Constante de Rydberg

Para outras páxinas con títulos homónimos véxase: Constante (homónimos).

A constante de Rydberg, chamada así polo físico sueco Johannes Rydberg, é unha constante física relativa ao espectro atómico na ciencia da espectroscopia. Rydberg determinou o seu valor primeiro empiricamente por medio da espectroscopia, e posteriormente descubriuse que o seu valor podíase calcular mediante o uso doutras constantes fundamentais da mecánica cuántica.

A constante de Rydberg representa o valor límite do número de onda máis alto (a inversa da lonxitude de onda) de calquera fotón que poida ser emitido dende o átomo de hidróxeno, ou, alternativamente, o número de onda de calquera fotón de enerxía mais baixa capaz de ionizar o átomo de hidróxeno dende o seu estado fundamental (ou noutros termos, o seu espectro de emisión e de absorción). O espectro do hidróxeno pode ser expresado simplemente en termos da constante de Rydberg, usando a fórmula de Rydberg.

Valor da constante de Rydberg

Facendo uso da asunción simplificada de que a masa do núcleo atómico e infinita comparada coa masa do electrón, a constante é (conforme os resultados do CODATA 2002):

$R_{\infty }={\frac {m_{e}e^{4}}{8\varepsilon _{0}^{2}h^{3}c}}=1.097\;373\;156\;852\;5\;(73)\times 10^{7}\ \mathrm {m} ^{-1},$

sendo m_e a masa en repouso do electrón, e a carga elemental, ε₀ a permitividade do espazo libre, h a constante de Planck, e c a velocidade da luz no baleiro.

Esta constante usase a miúdo en física atómica na forma dunha enerxía:

$hcR_{\infty }=13.605\;6923(12)\ \mathrm {eV} \equiv 1\ \mathrm {Ry} .$

Existen dúas complicacións. Unha e o caso dun dos ións do hidróxeno, isto e, un átomo con número atómico Z que só ten un electrón, como C⁵⁺. Neste caso, os números de onda e de enerxía dos fotóns escálanse nun factor de Z², pasando por enriba os efectos relativistas. O outro caso é o da masa do núcleo atómico, que na realidade non é infinita comparada coa masa do electrón. T. A predición espectral debese corrixir substituíndo a masa reducida da masa do electrón. A constante de Rydberg R_M para un átomo cun electrón vén dada por

$R_{M}={\frac {R_{\infty }}{1+m_{e}/M}},$

sendo m_e a masa en repouso do electrón, e M a masa do núcleo atómico.

A constante de Rydberg e unha das máis e mellor determinadas constantes da física, cunha incerteza experimental relativa inferior a 7 partes por billón (no computo inglés por trillón). A capacidade de medila directamente con tan alta precisión confirma as proporcións dos valores das outras constantes que a definen, e pódese utilizar para probar rigorosas teorías físicas como a electrodinámica cuántica.

Outras expresións da constante

A constante de Rydberg pódese expresar tamén coas seguintes ecuacións:

$R_{\infty }={\frac {\alpha ^{2}m_{e}c}{4\pi \hbar }}={\frac {\alpha ^{2}}{2\lambda _{e}}}\$

e

$hcR_{\infty }={\frac {hc\alpha ^{2}}{2\lambda _{e}}}={\frac {hf_{C}\alpha ^{2}}{2}}={\frac {\hbar \omega _{C}}{2}}\alpha ^{2}={\dfrac {\hbar ^{2}}{2m_{e}a_{0}^{2}}}.$

sendo

$h\!$ a constante de Planck

$\hbar =h/2\pi$ a constante de Planck reducida,

$c\!$ a velocidade da luz no baleiro,

$\alpha \!$ a constante da estrutura fina,

$\lambda _{e}=h/m_{e}c\!$ a lonxitude de onda de Compton do electrón,

$f_{C}=c/\lambda _{e}\!$ a frecuencia de Compton do electrón,

$\omega _{C}=2\pi f_{C}\!$ a frecuencia angular de Compton do electrón,

$a_{0}={\frac {4\pi \varepsilon _{0}\hbar ^{2}}{e^{2}m_{e}}}$ o raio de Bohr.

A derivación da constante de Rydberg na mecánica cuántica

Historicamente, a fórmula de Rydberg elaborouse empiricamente (experimentalmente), e de xeito previo ao desenvolvemento da teoría cuántica. Para coñecer o seu significado en termos da teoría cuántica podemos partir da fórmula

$E_{\mathrm {total} }={\frac {-m_{e}e^{4}}{8\epsilon _{0}^{2}h^{2}}}.{\frac {1}{n^{2}}}\$

para a enerxía dun átomo cun electrón e un núcleo cunha carga de +1 e unha masa infinita. Por suposto que os núcleos atómicos non teñen unha masa infinita na realidade, mais incluso o máis lixeiro núcleo, un simple protón, é unhas 1800 veces mais pesado que un electrón, facendo razoable esta consideración nunha primeira aproximación. Esta fórmula enerxética pode ser derivada tanto no modelo atómico de Bohr ou nun completo tratamento mecánico-cuántico do átomo de hidróxeno. Polo tanto o cambio enerxético producido polo paso do electrón ao cambiar dun valor $n$ a outro (cambio de nivel cuántico) e

$\Delta E={\frac {m_{e}e^{4}}{8\epsilon _{0}^{2}h^{2}}}\left({\frac {1}{n_{\mathrm {inicial} }^{2}}}-{\frac {1}{n_{\mathrm {final} }^{2}}}\right)\$

simplemente cambiando as unidades da lonxitude de onda $\left({\frac {1}{\lambda }}={\frac {E}{hc}}\rightarrow \Delta {E}=hc\Delta \left({\frac {1}{\lambda }}\right)\right)\$ obtemos

$\Delta \left({\frac {1}{\lambda }}\right)={\frac {m_{e}e^{4}}{8\epsilon _{0}^{2}h^{3}c}}\left({\frac {1}{n_{\mathrm {inicial} }^{2}}}-{\frac {1}{n_{\mathrm {final} }^{2}}}\right)\$

sendo: $h\$ a constante de Planck, $m_{e}\$ a masa en repouso do electrón, $e\$ a carga elemental, $c\$ a velocidade da luz no baleiro, e $\epsilon _{0}\$ a permitividade do espazo libre; $n_{\mathrm {inicial} }\$ e $n_{\mathrm {final} }\$ son o número de electróns orbitantes (ao comezo e ao final) na última capa do átomo de hidróxeno. Polo tanto, atopamos a constante de Rydberg para o noso hipotético sistema dun núcleo con masa infinita, carga +1, e un simple electrón, que resulta ser:

$R_{\infty }={\frac {m_{e}e^{4}}{8\epsilon _{0}^{2}h^{3}c}}$

Véxase tamén

Outros artigos

• Fórmula de Rydberg

Ligazóns externas

• Coffman, Moody L. "Correction to the Rydberg Constant for Finite Nuclear Mass." American Journal of Physics. Volume 33, Issue 10, pp. 820-823 (en inglés)
• CODATA recommendations 2006 (en inglés)
• Mathworld (en inglés)