Regra do produto (cálculo)

Na análise matemática, a regra do produto ou regra de Leibniz para a derivación dun produto, establece como derivar o produto de funcións derivables.

Pode declararse informalmente como: "A derivada dun produto de funcións é a derivada da primeira pola segunda sen derivar máis a derivada da segundo pola primeira sen derivar". Matematicamente:

$(f\cdot g)' = f'\cdot g + f\cdot g' \,$

Ou usando a notación de Leibniz:

${d\over dx}(u\cdot v) = u{dv\over dx} + v{du\over dx}$

Na resolución final de suma de produtos, a orde é indiferente, o importante é non confundir f(x), g(x), f'(x) e g'(x).

Demostración

Pode chegarse á regra usando as características do límite e a definición da derivada como o límite do cociente da diferenza.

Entón, temos:

$f(x) = g(x)h(x) \,$

supoñendo que g e h son diferenciables na variable x. Logo

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(x + \Delta x)h(x + \Delta x) - g(x)h(x)}{\Delta x}$

Como

$g\left(x + \Delta x\right)h(x + \Delta x) - g(x)h(x) = g(x)(h(x + \Delta x) - h(x)) + h(x + \Delta x)(g(x + \Delta x) - g(x)),$

tense que

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(x + \Delta x)h(x + \Delta x) - g(x)h(x) + g(x)h(x + \Delta x) - g(x)h(x + \Delta x)}{\Delta x}$

$= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(x)(h(x + \Delta x) - h(x)) + h(x + \Delta x)(g(x + \Delta x) - g(x))}{\Delta x}$

$= \lim_{\Delta x \to 0} \left[g(x)\left(\frac{(h(x + \Delta x) - h(x))}{\Delta x}\right) + h(x + \Delta x)\left(\frac{(g(x + \Delta x) - g(x))}{\Delta x}\right)\right]$

Como h é continua en x, tense que

$\lim_{\Delta x \to 0} h(x + \Delta x) = h(x)$

e pola definición de derivada, e a diferenciabilidade de h e g en x, tense tamén que

$\left[\lim_{\Delta x \to 0} \frac{(h(x + \Delta x) - h(x))}{\Delta x}\right] = h'(x)$ e $\left[\lim_{\Delta x \to 0} \frac{(g(x + \Delta x) - g(x))}{\Delta x}\right] = g'(x)$

Así, xustifícase a descomposición dos produtos dentro do límite, e reorganizando todo chégase á regra do produto.

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \left[g(x)\left(\frac{(h(x + \Delta x) - h(x))}{\Delta x}\right) + h(x + \Delta x)\left(\frac{(g(x + \Delta x) - g(x))}{\Delta x}\right)\right]$

$= \left[\lim_{\Delta x \to 0} g(x)\right]\left[\lim_{\Delta x \to 0} \frac{(h(x + \Delta x) - h(x))}{\Delta x}\right] + \left[\lim_{\Delta x \to 0} h(x + \Delta x)\right]\left[\lim_{\Delta x \to 0}\frac{(g(x + \Delta x) - g(x))}{\Delta x}\right]$

$= g(x)h'(x) + h(x)g'(x) \,$

Exemplo

Supoñendo que se quere derivar:

$f(x) = x^2 \, \sin(x)$

Usando a regra do produto, obtense a derivada:

$f^\prime (x) = 2 x \, \sin(x) + x^2 \, \cos(x)$

xa que a derivada de $x^2 \,$ é $2x \,$

e a derivada de $\sin(x) \,$ é $\cos(x) \,$.

Regra xeneralizada do produto

Esta regra pode ser xeneralizada para a obtención do termo dunha derivación sucesiva de produto. Sexan f e g funcións n-veces diferenciables. A derivada enésima do produto $f\cdot g$ vén dada por:

$(f \cdot g)^{(n)}=\sum_{k=0}^n {n \choose k} f^{(k)} g^{(n-k)}$

onde ${n \choose k}$ é chamado coeficiente binomial.

Isto próbase a través da regra do produto e a indución.

Véxase tamén

Ligazóns externas

• Product Rule, en Math World (en inglés)