando ao cadrado obtense . Como será:

e como resulta , e polo tanto:

As ecuacións obtidas anteriormente determinan as ecuacións intrínsecas das hélices esféricas. Despexando obtense:

No caso xeral, sen facer a particularización C=0, obtense coma ecuacións intrínsecas:

Véxase tamén[editar | editar a fonte]

Outros artigos[editar | editar a fonte]

Ligazóns Externas[editar | editar a fonte]