Ecuación de Liénard
![]() | Esta páxina ou sección está a editarse nestes intres. Para evitar posibles conflitos de edición, non edites esta páxina ou sección mentres vexas esta mensaxe. Revisa o historial de edicións para saber quen traballa nela. O usuario Andresv.63 (conversa · contribucións) realizou a última edición na páxina hai 7 horas. O tempo máximo de presenza deste marcador é dun mes dende a última edición do usuario que o puxo; pasado ese tempo debe retirarse. |
A ecuación de Liénard é unha ecuación diferencial ordinaria estudada en profundidade polo físico Alfred-Marie Liénard no seu artigo de 1928[1]. Esta ecuación ten interese, dentro dos sistemas dinámicos, en problemas de circuítos eléctricos, acústica e no desenvolvemento da radio. Esta ecuación xeneraliza os osciladores lineais.
Para esta ecuación, Liénard encontrou condicións suficientes sobre as funcións coeficiente para garantir a existencia e unicidade de ciclo límite para os sistemas planos asociados. Este resultado, que recibe o nome de Teorema de Liénard, pódese aplicar, por exemplo, ao oscilador de Van der Pol.
Definición[editar | editar a fonte]
Denomínase ecuación de Liénard a unha ecuación diferencial de segunda orde da forma
Teorema de Liénard[editar | editar a fonte]
Sexan dúas funcións de clase 1. Se se satisfan as seguintes condicións,
- A función é par e a función é impar,
- para todo non nulo,
- ten exactamente unha raíz positiva en , é negativa en , positiva e monótona crecente en e tal que ,
entón o sistema asociado á ecuación de Liénard ten un único ciclo límite que é asintóticamente estable.
Pódese consultar a demostración deste resultado en [2].
Aplicación ao oscilador de van der Pol[editar | editar a fonte]
O oscilador de van der Pol segue unha ecuación da forma
Pódese comprobar que esta ecuación está nas condicións do Teorema de Liénard para calquera valor de positivo.
Notas[editar | editar a fonte]
- ↑ Liénard, Alfred-Marie (1928). "Etude des oscillations entretenues". Revue Générale de l'Électricité 23: 901–912, 946–954.
- ↑ Simmons, George Finlay (1977). Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas históricas. McGraw-Hill. ISBN 968-451-240-6.
Véxase tamén[editar | editar a fonte]
Ligazóns externas[editar | editar a fonte]
- "Liénard equation". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press. 2001 [1994].
- LienardSystem at PlanetMath.