Regra do produto (cálculo)

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.

Na análise matemática, a regra do produto ou regra de Leibniz para a derivación dun produto, establece como derivar o produto de funcións derivables.

Pode declararse informalmente como: "A derivada dun produto de funcións é a derivada da primeira pola segunda sen derivar máis a derivada da segundo pola primeira sen derivar". Matematicamente:

 (f\cdot g)' = f'\cdot g + f\cdot g' \,

Ou usando a notación de Leibniz:

 {d\over dx}(u\cdot v) = u{dv\over dx} + v{du\over dx}

Na resolución final de suma de produtos, a orde é indiferente, o importante é non confundir f(x), g(x), f'(x) e g'(x).

Demostración[editar | editar a fonte]

Pode chegarse á regra usando as características do límite e a definición da derivada como o límite do cociente da diferenza.

Entón, temos:

f(x) = g(x)h(x) \,

supoñendo que g e h son diferenciables na variable x. Logo

f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}  = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(x + \Delta x)h(x + \Delta x) - g(x)h(x)}{\Delta x}

Como

g\left(x + \Delta x\right)h(x + \Delta x) - g(x)h(x) = g(x)(h(x + \Delta x) - h(x)) + h(x + \Delta x)(g(x + \Delta x) - g(x)),

tense que

f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(x + \Delta x)h(x + \Delta x) - g(x)h(x) + g(x)h(x + \Delta x) - g(x)h(x + \Delta x)}{\Delta x}
= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(x)(h(x + \Delta x) - h(x)) + h(x + \Delta x)(g(x + \Delta x) - g(x))}{\Delta x}
= \lim_{\Delta x \to 0} \left[g(x)\left(\frac{(h(x + \Delta x) - h(x))}{\Delta x}\right) + h(x + \Delta x)\left(\frac{(g(x + \Delta x) - g(x))}{\Delta x}\right)\right]

Como h é continua en x, tense que

\lim_{\Delta x \to 0} h(x + \Delta x) = h(x)

e pola definición de derivada, e a diferenciabilidade de h e g en x, tense tamén que

\left[\lim_{\Delta x \to 0} \frac{(h(x + \Delta x) - h(x))}{\Delta x}\right] = h'(x) e \left[\lim_{\Delta x \to 0} \frac{(g(x + \Delta x) - g(x))}{\Delta x}\right] = g'(x)

Así, xustifícase a descomposición dos produtos dentro do límite, e reorganizando todo chégase á regra do produto.

f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \left[g(x)\left(\frac{(h(x + \Delta x) - h(x))}{\Delta x}\right) + h(x + \Delta x)\left(\frac{(g(x + \Delta x) - g(x))}{\Delta x}\right)\right]
= \left[\lim_{\Delta x \to 0} g(x)\right]\left[\lim_{\Delta x \to 0} \frac{(h(x + \Delta x) - h(x))}{\Delta x}\right] + \left[\lim_{\Delta x \to 0} h(x + \Delta x)\right]\left[\lim_{\Delta x \to 0}\frac{(g(x + \Delta x) - g(x))}{\Delta x}\right]
= g(x)h'(x) + h(x)g'(x) \,

Exemplo[editar | editar a fonte]

Supoñendo que se quere derivar:

 f(x) = x^2 \, \sin(x)

Usando a regra do produto, obtense a derivada:

 f^\prime (x) = 2 x \, \sin(x) + x^2 \, \cos(x)
xa que a derivada de  x^2 \, é  2x \,
e a derivada de  \sin(x) \, é  \cos(x) \, .

Regra xeneralizada do produto[editar | editar a fonte]

Esta regra pode ser xeneralizada para a obtención do termo dunha derivación sucesiva de produto. Sexan f e g funcións n-veces diferenciables. A derivada enésima do produto f\cdot g vén dada por:

(f \cdot g)^{(n)}=\sum_{k=0}^n {n \choose k} f^{(k)} g^{(n-k)}

onde {n \choose k} é chamado coeficiente binomial.

Isto próbase a través da regra do produto e a indución.

Véxase tamén[editar | editar a fonte]

Ligazóns externas[editar | editar a fonte]