Serie de Fourier

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.

En matemáticas, chámase serie de Fourier, a aquela da forma:

y(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty\left[a_n\cos(nx)+b_n\operatorname{sen}(nx)\right], onde a_n e b_n denomínanse coeficientes de Fourier da serie de Fourier da función y(x).

Fourier foi o primeiro que estudou tales series sistematicamente, aplicándoas á solución da ecuación da calor e publicando os seus resultados iniciais en 1807 e 1811. Esta área de investigación chámase algunhas veces Análise harmónica.

Converxencia a unha función periódica[editar | editar a fonte]

Se f(x) é unha función periódica de período 2π e a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi}f(x) \cos nx dx, e b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi}f(x) \operatorname{sen} nx dx daquela a serie converxe a f(x).

Forma exponencial[editar | editar a fonte]

Pola identidade de Euler(e^{ix} = \cos(x)+ i \operatorname{sen}(x)), e operando adecuadamente, se

C_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\,e^{-inx}\,dx.

a serie de Fourier pódese expresar coma a suma de dúas series:

 \sum_{n=0}^{\infty} C_{-n}\,e^{-inx} + \sum_{n=0}^{\infty} C_n\,e^{inx}.

En forma máis compacta:

 \sum_{n=-\infty}^{\infty} C_{n}\,e^{inx}

Aplicacións[editar | editar a fonte]

Solución de ecuacións diferenciais[editar | editar a fonte]

A ecuación a resolver

Enxeñaría[editar | editar a fonte]

É común substituír a variábel x por ωt, resultando as compoñentes:

C_n=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} f(t)\,e^{-in\omega\,t}\,dt.

Polo tanto:

 f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} C_{n}\,e^{in\omega\,t}

Algunhas consecuencias positivas das propiedades de homomorfismo de exp[editar | editar a fonte]

Debido a que as "funcións base" eikx son homomorfismos da liña real (máis concretamente, do "grupo do círculo") temos certas identidades útiles:

  1. Se g(x)=f(x-y) daquela \hat g(k)=e^{-iky}\hat f(k)
  2. A transformada de Fourier é un morfismo: (f*g) \hat{ } (k)=\hat f(k) \hat g(k) -- isto é, a transformada de Fourier dunha convolución é o produto das transformadas de Fourier.

Formulación xeral[editar | editar a fonte]

As útiles propiedades das series de Fourier son debidas principalmente á ortogonalidade e á propiedade de homomorfismo das funcións ei n x.

Outras sucesións de funcións ortogonais teñen propiedades similares, aínda que algunhas identidades útiles, concernendo por exemplo ás convolucións, non seguirán cumpríndose se se perde a "propiedade de homomorfismo".

Algúns exemplos son as secuencias de funcións de Bessel e os polinomios ortogonais. Tales sucesións obtéñense normalmente como solucións dunha ecuación diferencial; unha gran clase de tales sucesións útiles son solucións dos chamados problemas de Sturm-Liouville.

Véxase tamén[editar | editar a fonte]

Outros artigos[editar | editar a fonte]