Función de Weierstrass

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
O gráfico da función de Weierstrass é un fractal

En matemática, a función de Weierstrass é un importante contra-exemplo mostrando a existencia dunha función continua en toda a recta real que non posúe derivada en ningún punto do dominio. Recibe o nome en honra ao seu descubridor o matemático Karl Weierstrass. A función de Weierstrass é primeira función publicada a presentar tal patoloxía.

Aínda que sexa considerada por moitos como un caso patolóxico, pódese afirmar que, en certo sentido, o comportamento da función de Weierstrass é o caso máis común. Sendo o conxunto das funcións diferenciábeis en polo menos un punto un conxunto magro dentro do espazo de Banach das funcións continuas coa norma do supremo.

Definición[editar | editar a fonte]

A función de Weierstrass é definida pola seguinte serie de Fourier:

f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a^n\cos(b^n\pi x)\,

onde a\in(0,1)\, e b\, é un enteiro positivo impar tal que:

ab>1+\frac{3}{2}\pi\,