Teorema do índice de Atiyah-Singer

Na xeometría diferencial, o teorema do índice de Atiyah-Singer afirma que para un operador diferencial elíptico sobre unha variedade compacta, o índice analítico (relacionado coa dimensión do espazo de solucións) é igual ao índice topolóxico (definida en termos dalgúns datos topolóxicos). Inclúe moitos outros importantes teoremas (como o teorema de Riemann-Roch) como casos especiais, e ten aplicacións en física teórica.

Foi probado por Michael Atiyah e Isadore Singer en 1963.

Historia

O problema do índice para operadores diferenciais elípticos foi proposto por Israel Gelfand en 1960. Notou a invarianza por homotopía do índice e buscou unha fórmula para el mediante invariante topolóxicos. Algúns dos exemplo que o motivaron foron o teorema de Riemann–Roch, a súa xeneralización (teorema de Hirzebruch–Riemann–Roch e o teorema da sinatura de Hirzebruch. Hirzebruch e Borel probaran a integralidade do xénero  dunha variedade, e Atiyah suxerira que esta integralidade podía explicarse se fose o índice do operador de Dirac, que fora redescuberto por Atiyah e Singer en 1961.

O teorema de Atiyah–Singer foi anunciado en 1963. A demostración esbozada no seu anuncio nunca foi publicada por eles, aínda que aparece no libro (Palais 1965). Tamén se recolleu no "Séminaire Cartan-Schwartz 1963/64" que tivo lugar en París simultaneamente co seminario liderado por Palais en Princeton. O último relatorio en París fíxoo Aityah sobre variedades con fronteira. A súa primeira proba publicada substituíu a teoría do cobordo coa K-teoría.

Véxase tamén

Bibliografía

• Atiyah, Michael F.; Singer, Isadore M. (1963). The Index of Elliptic Operators on Compact Manifolds. Bull. Amer. Math. Soc. 69. pp. 422–433. doi:10.1090/S0002-9904-1963-10957-X. 
• Atiyah, Michael F.; Singer, Isadore M. (1968a). The Index of Elliptic Operators I. Annals of Mathematics 87. pp. 484–530. JSTOR 1970715. doi:10.2307/1970715. 
• Cartan-Schwartz (1965). Séminaire Henri Cartan. Théoreme d’Atiyah-Singer sur l’indice d’un opérateur différentiel elliptique. 16 annee: 1963/64 dirigee par Henri Cartan et Laurent Schwartz. Fasc. 1; Fasc. 2. (en francés). Ecole Normale Superieure, Secretariat mathematique, París. Zbl 0149.41102. 
• Palais, Richard S. (1965). Seminar on the Atiyah–Singer Index Theorem. Annals of Mathematics Studies 57. S.l.: Princeton Univ Press. ISBN 0-691-08031-3. 

Ligazóns externas

• Rafe Mazzeo: The Atiyah–Singer Index Theorem: What it is and why you should care. Presentación en pdf (en inglés).
• Raussen, Martin; Skau, Christian (2005). "Interview with Michael Atiyah and Isadore Singer" (pdf). Notices of AMS. pp. 223–231. 
• A. J. Wassermann, Lecture notes on the Atiyah–Singer Index Theorem

---

Este artigo sobre matemáticas é, polo de agora, só un bosquexo. Traballa nel para axudar a contribuír a que a Galipedia mellore e medre.  Existen igualmente outros artigos relacionados con este tema nos que tamén podes contribuír.

---