Función eta de Dirichlet

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
Saltar ata a navegación Saltar á procura
Función eta de Dirichlet no plano complexo. A cor nun punto codifica o valor de Cores fortes denotan valores próximos a cero e o ton codifica o valor do argumento.

Nas matemáticas, na área da teoría analítica de números, a función eta de Dirichlet defínese como

onde ζ é a función zeta de Riemann. Tamén pode ser usada para definir a función zeta. Ten unha expresión en serie de Dirichlet, válida para todo número complexo s con parte real positiva, dado por

Aínda que esta é converxente só para s con parte real positiva, é sumable Abel para todo número complexo, o que permite definir a función eta como unha función completa, e mostra que a función zeta de Riemann é meromórfica cun polo simple en s = 1.

En forma equivalente, pódese definir

na rexión de parte real positiva. Isto dá por resultado a función eta como unha transformada de Mellin.

Hardy deu unha demostración simple da ecuación funcional para a función eta, que é

A partir disto, pódese obter tamén en forma directa a ecuación funcional da función eta, como así mesmo atopar outro modo de estender a definición de eta a todo o campo dos números complexos.

Método de Borwein[editar | editar a fonte]

Peter Borwein utilizou aproximacións baseadas nos polinomios de Chebyshov para desenvolver un método para avaliar en forma eficiente a función eta. Se

entón

onde o termo erro γn atópase acoutado por

onde .

Valores particulares[editar | editar a fonte]

Véxase tamén constante zeta

  • η(0) = 12, a suma de Abel da serie de Grandi 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·.
  • η(−1) = 14, a suma de Abel de 1 - 2 + 3 - 4 + . . ..
  • Para k enteiro > 1, se Bk é o k-esimo número de Bernoulli entón

Tamén:

, esta é serie harmónica alternada

A forma xeral para enteiros positivos pares é:


Notas[editar | editar a fonte]