Saltar ao contido

Ecuación de Liénard

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.

A ecuación de Liénard é unha ecuación diferencial ordinaria estudada en profundidade polo físico Alfred-Marie Liénard no seu artigo de 1928[1]. Esta ecuación ten interese, dentro dos sistemas dinámicos, en problemas de circuítos eléctricos, acústica e no desenvolvemento da radio. Esta ecuación xeneraliza os osciladores lineais.

Para esta ecuación, Liénard encontrou condicións suficientes sobre as funcións coeficiente para garantir a existencia e unicidade de ciclo límite para os sistemas planos asociados. Este resultado, que recibe o nome de Teorema de Liénard, pódese aplicar, por exemplo, ao oscilador de Van der Pol.

Definición

[editar | editar a fonte]

Denomínase ecuación de Liénard a unha ecuación diferencial de segunda orde da forma

Teorema de Liénard

[editar | editar a fonte]

Sexan dúas funcións de clase 1. Se se satisfan as seguintes condicións,

  • A función é par e a función é impar,
  • para todo non nulo,
  • ten exactamente unha raíz positiva en , é negativa en , positiva e monótona crecente en e tal que ,

entón o sistema asociado á ecuación de Liénard ten un único ciclo límite que é asintóticamente estable.

Pódese consultar a demostración deste resultado en [2].

Aplicación ao oscilador de van der Pol

[editar | editar a fonte]

O oscilador de van der Pol segue unha ecuación da forma

Pódese comprobar que esta ecuación está nas condicións do Teorema de Liénard para calquera valor de positivo.

  1. Liénard, Alfred-Marie (1928). "Etude des oscillations entretenues". Revue Générale de l'Électricité 23: 901–912, 946–954. 
  2. Simmons, George Finlay (1977). Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas históricas. McGraw-Hill. ISBN 968-451-240-6. 

Véxase tamén

[editar | editar a fonte]

Ligazóns externas

[editar | editar a fonte]