Teorema de Ptolomeo

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
Un cuadrilátero cumpre o Teorema de Ptolomeo se e só se é cíclico.

O teorema de Ptolomeo é unha relación en xeometría euclidiana entre os catro lados e as dúas diagonais dun cuadrilátero cíclico. Recibe o seu nome do astrónomo e matemático grego Claudio Ptolomeo.

Se un cuadrilátero está dado polos seus catro vértices A, B, C, D, o teorema afirma que:

\overline{AC}\cdot \overline{BD}=\overline{AB}\cdot \overline{CD}+\overline{BC}\cdot \overline{AD}

Onde a liña sobre as Letras indica a lonxitude dos segmentos entre os vértices correspondentes.

Esta relación pode ser con palabras do seguinte xeito:

En todo cuadrilátero inscribible nunha circunferencia, a suma dos produtos dos pares de lados opostos é igual ao produto das súas diagonais.

Demostración xeométrica[editar | editar a fonte]

Demostración do teorema de Ptolomeo
  1. Sexa ABCD un cuadrilátero cíclico.
  2. Nótese que no segmento BC, hai os ángulos inscritos ∠BAC = ∠BDC, e en AB, ∠ADB = ∠ACB.
  3. Agora, por ángulos comúns △ABK é semellante a △DBC, e △ABD ∼ △KBC
  4. Polo tanto AK/AB = CD/BD, e CK/BC = DA/BD,
    1. Polo tanto AK·BD = AB·CD, e CK·BD = BC·DA;
    2. O que implica AK·BD + CK·BD = AB·CD +BC·DA
    3. É dicir, (AK+CK)·BD = AB·CD + BC·DA;
    4. Como AK+CK = AC, polo tanto AC·BD = AB·CD + BC·DA; como se quería demostrar.

Nótese que a demostración é válida só para cuadriláteros concíclicos simples. Se o cuadrilátero é complexo entón K encontrarase fóra do segmento AC, e polo tanto AK-CK=±AC, tal como se esperaba.

Existe unha xeneralización deste teorema chamado teorema de Casey, que involucra a catro circunferencias non secantes e tanxentes interiores a unha quinta.

O teorema de Ptolomeo pódese demostrar con métodos de inversión xeométrica con respecto a calquera vértice dun cuadrilátero.[1]

Exemplo[editar | editar a fonte]

A razón dourada obtense da aplicación do teorema de Ptolomeo

Considérese un pentágono regular e a circunferencia circunscrita ao mesmo. No cuadrilátero ABCD as diagonais son iguais ao lado AD. O teorema de Ptolomeo arroxa neste caso,

 b^2 = a b + a^2.\

Dividindo entre a^2 tense

 \frac{b^2}{a^2} = 1 + \frac{b}{a}.\

Denotando con \varphi a razón b/a obtense \varphi^2 = 1 + \varphi, ecuación que coincide coa definición do número áureo.

\varphi={{1+\sqrt{5}}\over 2}.

Notas[editar | editar a fonte]

  1. Adam Puig Curso de Geometría Métrica, Tomo 1 ISBN 84-85731-03-4.

Véxase tamén[editar | editar a fonte]