Función eta de Dirichlet
η
(
s
)
{\displaystyle \eta (s)}
plano complexo . A cor nun punto
s
{\displaystyle s}
η
(
s
)
{\displaystyle \eta (s)}
argumento . Nas matemáticas , na área da teoría analítica de números , a función eta de Dirichlet defínese como
η
(
s
)
=
(
1
−
2
1
−
s
)
ζ
(
s
)
{\displaystyle \eta (s)=\left(1-2^{1-s}\right)\zeta (s)}
onde ζ é a función zeta de Riemann . Tamén pode ser usada para definir a función zeta. Ten unha expresión en serie de Dirichlet , válida para todo número complexo s con parte real positiva, dado por
η
(
s
)
=
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
−
1
n
s
.
{\displaystyle \eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n-1} \over n^{s}}.}
Aínda que esta é converxente só para s con parte real positiva, é sumable Abel para todo número complexo, o que permite definir a función eta como unha función completa, e mostra que a función zeta de Riemann é meromórfica cun polo simple en s = 1.
En forma equivalente, pódese definir
η
(
s
)
=
1
Γ
(
s
)
∫
0
∞
x
s
exp
(
x
)
+
1
d
x
x
{\displaystyle \eta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s}}{\exp(x)+1}}{\frac {dx}{x}}}
na rexión de parte real positiva. Isto dá por resultado a función eta como unha transformada de Mellin .
Hardy deu unha demostración simple da ecuación funcional para a función eta, que é
η
(
−
s
)
=
2
π
−
s
−
1
s
sin
(
π
s
2
)
Γ
(
s
)
η
(
s
+
1
)
.
{\displaystyle \eta (-s)=2\pi ^{-s-1}s\sin \left({\pi s \over 2}\right)\Gamma (s)\eta (s+1).}
A partir disto, pódese obter tamén en forma directa a ecuación funcional da función eta, como así mesmo atopar outro modo de estender a definición de eta a todo o campo dos números complexos.
Peter Borwein utilizou aproximacións baseadas nos polinomios de Chebyshov para desenvolver un método para avaliar en forma eficiente a función eta. Se
d
k
=
n
∑
i
=
0
k
(
n
+
i
−
1
)
!
4
i
(
n
−
i
)
!
(
2
i
)
!
{\displaystyle d_{k}=n\sum _{i=0}^{k}{\frac {(n+i-1)!4^{i}}{(n-i)!(2i)!}}}
entón
η
(
s
)
=
−
1
d
n
∑
k
=
0
n
−
1
(
−
1
)
k
(
d
k
−
d
n
)
(
k
+
1
)
s
+
γ
n
(
s
)
,
{\displaystyle \eta (s)=-{\frac {1}{d_{n}}}\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(-1)^{k}(d_{k}-d_{n})}{(k+1)^{s}}}+\gamma _{n}(s),}
onde o termo erro γn atópase acoutado por
γ
n
(
s
)
≤
3
(
3
+
8
)
n
(
1
+
2
|
t
|
)
exp
(
|
t
|
π
/
2
)
{\displaystyle \gamma _{n}(s)\leq {\frac {3}{(3+{\sqrt {8}})^{n}}}(1+2|t|)\exp(|t|\pi /2)}
onde
t
=
ℑ
(
s
)
{\displaystyle t=\Im (s)}
Véxase tamén constante zeta
η(0) = 1 ⁄2 , a suma de Abel da serie de Grandi 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·.
η(−1) = 1 ⁄4 , a suma de Abel de 1 - 2 + 3 - 4 + . . . .
Para k enteiro > 1, se Bk é o k-esimo número de Bernoulli entón
η
(
1
−
k
)
=
2
k
−
1
k
B
k
.
{\displaystyle \eta (1-k)={\frac {2^{k}-1}{k}}B_{k}.}
Tamén:
η
(
1
)
=
ln
2
{\displaystyle \!\ \eta (1)=\ln 2}
serie harmónica alternada
η
(
2
)
=
π
2
12
{\displaystyle \eta (2)={\pi ^{2} \over 12}}
η
(
4
)
=
7
π
4
720
{\displaystyle \eta (4)={{7\pi ^{4}} \over 720}}
η
(
6
)
=
31
π
6
30240
{\displaystyle \eta (6)={{31\pi ^{6}} \over 30240}}
η
(
8
)
=
127
π
8
1209600
{\displaystyle \eta (8)={{127\pi ^{8}} \over 1209600}}
η
(
10
)
=
73
π
10
6842880
{\displaystyle \eta (10)={{73\pi ^{10}} \over 6842880}}
η
(
12
)
=
61499
π
12
15
×
3790360487
{\displaystyle \eta (12)={{61499\pi ^{12}} \over {15\times 3790360487}}}
A forma xeral para enteiros positivos pares é:
η
(
2
n
)
=
(
−
1
)
n
+
1
B
2
n
(
2
π
)
2
n
(
2
2
n
−
1
−
1
)
2
2
n
(
2
n
!
)
=
(
−
1
)
n
+
1
B
2
n
π
2
n
(
2
2
n
−
1
−
1
)
(
2
n
)
!
{\displaystyle \eta (2n)=(-1)^{n+1}{{B_{2n}(2\pi )^{2n}(2^{2n-1}-1)} \over {2^{2n}(2n!)}}=(-1)^{n+1}{{B_{2n}\pi ^{2n}(2^{2n-1}-1)} \over {(2n)!}}}
Borwein, P., An Efficient Algorithm for the Riemann Zeta Function
Xavier Gourdon e Pascal Sebah, Numerical evaluation of the Riemann Zeta-function
Borwein, P., http://www.cecm.sfu.ca/~pborwein/
Knopp, Konrad (1990). Theory and Application of Infinite Series ISBN 0-486-66165-2 . 
