Función convexa

Gráfico dunha función convexa

En matemática, unha función $[a,b]\to\mathbb{R}$ é dita convexa se a rexión sobre o seu gráfico é un conxunto convexo. Ou, equivalentemente, de forma analítica, para calquera x e y pertencentes a $[a,b]\,$ e para todo t en $[0,1]\,$, tense

$f(tx+(1-t)y)\leq t f(x)+(1-t)f(y).$

Unha función dise estritamente convexa se :

$f(tx+(1-t)y) < t f(x)+(1-t)f(y)\,$ para todo $t$ en (0,1) e $x\neq y\,$.

Propriedades das funcións convexas

• Unha función convexa en $[a,b]\,$ é sempre continua en $(a,b)\,$.

• Unha función continua nun intervalo C é convexa se e somentes se:

$f\left( \frac{x+y}2 \right) \le \frac{f(x)+f(y)}2 .$ para todo $x,y$ ∈ $C$.

• Unha función diferenciábel é convexa nun intervalo se e só se a súa derivada é monótona non decrecente nese intervalo.

• Unha función continuamente diferenciábel dunha variábel é convexa nun intervalo, se e só se:

$f(y)\geq f(x) + f'(x)(y-x)$, para todos x e y no intervalo.

• Unha función dúas veces diferenciábel dunha variábel é convexa nun intervalo se e somentes se, a súa segunda derivada é maior ou igual a cero en todo o intervalo.

• Se a súa segunda derivada é estritamente positiva entón a función é estritamente convexa.

• Unha función convexa non posúe puntos de máximo.

• Se unha función convexa posúe un punto de mínimo local, el tamén será un punto de mínimo global.

• Unha función estritamente convexa posúe como moito un punto de mínimo.

• O máximo de funcións convexas tamén é unha función convexa.

Exemplos

• A función $f(x)=x^2\,$ é convexa.
• A función $f(x)=e^x\,$ é convexa.
• O valor absoluto é unha función convexa $\left(f(x)=|x|\right)\,$

Extensións

Sexa $\mathbb{V}\,$ un espazo vectorial e $C\,$ un conxunto convexo contido en $\mathbb{V}\,$, entón unha función $f:C\to\mathbb{R}\,$ é dita convexa se:

$f(tx+(1-t)y) \leq t f(x)+(1-t)f(y)\,$ para todo $t$ en [0,1].

E estritamente convexa se:

$f(tx+(1-t)y) < t f(x)+(1-t)f(y)\,$ para todo $t\,$ em (0,1) e $x\neq y\,$.

Exemplos

• Toda norma ou seminorma é convexa, pola desigualdade triangular
• Todo funcional lineal en $\mathbb{R}.$ é convexo.

Aplicacións

• Funcións convexas son amplamente utilizadas para demostrar desigualdades tales como a desigualdade de Young.
• A convexidade desempeña un papel moi importante na aplicación de métodos variacionais para EDPs non lineais.

Véxase tamén

• Desigualdade de Jensen