Función analítica
En matemáticas, unha función analítica é unha función que está dada localmente por unha serie de potencias converxente. Existen funcións analíticas reais e funcións analíticas complexas. As funcións de cada tipo son infinitamente diferenciábeis, mais as funcións analíticas complexas presentan propiedades que xeralmente non se cumpren para as funcións analíticas reais.
Unha función é analítica se e só se para cada no seu dominio, a súa serie de Taylor en converxe á función nalgunha veciñanza de . Isto é máis forte que simplemente ser infinitamente diferenciábel en , e polo tanto ter unha serie de Taylor ben definida; a función de Fabius ofrece un exemplo dunha función que é infinitamente diferenciábel mais non analítica.
Definicións
[editar | editar a fonte]Formalmente, unha función é unha función analítica real nun conxunto aberto na liña real se para algún podemos escribir
no que os coeficientes son números reais e a serie é converxente a para nunha veciñanza de .
Alternativamente, unha función analítica real é unha función infinitamente diferenciable tal que a serie de Taylor en calquera punto no seu dominio
converxe a para nunha veciñanza punto por punto de .[a] O conxunto de todas as funcións analíticas reais nun conxunto dado adoita denotarse por , ou só por se se sobreentende o dominio.
A definición dunha función analítica complexa obtense substituíndo, nas definicións anteriores, "real" por "complexo" e "recta real" por "plano complexo". Unha función é analítica complexa se e só se é holomorfa, é dicir, é derivábel complexa. Por esta razón, os termos "holomorfo" e "analítica" adoitan usarse indistintamente para esas funcións.[1]
Exemplos
[editar | editar a fonte]Exemplos típicos de funcións analíticas son
- As seguintes funcións elementais:
- Todos os polinomios: se un polinomio ten grao n, calquera termo de grao maior que n na súa expansión da serie de Taylor debe desaparecer inmediatamente a 0, polo que esta serie será trivialmente converxente. A maiores, todo polinomio é a súa propia serie de Maclaurin.
- A función exponencial é analítica. Calquera serie de Taylor para esta función converxe non só para x o suficientemente próximo a x0 (como na definición) senón para todos os valores de x (real ou complexo).
- As funcións trigonométricas, o logaritmo e as funcións de potencias son analíticas en calquera conxunto aberto do seu dominio.
- A maioría das funcións especiais (polo menos nalgún rango do plano complexo):
Exemplos típicos de funcións que non son analíticas son
- A función de valor absoluto cando se define no conxunto de números reais ou complexos non é analítica en todas as partes porque non é diferenciábel en 0.
- As funcións definidas por intervalos (funcións dadas por diferentes fórmulas en diferentes rexións) normalmente non son analíticas onde se atopan os intervalos.
- A función conxugada complexa z → z * non é analítica complexa, aínda que a súa restrición á liña real é a función de identidade e, polo tanto, analítica real, e é analítica real como función de a .
- Outras funcións suaves non analíticas e, en particular, calquera función suave con soporte compacto, é dicir , non pode ser analítica en .[2]
Caracterizacións alternativas
[editar | editar a fonte]As seguintes condicións son equivalentes:
- é analítica real nun conxunto aberto .
- Hai unha extensión analítica complexa de a un conxunto aberto que contén .
- é suave e para todo conxunto compacto existe unha constante tal que para cada e todo número enteiro non negativo o seguinte límite cúmprese[3]
As funcións analíticas complexas son exactamente equivalentes ás funcións holomorfas e, polo tanto, caracterízanse moito máis facilmente.
Propiedades das funcións analíticas
[editar | editar a fonte]- As sumas, produtos e composicións das funcións analíticas son analíticas.
- O recíproco dunha función analítica que non é cero en ningún lugar é analítica, así como a inversa dunha función analítica invertíbel cuxa derivada non é cero. (Véxase tamén o teorema de inversión de Lagrange).
- Calquera función analítica é suave, é dicir, infinitamente diferenciábel. O inverso non é certo para as funcións reais; de feito, en certo sentido, as funcións analíticas reais son escasas en comparación con todas as funcións reais infinitamente diferenciábeis. Para os números complexos, a inversa vale, e de feito calquera función diferenciábel unha vez nun conxunto aberto é analítica nese conxunto.
- Para todo conxunto aberto , o conxunto A(Ω) de todas as funcións analíticas é un espazo de Fréchet en relación á converxencia uniforme en conxuntos compactos. O feito de que os límites uniformes dos conxuntos compactos de funcións analíticas sexan analíticos é unha consecuencia sinxela do teorema de Morera. O conxunto de todas as funcións analíticas limitadas coa norma suprema é un espazo de Banach.
Analítica e diferenciábel
[editar | editar a fonte]Existen funcións reais suaves que non son analíticas, de feito, hai moitas funcións deste tipo.
A situación é ben diferente cando se consideran funcións analíticas complexas e derivadas complexas. Pódese probar que calquera función complexa diferenciábel (no sentido complexo) nun conxunto aberto é analítica. En consecuencia, na análise complexa, o termo función analítica é sinónimo de función holomorfa.
Notas
[editar | editar a fonte]- ↑ Isto implica converxencia uniforme tamén nunha veciñanza (posíbelmente máis pequena) de.
- ↑ Churchill (1948), p. 46.
- ↑ Strichartz, Robert S. (1994). A guide to distribution theory and Fourier transforms (en inglés). Boca Raton: CRC Press. ISBN 0-8493-8273-4. OCLC 28890674.
- ↑ Krantz & Parks 2002, p. 15.
Véxase tamén
[editar | editar a fonte]Bibliografía
[editar | editar a fonte]- Churchill, Ruel V. (1948). Introduction to Complex Variables and Applications (en inglés). Nova York / Toronto / Londres: McGraw-Hill.
- Conway, John B. (1978). Functions of One Complex Variable I. Graduate Texts in Mathematics 11 (2nd ed.). Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90328-6.
- Krantz, Steven; Parks, Harold R. (2002). A Primer of Real Analytic Functions (2nd ed.). Birkhäuser. ISBN 0-8176-4264-1.