Wikipedia:Artigo destacado/outubro 2021

En matemáticas, a expresión 1 − 2 + 3 − 4 + ... denota a serie de números reais cuxas sumas parciais son

$S_{m}:=\sum _{n=1}^{m}n(-1)^{n-1}$,

para cada enteiro positivo m. Trátase dunha serie diverxente, no senso de que a sucesión das súas sumas parciais ${(S_{m})}_{m}=(1,-1,2,-2,\ldots )$ non ten límite finito. Malia isto, a mediados do século XVIII, Leonhard Euler propuxo a relación seguinte cualificándoa de paradoxal:

$1-2+3-4+\cdots ={\frac {1}{4}}$,

recoñecendo por outra banda que para que teña sentido é preciso estender o concepto de suma. Até o comezo da década de 1890, Ernesto Cesàro e Émile Borel, entre outros, crearon novos métodos para atopar sumas xeneralizadas de series que permiten sumar algunhas series diverxentes, incluíndo novas interpretacións dos intentos realizados por Leonhard Euler. Moitos destes métodos asignan a 1 − 2 + 3 − 4 + ... un valor de ¼. O método de Cesàro $(C,1)$, un dos máis coñecidos, é dos poucos que non suma esta serie. Pola contra, o de Abel si que ofrece como resultado ¼, aínda que o propio Niels Henrik Abel consideraba as series diverxentes «un invento do diaño» porque «un pode obter a conclusión que desexe se as utiliza».

Ademais, 1 − 2 + 3 − 4 + ... é o produto de Cauchy da serie de Grandi (1 − 1 + 1 − 1 + ...) por si mesma, o que necesariamente vincula os intentos de obter a suma dunha cos da outra.

Xa na linguaxe da análise matemática moderna, a prolongación analítica da serie

$\eta (s):=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}},\;\Re (s)>0$

a todo o plano complexo $\mathbb {C}$, coñecida como función eta de Dirichlet, verifica $\eta (-1)=1/4$.